讓幾何思維水平“拔節(jié)”

趙一峰

摘要：荷蘭學(xué)者范希爾夫婦將學(xué)生的幾何思維水平分為五個(gè)層次。這五個(gè)層次的水平是不連續(xù)的，但卻是順次的。也就是說(shuō)，學(xué)生在進(jìn)入某一水平學(xué)習(xí)之前，必須掌握之前水平的大部分內(nèi)容;或者說(shuō)沒有一種教學(xué)法能讓學(xué)生跳過低的水平層次，而直接進(jìn)入高的水平層次。據(jù)此，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《表面涂色的正方體》一課時(shí)，讓學(xué)生通過觀察對(duì)話明晰“前層次”，通過想象表征固化、豐盈已有層次，通過歸納運(yùn)用提升、突破到下一層次。

關(guān)鍵詞：幾何思維水平 范希爾理論 《表面涂色的正方體》

荷蘭學(xué)者范希爾夫婦經(jīng)過理論和實(shí)踐兩方面的長(zhǎng)期探索，指出學(xué)生的幾何思維水平存在五個(gè)層次，分別為——層次0：直觀（Visualization，即能通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，并能操作其幾何構(gòu)圖元素;能使用標(biāo)準(zhǔn)或者不標(biāo)準(zhǔn)的名稱描述幾何圖形;但無(wú)法使用圖形的特征或要素名稱來(lái)分析圖形，也無(wú)法對(duì)圖形做概括的論述）;層次1：分析（Analysis，即能分析圖形的組成要素及特征，并依此建立圖形的特性，但無(wú)法解釋特性之間的關(guān)系，也無(wú)法了解圖形的定義;能根據(jù)組成要素比較兩個(gè)圖形，利用某一性質(zhì)做圖形的分類，但無(wú)法解釋圖形某些性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián)，也無(wú)法導(dǎo)出公式和使用正式的定義）;層次2：非形式化演繹（Informal deduction，即能建立圖形及圖形性質(zhì)之間的關(guān)系，提出非形式化的推論，了解構(gòu)建圖形的要素;能進(jìn)一步探求圖形的內(nèi)在屬性和其包含關(guān)系，使用公式與定義及發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)做推論;但不能由不熟悉的前提去證明結(jié)果的成立，也不能建立定理網(wǎng)絡(luò)之間的內(nèi)在關(guān)系）;層次3：形式化演繹（Formal deduction，即能了解到推理的重要性和“不定義元素”“公理”的意義，確信定理是需要形式邏輯推演才能建立的;能猜測(cè)并嘗試用演繹方式證實(shí)猜測(cè)，能夠以邏輯推理解釋幾何學(xué)中的定理等，從而建立定理間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)）;層次4：嚴(yán)密性（Rigior，即能在不同的公理系統(tǒng)下嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒍ɡ?，以分析比較不同的幾何系統(tǒng)）。

這五個(gè)層次的水平是不連續(xù)的，但卻是順次的。也就是說(shuō)，學(xué)生在進(jìn)入某一水平學(xué)習(xí)之前，必須掌握之前水平的大部分內(nèi)容;或者說(shuō)沒有一種教學(xué)法能讓學(xué)生跳過低的水平層次，而直接進(jìn)入高的水平層次。因而，教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師應(yīng)了解學(xué)生所在的水平層次，明晰“前層次”，固化已有層次，并盡可能地讓學(xué)生有所提升。據(jù)此，筆者在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)《表面涂色的正方體》一課時(shí)，讓學(xué)生通過觀察對(duì)話明晰“前層次”，通過想象表征固化、豐盈已有層次，通過歸納運(yùn)用提升、突破到下一層次。

一、在觀察對(duì)話中明晰

到了六年級(jí)，仍會(huì)有少部分學(xué)生沒有達(dá)到層次1，且大部分學(xué)生并沒有明晰自己所處的層次。因此，在教學(xué)伊始，師生就學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行對(duì)話——學(xué)生對(duì)所學(xué)對(duì)象做出觀察，確定下一步的學(xué)習(xí);教師了解學(xué)生是如何理解課題相關(guān)概念的。而觀察和對(duì)話是一種學(xué)生主動(dòng)參與、積極思考的知覺過程，能幫助學(xué)生打開思維之門。

【教學(xué)片段1】

師? （出示圖1）這個(gè)表面涂色的大正方體，每條棱都平均分成2份，能切成多少個(gè)同樣大的小正方體？你是怎么知道的？

生? 8個(gè)。看一看，數(shù)一數(shù)就能知道了。

師? 這里切成的每個(gè)小正方體的六個(gè)面是怎樣涂色的？

生? 每個(gè)小正方體都有3個(gè)面是涂色的。

（教師同步展示圖2。）

師? （出示圖3）這個(gè)大正方體的每條棱是怎樣分的？能切成多少個(gè)小正方體？

生? 平均分成3份，能切成27個(gè)小正方體。

師? 切成的小正方體涂色的面有哪些情況？

生? 有些小正方體是3個(gè)面涂色，有些是2個(gè)面涂色，有些是1個(gè)面涂色。

師? 三面涂色、兩面涂色、一面涂色的小正方體各有多少個(gè)？分別在什么位置呢？

（學(xué)生討論后明確：三面涂色的小正方體有8個(gè)，位于大正方體的頂點(diǎn)處;兩面涂色的小正方體有12個(gè)，位于大正方體棱的中間;一面涂色的小正方體有6個(gè)，位于大正方體面的中間。教師依次出示圖4、圖5、圖6。）

師? 你還想到了什么？

生? 在大正方體的里面，有1個(gè)小正方體是沒有涂色的。

師? 你怎么想到的？

生? 切開后共得到27個(gè)小正方體，但是將三面涂色、兩面涂色、一面涂色的小正方體個(gè)數(shù)加起來(lái)，只有26個(gè)，所以還有1個(gè)。

生? 有涂色面的小正方體都在大正方體的表面，在最里面應(yīng)該還有1個(gè)小正方體，任何面都沒有涂到顏色。

（教師同步展示圖7。）

師（出示表1）為了方便比較，我們可以把剛才研究的結(jié)果記錄在表格里。

這一環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生先觀察每條棱平均分成2份的情況，再觀察每條棱平均分成3份的情況，學(xué)生通過看一看、指一指、說(shuō)一說(shuō)、想一想等多種感官參與探究活動(dòng)。接著，教師通過問題引領(lǐng)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考層層深入，發(fā)現(xiàn)了涂色面的小正方體個(gè)數(shù)與其在大正方體上的位置之間的關(guān)系，為后續(xù)探究活動(dòng)的順利開展夯實(shí)基礎(chǔ)。這樣的教學(xué)，探尋到學(xué)生的幾何思維水平既達(dá)到了層次0，如：“有些小正方體是3個(gè)面涂色，有些是2個(gè)面涂色，有些是1個(gè)面涂色”;也部分達(dá)到了層次1，如：“三面涂色的在頂點(diǎn)處;兩面涂色的位于棱的中間;一面涂色的位于面的中間”“一共27個(gè)小正方體，除掉涂色的26個(gè)，應(yīng)該還有1個(gè)沒有涂色”。

二、在想象表征中豐盈

想象是指在仔細(xì)觀察后，對(duì)頭腦中已有空間表象加工、改造、結(jié)合，產(chǎn)生新表象的心理過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)和最低程度的提示，明確概念的意義，表達(dá)自己對(duì)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的看法，由此開始形成學(xué)習(xí)的關(guān)系系統(tǒng)。

【教學(xué)片段2】

師（出示圖8、圖9）這兩幅圖分別是把大正方體的每條棱平均分成4份和5份。請(qǐng)仔細(xì)觀察，然后完善表格。

（學(xué)生觀察、填表，得到表2。）

師? 請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察圖形及表格里的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生? 三面涂色的都是8個(gè)，因?yàn)槿嫱可男≌襟w都在大正方體的頂點(diǎn)上。

生? 兩面涂色的小正方體都在大正方體的棱上。正方體有12條棱，把棱三等分時(shí)兩面涂色的有1個(gè)12，四等分時(shí)兩面涂色的有2個(gè)12，五等分時(shí)兩面涂色的有3個(gè)12。

師? 這里的“1”“2”“3”你是怎樣理解的？它和棱被平均分的份數(shù)有什么關(guān)系？

生? 每條棱兩面涂色的個(gè)數(shù)比所分的份數(shù)少2。因?yàn)閮啥硕际侨嫱可男≌襟w。

生? 我發(fā)現(xiàn)，一面涂色的都在大正方體6個(gè)面的中間。每條棱平均分成3份的，一面涂色的個(gè)數(shù)是6×（3-2）2;每條棱平均分成4份的，一面涂色的個(gè)數(shù)是6×（4-2）2;每條棱平均分成5份的，一面涂色的個(gè)數(shù)是6×（5-2）2。

師? 沒有面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)有沒有規(guī)律呢？

生? （3-2）3，（4-2）3，（5-2）3。

師? 照這樣推算，你能得出把棱六等分時(shí)，三面涂色、兩面涂色、一面涂色和沒有面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)嗎？

生? 三面涂色的小正方體有8個(gè)，兩面涂色的小正方體有12×（6-2）個(gè)，一面涂色的小正方體有6×（6-2）2個(gè)，沒有面涂色的小正方體有（6-2）3個(gè)。

這一環(huán)節(jié)，教師放手讓學(xué)生邊觀察邊想象，自主探究每條棱平均分成4份、5份的規(guī)律，類比遷移前面探究得到的規(guī)律;而探究棱六等分的規(guī)律時(shí)，直接讓學(xué)生脫離直觀圖形，在頭腦中“看”出結(jié)論。從而實(shí)現(xiàn)層次2——“非形式化演繹”，如：“三面涂色的在頂點(diǎn)處，兩面涂色的在棱上，所以每條棱兩面涂色的個(gè)數(shù)比所分的份數(shù)少2……”

三、在歸納運(yùn)用中突破

教學(xué)的尾聲，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不完全歸納提出一般化猜想，再用邏輯彌合其“猜”的過程，獲得演繹經(jīng)驗(yàn)，使他們對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象之間的關(guān)系越來(lái)越明確。當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中能對(duì)研究對(duì)象舍去無(wú)關(guān)緊要的內(nèi)容，而只保留其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)時(shí)，就已經(jīng)觸摸到了層次3——“形式化演繹”。

【教學(xué)片段3】

師通過剛才的研究，我們發(fā)現(xiàn)，三面涂色、兩面涂色、一面涂色、沒有面涂色的小正方體的所在位置和個(gè)數(shù)都是有規(guī)律的。如果把一個(gè)大正方體的棱平均分成n份，你能根據(jù)我們之前發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，表示出三面涂色、兩面涂色、一面涂色、沒有面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)嗎？

生? 三面涂色的小正方體有8個(gè)。

生? 兩面涂色的小正方體個(gè)數(shù)為12（n-2）。

師? ?n-2表示什么？

生? 表示每條棱兩面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)。

生? 一面涂色的小正方體個(gè)數(shù)為6（n-2）2。

師? （n-2）2表示什么？

生? 表示每個(gè)面中間一面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)。

生? 沒有面涂色的小正方體個(gè)數(shù)為（n-2）3。

……

學(xué)生通過上一階段的非形式化演繹，能依據(jù)圖示去指認(rèn)兩面涂色、一面涂色的小正方體的位置，但也深感隨著棱分割的份數(shù)增加，看圖并不是一個(gè)好的問題解決方式，應(yīng)該通過推理得到結(jié)論。這樣，n-2就自然而然成了這類問題的前提：“2”指的是每條棱靠近頂點(diǎn)的兩個(gè)小正方體，因?yàn)檫@兩個(gè)是三面涂色的，所以在計(jì)算兩面涂色的個(gè)數(shù)時(shí)要減去。同理，計(jì)算一面涂色的個(gè)數(shù)時(shí)，要減去棱附近的小正方體，即（n-2）2。沒有面涂色的個(gè)數(shù)亦如此。至此，12（n-2）、6（n-2）2、（n-2）3成為計(jì)算表面涂色的小正方體個(gè)數(shù)的工具性前提。

這樣，當(dāng)教師出示問題：“將一個(gè)表面涂色的長(zhǎng)為6厘米、寬為5厘米、高為4厘米的大長(zhǎng)方體，切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，三面涂色、兩面涂色、一面涂色、沒有面涂色的小正方體個(gè)數(shù)各是多少？”學(xué)生的演繹思路隨之被打開：類似地，長(zhǎng)方體中，兩面涂色的個(gè)數(shù)=[（a-2）+（b-2）+（c-2）]×4，一面涂色的個(gè)數(shù)=[（a-2）×（b-2）+（a-2）×（c-2）+（b-2）×（c-2）]×2，沒有面涂色的個(gè)數(shù)=（a-2）×（b-2）×（c-2）……最后用6、5、4替換a、b、c，問題迎刃而解。

在以上歸納運(yùn)用的過程中，學(xué)生頭腦中的幾何概念逐步脫離情境而獨(dú)立存在。一旦知識(shí)形成了相互聯(lián)系的網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生便理解了在不違背前提的情況下，所有的推論必然獲得正確的答案。同時(shí)，學(xué)生還會(huì)回顧自己所用的方法并形成一種觀點(diǎn)，對(duì)象和關(guān)系也被統(tǒng)一并內(nèi)化進(jìn)一個(gè)新的思維領(lǐng)域。

需要說(shuō)明的是，幾何思維水平發(fā)展是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，因此本節(jié)課主要展現(xiàn)了層次1到層次2的跨越（學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)達(dá)到了層次1;而層次3只是讓學(xué)生初步觸摸;層次4對(duì)于剛剛接受歐氏幾何啟蒙的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，無(wú)論知識(shí)儲(chǔ)備，還是心理認(rèn)知，都無(wú)法實(shí)現(xiàn)）。但我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^上述教學(xué)看出，這一理論是指導(dǎo)“圖形與幾何”領(lǐng)域教學(xué)的有力武器。

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