對(duì)流Cahn-Hilliard方程的全局吸引子和分歧

張 強(qiáng)，李俐玫

（1.中國(guó)民用航空飛行學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川廣漢618307； 2.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都610066）

本文研究如下用于描述晶格氣體［1］和二元合金相分離［2］的帶對(duì)流項(xiàng)的Cahn-Hilliard方程

其中，u（x，t）是未知函數(shù)，μ∈R是系統(tǒng)參數(shù)，a≠0，b≥0是常數(shù).

Leung［1］在系統(tǒng)（1）中參數(shù)μ小于某一臨界值的條件下得到了穩(wěn)態(tài)解的表達(dá)式，并且發(fā)現(xiàn)氣體表面的不穩(wěn)定性可以解釋相分離，但是并沒(méi)有給出相分離的機(jī)制.Emmott等［2］用系統(tǒng)（1）研究二元合金泡沫的動(dòng)力學(xué)行為，發(fā)現(xiàn)了表面速度依賴于外加驅(qū)動(dòng)場(chǎng)和分離表面的相對(duì)尺寸大小，然而精確的亞穩(wěn)相分離機(jī)制并沒(méi)有得到.此外，Kwek［3］證明了系統(tǒng)（1）古典解的存在性，Gao等［4］找到了該系統(tǒng)的行波解，Watson等［5］討論了粗糙動(dòng)力學(xué)，Eden等［6］研究了慣性流形，更多模型和研究參見文獻(xiàn)［7-10］.

當(dāng)系統(tǒng)（1）中b＝0時(shí)，得到Kuramoto-Sivashinsky方程，它是物理中用于描述燃燒火焰前陣波傳播［11］、反應(yīng)擴(kuò)散［12］等現(xiàn)象的模型，并被學(xué)者們廣泛研究（參見文獻(xiàn)［13-14］）.這里需要說(shuō)明的是文獻(xiàn)［14］分析了Kuramoto-Sivashinsky方程的吸引子分歧（該結(jié)果可以看作是本文的一個(gè)特例，見注3.1）.

利用文獻(xiàn)［15-16］建立的吸引子分歧理論，分析了系統(tǒng)（1）的動(dòng)力學(xué)行為，得到了吸引子分歧和吸引子穩(wěn)定性結(jié)果，從數(shù)學(xué)理論上給出相分離的準(zhǔn)確機(jī)制.關(guān)于吸引子分歧的更多工作參見文獻(xiàn)［17-22］，關(guān)于分歧的研究可參見文獻(xiàn)［23-26］.

1 預(yù)備知識(shí)

根據(jù)文獻(xiàn)［27-28］，（2）式中定義的算子 A：H1→H是一個(gè)扇形算子，是H1在H2中的閉包.系統(tǒng)（1）解的存在性結(jié)果可以由標(biāo)準(zhǔn)的Galerkin方法獲得，本文在此省略.這樣系統(tǒng)（4）定義了一個(gè)算子半群S（t）：H→H，并且S（t）滿足S（t）u0＝u（·，t）.

2全局吸引子的存在性

下面給出關(guān)于系統(tǒng)（1）的全局吸引子存在性定理，該定理也將用于下一節(jié)主要結(jié)果的證明中.

定理2.1當(dāng)μ≤1時(shí)，系統(tǒng)（1）在H中存在一個(gè)全局吸引子.

證明第一步，將系統(tǒng)（1）中第一個(gè)方程乘以u(píng)，并在（0，2π）上積分得到

3 吸引子分歧和吸引子的穩(wěn)定性

下面將重點(diǎn)分析帶對(duì)流項(xiàng)的Cahn-Hilliard方程的動(dòng)態(tài)分歧和分歧吸引子的穩(wěn)定性，給出如下主要結(jié)果.

定理3.1對(duì)于系統(tǒng)（1）有如下結(jié)論成立：

1）當(dāng)μ≤1時(shí)，u＝0是全局漸近穩(wěn)定的；

2）當(dāng)μ＞1時(shí)，穩(wěn)定性從u＝0轉(zhuǎn)移到Ωμ，其中Ωμ是從u＝0處分歧出的一個(gè)吸引子；

3）Ωμ由系統(tǒng)（1）的穩(wěn)態(tài)解構(gòu)成并且同胚于S1；

4）Ωμ的表達(dá)式為

證明第一步，對(duì)系統(tǒng)（1）的線性算子Lμ作特征值和特征函數(shù)分析，Lμ對(duì)應(yīng)的特征方程為

容易得到（21）式的特征值和標(biāo)準(zhǔn)正交特征函數(shù)為

可以推出對(duì)任一 θ∈R，δ（μ）sin（x+θ）+h（x+θ，δ）仍然是系統(tǒng)（1）的穩(wěn)態(tài)解，所以下面的集合

由系統(tǒng)（1）的穩(wěn)態(tài)解構(gòu)成.從T的表達(dá)式可以看出T是H中的一個(gè)圓周S1.因?yàn)棣甫膛cS1同胚，根據(jù)文獻(xiàn)［16］中的定理5.10可推出Ωμ＝T，所以Ωμ是由系統(tǒng)（1）的穩(wěn)態(tài)解構(gòu)成.定理3.1中的結(jié)論3）和4）得證.

注3.1定理3.1中的結(jié)論對(duì)于b＝0的情形同樣成立，即定理3.1對(duì)Kuramoto-Sivashinsky方程仍然正確.

致謝本文得到中國(guó)民航飛行學(xué)院青年基金（Q2014-54）的支持，謹(jǐn)致謝意.