流體力學(xué)概念性理解缺失的啟示

王藝凝 張 豪 呂洪鳳

(1中國農(nóng)業(yè)大學(xué)煙臺(tái)研究院，山東 煙臺(tái) 264670; 2中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院, 北京 100083)

1 導(dǎo)出問題

流體包括氣體、液體(生物液)、大氣、海洋等。流體的平衡狀態(tài)、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及流體和其他物體間的相互作用和規(guī)律是流體力學(xué)需要研究的內(nèi)容。流體力學(xué)的知識(shí)點(diǎn)較多，既有靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)等高中學(xué)習(xí)過的經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，又有流線、湍流等特定概念，不少內(nèi)容對(duì)初學(xué)者相當(dāng)有難度。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中對(duì)基礎(chǔ)概念重視不夠、理解不清，導(dǎo)致學(xué)習(xí)難度較大，從而影響教學(xué)進(jìn)程和人才培育的質(zhì)量。

A．Suarez等人從物理教育研究的視角，通過客觀題、主觀題、學(xué)生訪談等多種形式，系統(tǒng)地整理了學(xué)生在學(xué)習(xí)流體力學(xué)部分的困難，并指出導(dǎo)致這些學(xué)習(xí)困難的原因，從而為進(jìn)一步設(shè)計(jì)有針對(duì)性的教學(xué)方法提供了參考[1]。為了摸清學(xué)生在理解、應(yīng)用流體力學(xué)概念時(shí)的困難，本文參照A．Suarez等人在烏拉圭共和國大學(xué)的實(shí)驗(yàn)，對(duì)中國農(nóng)業(yè)大學(xué)大一理工科學(xué)生進(jìn)行了研究。希望可以通過比較獨(dú)立教學(xué)情況，探究如何解決流體力學(xué)的概念理解困境。

2 研究過程及結(jié)果

A．Suarez等人評(píng)估了他所在學(xué)校6次測(cè)試中的600份試卷，依據(jù)錯(cuò)誤率對(duì)理想流體力學(xué)相關(guān)的題目進(jìn)行了歸類，從而提出學(xué)生在該部分有概念性缺失的假設(shè)，為了驗(yàn)證該假設(shè)，遂構(gòu)建了半結(jié)構(gòu)性訪談?lì)悳y(cè)試[1]。我們將該測(cè)試題目整理成單選題(詳見附錄)，通過微信和PPT相結(jié)合的雨課堂在班級(jí)內(nèi)發(fā)布。為分析學(xué)生對(duì)各題目相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度及出錯(cuò)原因，我們給出了各題的選項(xiàng)，見表1。

表1 答題選項(xiàng)分布(加黑體者為正確答案選項(xiàng))

從表1可以看出，學(xué)生對(duì)1、2、8、10題的答題正確率偏低，數(shù)值≤1/3； 4、6題的答題正確率≤1/2；3、5、7、9題的答題正確率略高，屬于1/2～3/4范圍。經(jīng)過對(duì)以上題目內(nèi)容的分析，我們對(duì)學(xué)生的錯(cuò)題原因推測(cè)如下：

2.1 伯努利方程和連續(xù)性方程使用條件掌握不當(dāng)(題目1和題目10)

1) 測(cè)試題1，正確率33%

(1) 正確解答：根據(jù)連續(xù)性方程，流體元(質(zhì)點(diǎn))在通過均勻截面的垂直管道下降時(shí)的速度是恒定的。

(2) 錯(cuò)誤解答：流體加速運(yùn)動(dòng)(選項(xiàng)A)。近50%的學(xué)生沿用重力做功使物體加速的質(zhì)點(diǎn)力學(xué)知識(shí)，而忽略了流體的特性、未考慮流體元彼此之間的相互作用。

2) 測(cè)試題10，正確率21%

(1) 正確解答：理想流體遇到障礙物、流線變形時(shí)，同一高度，流線曲率半徑小處的壓強(qiáng)小(pA>pB)。

(2) 錯(cuò)誤解答：流線曲率半徑小處壓強(qiáng)大(選項(xiàng)B)、曲率不同處壓強(qiáng)相同(選項(xiàng)C)。選項(xiàng)B和選項(xiàng)C的錯(cuò)選率相當(dāng)，相當(dāng)一部分學(xué)生沿用了流體靜力學(xué)中同高度處壓強(qiáng)相同的知識(shí)，未識(shí)別出流體元正在加速；也有一部分同學(xué)是應(yīng)用伯努利方程失當(dāng)。

2.2 流體靜力學(xué)與動(dòng)力學(xué)混淆不清(題目2和題目8)

1) 測(cè)試題2，正確率29%

(1) 正確解答：理想流體從大容器進(jìn)入下端的窄小豎直管道時(shí)，流體在小管中的速度比容器中的快，進(jìn)口處與小管內(nèi)某點(diǎn)的壓差應(yīng)低于流體靜壓力差ρgΔh。

(2) 錯(cuò)誤解答： 壓差高于(選項(xiàng)A)、等于(選項(xiàng)C)流體靜壓力差。錯(cuò)選的學(xué)生多忽略了流體可流動(dòng)的前提，受靜力學(xué)的影響，認(rèn)為壓力只與液體頂部的液柱重量有關(guān)。

2) 測(cè)試題8，正確率33%

(1) 正確解答：理想流體從大容器進(jìn)入下端的窄小豎直管道時(shí)，長度為dy的流體元在小管中受到的重力G和管壁表面作用力F相等。

(2) 錯(cuò)誤解答： GF(選項(xiàng)C)、無法判斷(選項(xiàng)D)。無論是哪個(gè)錯(cuò)選項(xiàng)，都體現(xiàn)出學(xué)生未考慮到在流體力學(xué)中，勻速運(yùn)動(dòng)的物體依然遵守牛頓第一定律。

圖1 中、烏兩所高校對(duì)流體力學(xué)概念理解之比較

中、烏兩所高校獨(dú)立教學(xué)情況下所得到的結(jié)果比較見圖1。由圖1可知，烏方的學(xué)生表現(xiàn)普遍較好。這可能是由于中、烏兩所高校在物理教學(xué)上的課時(shí)不同，導(dǎo)致了雙方對(duì)流體力學(xué)概念的理解存在一定的差異。被研究的烏方大學(xué)物理課程為15周75學(xué)時(shí)，流體力學(xué)占用了3周15學(xué)時(shí)；中方大學(xué)的普通物理公共課為16周96學(xué)時(shí)，流體力學(xué)只占了2周6學(xué)時(shí)。兩者的學(xué)習(xí)內(nèi)容相仿，但在授課時(shí)間上差了2.5倍。此外，烏方第3、4、10題的正確率比中方低，尤其是第10題，烏方學(xué)生全部選擇了在等高度處、彎曲流線壓強(qiáng)處處相同的錯(cuò)誤選項(xiàng)。這表明雙方學(xué)生對(duì)伯努利方程的使用均有不同程度的濫用。從題目2和8可以看出，相較于烏方學(xué)生，中方學(xué)生在從流體靜力學(xué)到流體動(dòng)力學(xué)的過渡方面產(chǎn)生了不適感。題目3的正確解答是流體元在小管內(nèi)壓強(qiáng)處處相同，這和題目1流體元在小管內(nèi)的速度處處相同是相洽的。烏方該題目的正確率比第一題的低是因?yàn)橛胁糠謱W(xué)生因馬虎錯(cuò)答；中方題目3正確率反倒比題目1和8高，則從另一側(cè)面顯現(xiàn)出很多同學(xué)沒有前后題目一致考慮的全局觀，也顯示了概念應(yīng)用的混亂性。

上述結(jié)果對(duì)大學(xué)物理流體力學(xué)板塊的概念教學(xué)具有一定的啟示性，提示我們?cè)诮膛c學(xué)的實(shí)踐中應(yīng)該關(guān)注以下幾點(diǎn)：

1) 液體的不可壓縮性

高中知識(shí)告訴我們，氣體可以壓縮而液體不可壓縮。但學(xué)生們會(huì)認(rèn)為液體在流過狹窄的管道時(shí)會(huì)被壓縮[2]。如，澆花的水管口被捏扁時(shí)，噴出的水流速快，這使得學(xué)生認(rèn)為高壓應(yīng)該對(duì)應(yīng)高速。他們把壓強(qiáng)等同了力，并將力和速度關(guān)聯(lián)而不是與加速度關(guān)聯(lián)。事實(shí)上，若不考慮高度變化，當(dāng)液體流過的管道變窄時(shí)，由伯努利方程可知窄管處的液體流速大、壓強(qiáng)低。

2) 伯努利方程的適用性

在運(yùn)動(dòng)學(xué)、質(zhì)量守恒方程、能量守恒方程等質(zhì)點(diǎn)模型中學(xué)習(xí)過的知識(shí)在流體力學(xué)中依然適用。流體中有流體元的概念，這也是流體連續(xù)介質(zhì)模型提出的基礎(chǔ)。流體元具有宏觀物理量如質(zhì)量、速度、密度等，這些物理量都是空間和時(shí)間的連續(xù)、可微函數(shù)，滿足一定的物理定律。流體元速度的方向是流線的切線方向，速度場(chǎng)的空間分布及其隨時(shí)間、空間的變化是流體力學(xué)的研究內(nèi)容。伯努利方程就是沒有“黏性”的理想流體元在流線圍成的流管內(nèi)的機(jī)械能守恒定律，只對(duì)可逆絕熱過程的定熵流動(dòng)適用。應(yīng)用伯努利方程時(shí)，流體需要滿足定常流動(dòng)、不可壓縮、無摩擦力等假設(shè)。

3) 流體靜力學(xué)與流體動(dòng)力學(xué)的關(guān)聯(lián)

物體在平衡條件下的靜力學(xué)可以看成是動(dòng)力學(xué)的一個(gè)特例。對(duì)于靜止流體，流線上各點(diǎn)的速度為零，由伯努利方程可以得到壓強(qiáng)和高度之間的關(guān)系。這使得學(xué)生難以理解伯努利方程應(yīng)用于同一流線上不同點(diǎn)之間的關(guān)系，很多同學(xué)認(rèn)為靜止液體與流動(dòng)液體的壓強(qiáng)應(yīng)該是一樣的，壓強(qiáng)只與高度有關(guān)，壓差來自于參考點(diǎn)上方的液體重量，從而混淆了靜力學(xué)與動(dòng)力學(xué)[3]。

在教學(xué)時(shí)，需關(guān)注學(xué)生掌握基本概念的程度，選擇適當(dāng)?shù)闹v授方法，如使用恰當(dāng)?shù)耐茖?dǎo)方式、做好必要的理論鋪墊等[4]。在翻轉(zhuǎn)課堂上，可以引入慕課等短視頻，對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理和分解。此外，針對(duì)學(xué)生理解、應(yīng)用流體力學(xué)概念的困難，有的放矢地設(shè)計(jì)、編寫該部分的教學(xué)材料，也會(huì)對(duì)解決該問題有所改善。

3 結(jié)語

為了摸清學(xué)生在理解、應(yīng)用流體力學(xué)概念時(shí)的困難，探究如何解決該困境，我們對(duì)中、烏兩所高校獨(dú)立教學(xué)情況下所得到的結(jié)果進(jìn)行了比較研究。相對(duì)于高中的力學(xué)，大學(xué)的流體力學(xué)是全新的知識(shí)，流體元的特性與質(zhì)點(diǎn)的特性既有關(guān)聯(lián)又有不同。學(xué)生在該部分的學(xué)習(xí)難度大，影響了教學(xué)質(zhì)量。許多學(xué)生能將伯努利方程應(yīng)用于流體力學(xué)的解題過程，卻沒有考慮到該方程來自于一個(gè)守恒定律，作用于沿著流線移動(dòng)或同一流管內(nèi)的流體元。學(xué)生在熟練地調(diào)用連續(xù)性方程和伯努利方程解題時(shí)，并沒有意識(shí)到壓力梯度與空間速度變化相關(guān)。學(xué)生們很難理解運(yùn)動(dòng)中流體的不同部分如何相互作用，無法將運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)聯(lián)系起來。以上概念誤解和困難，在所研究的中、烏兩高校學(xué)生中均存在。為了解決該問題，應(yīng)適當(dāng)?shù)靥岣呤谡n學(xué)時(shí)、在授課過程中改進(jìn)講授方法、設(shè)計(jì)有針對(duì)性的教學(xué)材料等。這對(duì)改善現(xiàn)階段理工類本科教育有一定的借鑒參考意義。

附錄題目：

圖A1 排水管容器

1. 如圖A1所示，一個(gè)高為h的容器裝滿水，水位h保持不變，忽略水的黏度，一個(gè)長為L的排水管(和出口處的直徑相同)位于排水口處。 如果水從容器剛進(jìn)入排水管時(shí)的速度為v, 在排水管中流動(dòng)的速度會(huì)如何變化?

A. 變大 B. 變小 C. 不變

2. 接題1，考慮圖A1中被標(biāo)記的點(diǎn)1，2，3。點(diǎn)1在排水管上方，點(diǎn)2、3在排水管內(nèi)。點(diǎn)1、2之間的壓差Δp比ρ(z2-z1)的值________？

A. 更高 B. 更低 C. 相等

3. 接第2題, 圖A1上2、3點(diǎn)間的壓差Δp比ρg(z3-z2)________?

A. 更高 B.更低 C.相等

4. 假設(shè)在之前提到過的帶管子容器旁放置一同樣的容器，兩個(gè)容器內(nèi)有等量的水。新容器底端有同樣的洞但沒有排水管，如圖A2所示。同時(shí)放水，哪個(gè)先排完？

A. 無管容器 B. 無管容器 C. 兩者同時(shí)

圖A2 兩等量容器

5. 在一水面高h(yuǎn)的箱底端有一長L的垂直管。忽略水的黏滯性。考慮管內(nèi)的點(diǎn)A、點(diǎn)B以及管外的點(diǎn)C、點(diǎn)D(圖A3)，下面關(guān)于流速正確的是

A.vAvB

C.vCvD

圖A3 箱底垂直管

6. 接第5題, 下面關(guān)于壓強(qiáng)正確的是？

A.pA

C.pCpD

7. 以下哪種因素導(dǎo)致了管外“水流直徑會(huì)隨著流體的流出而減小”現(xiàn)象的產(chǎn)生？即，為何圖A3上D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫界面比C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的小？

A. 流速 B. 裝置結(jié)構(gòu)

C. 空氣阻力 D. 壓力

圖A4 流體元

8. 若以垂直管道內(nèi)長度為dy的流體元為研究對(duì)象(圖A4)，已知其所受的兩種力G(重力)和F(管壁表面作用力)，以下對(duì)這兩種力的大小描述正確的是？

A.G

C.G>FD. 無法確定

9. 接第8題，若以垂直管道外長度為dy的流體元為研究對(duì)象(圖A4)，該流體元受到的合力為？

A. 0 B.其重力G

C.空氣壓力 D.無法確定

10. 已知流動(dòng)液體遇到障礙時(shí)，流線發(fā)生嚴(yán)重變形。流體元通過等高的A、B兩點(diǎn)(圖A5)時(shí)速度相等。試比較A、B兩點(diǎn)的壓強(qiáng)(假設(shè)壓力梯度與速度變化之間沒有聯(lián)系)

A.pA>pBB.pA

C.pA=pBD. 無法確定

圖A5 形變的流線