基于塑性修正系數(shù)的矩形薄板屈曲計(jì)算方法

童杰 李娟 張冰珂 蘇江 侯鵬飛

摘要：為探究薄板的屈曲破壞性能，以飛機(jī)機(jī)身設(shè)計(jì)中最常用的鋁合金薄板結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，利用金屬材料塑性修正系數(shù)分析矩形薄板的屈曲失效，得到在均布?jí)毫筒煌s束條件下矩形薄板的臨界屈曲應(yīng)力。數(shù)值仿真算例及其有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證該方法的正確性。

關(guān)鍵詞：塑性修正;薄板;屈曲應(yīng)力;失效

中圖分類號(hào)：V214.35;TB115.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

0引言

在現(xiàn)代飛機(jī)和汽車結(jié)構(gòu)中，很多部件設(shè)計(jì)為板桿結(jié)構(gòu)，因此大量使用平板和曲板，如飛機(jī)地板、框梁肋的腹板等多為平板結(jié)構(gòu)，飛機(jī)機(jī)身蒙皮、汽車車身等多為曲板結(jié)構(gòu)。在飛機(jī)總體有限元模型中，一般將薄板結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為剪切板或薄板，只承受拉壓和剪切載荷，不承受彎曲載荷。這些結(jié)構(gòu)在建立計(jì)算模型時(shí)一般簡(jiǎn)化為薄板單元，在結(jié)構(gòu)破壞設(shè)計(jì)計(jì)算中主要考慮屈曲失效。

平板和曲板結(jié)構(gòu)示意見圖1。當(dāng)板的厚度δ與板的寬度b的比值δ/b在1/80-1/5范圍內(nèi)時(shí)，這樣的板就稱為薄板。薄板結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空航天、土木、海洋和機(jī)械工程等眾多領(lǐng)域。若薄板在縱向載荷作用下處于彎曲平衡狀態(tài)，則此時(shí)的縱向彎曲或壓曲稱為屈曲。

陳貞鉅計(jì)算在中面載荷下正交各向異性帶孔薄板各單元的受力分布，并用高精度板彎曲單元計(jì)算其臨界屈曲載荷和有中面力時(shí)的橫向振動(dòng)特征，總結(jié)開孔大小、材料性質(zhì)、彈性主方向、約束條件和中面載荷類型對(duì)屈曲臨界載荷和橫向振動(dòng)特征值的影響規(guī)律。沙云東等研究在熱、聲載荷作用下各向同性矩形薄壁結(jié)構(gòu)的大撓度非線性控制方程，推導(dǎo)四邊簡(jiǎn)支板的模態(tài)頻率及其在溫度梯度作用下的熱屈曲溫度差，并通過有限元數(shù)值計(jì)算，得到在熱、聲載荷作用下簡(jiǎn)支板熱屈曲前后的動(dòng)態(tài)應(yīng)力響應(yīng)。馬連生等基于經(jīng)典板理論研究在邊界面內(nèi)均布?jí)毫ψ饔孟?，功能梯度材料圓形板的軸對(duì)稱屈曲方程，得到功能梯度材料圓（環(huán)）板的臨界屈曲載荷，并分析材料的梯度性質(zhì)、內(nèi)外半徑比和邊界條件對(duì)板臨界載荷的影響。錢偉長(zhǎng)等用合成展開攝動(dòng)法，把外場(chǎng)解和內(nèi)層解結(jié)合起來(lái)，求解圓形薄板大撓度問題。ULLAH等采用廣義積分變換方法得到矩形薄板的精確解析屈曲解，根據(jù)板的邊界條件，采用振動(dòng)梁函數(shù)作為積分核構(gòu)造積分變換，將積分變換應(yīng)用于板的高階偏微分方程的基本控制，利用梁函數(shù)的一些固有性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組，由該方程組快速地得到精確的解析解。該分析方法的主要優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單、通用，不需要任何預(yù)先確定的變形函數(shù)。LI等用一種特殊的辛疊加方法討論雙軸向壓縮下完全自由板的典型屈曲問題，提出辛空間哈密頓系統(tǒng)的解，給出新的屈曲載荷綜合分析結(jié)果。該方法收斂速度快、精度高，適用于多層板問題的解析建模。WANG等研究基于辛疊加法的矩形薄板屈曲解析解，提出一種基于哈密頓系統(tǒng)的變分理論，利用拉格朗日乘子法求解辛空間薄板屈曲問題，但是文獻(xiàn)中沒有提及利用材料塑性修正系數(shù)對(duì)薄板屈曲問題進(jìn)行研究。

基于以上研究成果，本文在金屬材料的Ramberg-Osgood特性曲線的基礎(chǔ)上，對(duì)屈曲計(jì)算結(jié)果進(jìn)行塑性修改，研究在均布載荷作用下的四邊簡(jiǎn)支矩形薄板屈曲計(jì)算方法。首先，基于薄板壓曲微分方程，求解臨界屈曲壓應(yīng)力;其次，根據(jù)邊界約束條件和薄板尺寸結(jié)構(gòu)選擇不同的計(jì)算參數(shù)，對(duì)臨界屈曲壓應(yīng)力進(jìn)行迭代修正計(jì)算，得到準(zhǔn)確的臨界屈曲壓應(yīng)力;最后，通過數(shù)值算例與Nastran求解器計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證此計(jì)算方法的正確性。

1 薄板結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)和基本方程

在現(xiàn)代飛機(jī)和汽車結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，主要結(jié)構(gòu)件多為金屬結(jié)構(gòu)，并以鋁合金為主。必須要明確金屬材料的彈、塑性關(guān)系，才能進(jìn)行塑性修正計(jì)算。鋁合金材料的彈、塑性關(guān)系可根據(jù)Ramberg-Osgood材料特性曲線（見圖2）給出。式中：D為彎曲剛度;Fx、Fxy、Fy為中面內(nèi)力。

2 平板屈曲分析

式中：η為塑性修正系數(shù);k_c為屈曲因數(shù)，其值取決于邊界條件;δ為板厚。屈曲因數(shù)k_c.的取值一般為：三邊剪支一邊自由時(shí)，k_c=0.43;四邊簡(jiǎn)支，a>b時(shí)k_c=4，ac=（a/b）²+（b/a）²+2。

通常認(rèn)為，當(dāng)線彈性臨界屈曲應(yīng)力大于0.5δ_b時(shí)需要進(jìn)行塑性修正計(jì)算，壓縮載荷時(shí)塑性修正系數(shù)η的確定公式見表1。

3 數(shù)值算例

以平板在均布?jí)嚎s載荷作用下的臨界壓縮屈曲應(yīng)力計(jì)算為例，采用有限元法進(jìn)行計(jì)算，與前文計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

在計(jì)算模型中，薄板長(zhǎng)邊a=540mm，短邊b=180mm，厚度δ=2mm。材料選擇2024鋁合金，其彈性模量E=70300MPa，泊松比v_e=0.44，壓縮屈服應(yīng)力δ_cy=270MPa，Ramberg-Osgood系數(shù)n_c=13。邊界條件為四邊簡(jiǎn)支，短邊施加30MPa純壓載荷。薄板計(jì)算模型和參數(shù)示意見圖3。

由此，可以得到δ_cr=32.04MPa。

在Nastran中進(jìn)行有限元計(jì)算，邊界條件為四邊簡(jiǎn)支，計(jì)算單元為四邊形單元，單元尺寸為2×2，共計(jì)劃分24300個(gè)單元，計(jì)算結(jié)果應(yīng)力云圖見圖4。

改變計(jì)算模型尺寸，應(yīng)力計(jì)算結(jié)果見表2;改變邊界條件，應(yīng)力計(jì)算結(jié)果見表3。分析表2和3數(shù)據(jù)可知，與有限元計(jì)算結(jié)果相比，修正后的計(jì)算結(jié)果誤差都小于2%。對(duì)比分析不同薄板尺寸下的屈曲應(yīng)力可知，長(zhǎng)度尺寸a和寬度尺寸b越接近，薄板的屈曲應(yīng)力越大;在同等尺寸下，四邊簡(jiǎn)支邊界條件下的屈曲應(yīng)力明顯大于三邊簡(jiǎn)支一邊自由邊界條件的屈曲應(yīng)力。

4 結(jié)束語(yǔ)

利用金屬材料的Ramberg-Osgood彈塑性特征曲線，對(duì)薄板受壓臨界屈曲應(yīng)力進(jìn)行塑性修正。在薄板壓曲微分方程的基礎(chǔ)上，給出臨界屈曲壓應(yīng)力計(jì)算公式，分析多種邊界條件下的修正系數(shù);通過計(jì)算模型算例與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證本文計(jì)算方法的正確性，為工程設(shè)計(jì)中薄板屈曲計(jì)算提供參考。