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    具有平方反比勢的非齊次非線性Schr?dinger方程駐波的強不穩(wěn)定性

    2020-07-05 09:18:32李玉林
    關鍵詞:駐波基態(tài)不穩(wěn)定性

    李玉林,黃 娟,周 凡

    (四川師范大學數學科學學院,四川成都610066)

    本文研究如下具有平方反比勢的非齊次非線性 Schr?dinger方程

    當a=0時,方程(1)是三次非齊次非線性Schr?dinger方程.Guzmán[1]根據 Strichartz 估計的收縮映射原理[2]在空間H1(RN)中,得到該方程解的局部適定性.在2016年,Farah[3]利用Weinstein[4]相似的方法得到該方程的一個整體解,并且獲得了方程的最佳Gagliardo-Nirenberg不等式.隨后,Dinh[5]得到了徑向初始值的爆破解.

    當b=0時,方程(1)是三次具有平方反比勢的非線性 Schr?dinger方程,Killip 等[6]同時在空間H1(R3)中得到其解的局部適定性,通過文獻[7-8]相似的方法,建立了方程(1)的一個解在有限時間爆破和解散射的門檻條件.Killip等[9]在空間H1(Ω)中,得到該方程具有Dirichlet邊界條件的整體解和散射解.最近,Bensouilah等[10]得到了徑向基態(tài)駐波的強不穩(wěn)定性.

    綜上,可以看到對于a=0或者b=0的非線性Schr?dinger方程駐波解的穩(wěn)定性的研究已有一些結果,但對于a≠0且b≠0時,現有文獻并未發(fā)現有對其駐波解穩(wěn)定性的研究.因此,本文致力于研究這類帶平方反比勢的非齊次非線性Schr?dinger方程駐波的強不穩(wěn)定性.同時,方程(1)把非線性項推廣到更加一般的情況,這是吸引我們研究該問題的又一原因.

    1 預備知識

    2 爆破解的存在性

    注2.1當a=0時,在文獻[13]中,得到方程(1)關于初值u0的解u在有限時間內爆破,這正好與定理2.1的結論吻合.

    注2.2事實上,當b=0時,定理2.1也成立,這也正是文獻[14]中的結論.

    3 駐波的強不穩(wěn)定性

    下面討論方程(1)駐波解的強不穩(wěn)定性.從(9)式的變分問題和最佳Gagliardo-Nirenberg不等式得到方程(1)駐波解u(t,x)=eitQ(x)的存在性,其中Q(x)是方程(4)的一個基態(tài)解.

    定義3.1如果對任意δ>0,存在u0∈H1(R3),使得‖u0-Q‖H1<δ,并且方程(1)關于初值u0的解u必須在有限時間內爆破,即對于T>0,使得,則稱駐波解u(t,x)=eitQ(x)在空間H1(R3)中是強不穩(wěn)定的.

    定理3.1對于,0≤b<1,方程(1)的駐波解u(t,x)=eitQ(x)是強不穩(wěn)定的.

    證明從文獻[15]和命題2.1的證明知,當u∈H1(R3)\{0},有S(u)=0或R(u)=0.那么對于任意μ>1,得到S(μu)<0,R(μu)<0.一方面,對任意δ>0,存在μ>1,使得‖μQ-Q‖H1<δ.另一方面,對任意μ>1,有I(μQ)<I(Q),S(μQ)<S(Q)=0和R(μQ)<R(Q)=0.因此,μQ∈K.因為Q是方程(4)的解,并在無窮遠處呈指數衰減,取u0=μQ.因此,駐波解u(t,x)=eitQ(x)在空間H1(R3)中是強不穩(wěn)定的.

    注3.1當a=0時,由定理3.1知,方程(1)的駐波解u(t,x)=eitQ(x)在空間H1(R3)中是強不穩(wěn)定的,這與文獻[13]結論一致.

    注3.2事實上,當b=0時,也可以得到同樣的結論:方程(1)的駐波解u(t,x)=eitQ(x)在空間H1(R3)中是強不穩(wěn)定的,這與定理3.1的結論保持一致.

    4 附錄

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