淺析三角換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的巧用

黃蓉蓉

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多教師還采用過去單一的教學(xué)模式而忽略對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。在新課程改革背景下，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是當(dāng)代數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本內(nèi)容。教師應(yīng)當(dāng)改善以往傳統(tǒng)單一的教學(xué)模式，不僅要讓學(xué)生掌握最基本的數(shù)學(xué)知識，還應(yīng)該在教學(xué)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。我通過對三角換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的巧用研究教學(xué)，從中滲透提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

一、三角換元法在教學(xué)中的意義

三角換元法是高中數(shù)學(xué)解題中常用的一種換元方法。換元法的實(shí)質(zhì)是根據(jù)等量代換，通過構(gòu)造元和設(shè)元來變換變量，最后將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使得問題簡單化，易于處理。而三角換元法主要是將題目中的代數(shù)式與三角函數(shù)恒等式聯(lián)系起來進(jìn)行換元，代數(shù)式和三角進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，題目就變得簡單多了，學(xué)生的解題思路也變得清晰了。我通過三角換元法巧用在高中數(shù)學(xué)中一些經(jīng)典題目進(jìn)行分析，在教學(xué)中我特別重視學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維分析能力，使學(xué)生能在分析過程中形成數(shù)學(xué)解題能力和技巧。

二、三角換元法在高中數(shù)學(xué)解題中的巧用

1.三角換元法巧解函數(shù)值域與最值問題

例如，求函數(shù)y=x+1-x的值域。這一類題學(xué)生常規(guī)的解題思路是利用導(dǎo)數(shù)知識，求函數(shù)極值點(diǎn)和定義域兩個(gè)端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值，比較大小，最后得出函數(shù)值域。但這道題目的函數(shù)表達(dá)式有兩個(gè)根號，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)后形式比較復(fù)雜，解題比較繁瑣，而且也容易出錯(cuò)，甚至有的學(xué)生直接放棄。所以我們可以引導(dǎo)學(xué)生考慮利用三角換元法去簡化題目，化繁為簡。通過觀察函數(shù)表達(dá)式，可知“”里的值之和：x+（1-x）=1，與x無關(guān)，引導(dǎo)學(xué)生可將三角恒等式sin2θ+cos2θ=1聯(lián)系起來。設(shè)x=sin2θ，θ∈0，π2，這樣換元的依據(jù)就是函數(shù)本身要去根號還有兩者值域的聯(lián)系，所以要注意換元后θ的取值范圍。最后將新元代入原函數(shù)容易求得。這樣問題就轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的求三角函數(shù)值域問題。

例1：求函數(shù)f（x）=3x+6+8-x的值域。

分析：函數(shù)定義域?yàn)閤∈[-2，8]，觀察函數(shù)表達(dá)式可改寫為：f（x）=3·x+2+8-x， 發(fā)現(xiàn)“”里的值之和：（x+2）+（8-x）=10，與x無關(guān)，結(jié)合三角恒等式：sin2θ+cos2θ=1（ 10sin2θ+10cos2θ=10）進(jìn)行三角換元?？稍O(shè)x+2=10sin2θ8-x=10cos2θ，即x+2=10sinθ8-x=10cosθ，θ∈0，π2。因?yàn)樵瘮?shù)定義域?yàn)閤∈-2，8，可知x+2，8-x∈0，10，所以這里等效變換時(shí)要令θ∈0，π2。此時(shí)將替換后的新元代入原函數(shù)可得f（x）=30sinθ+10cosθ=210sin（θ+π6）， 因?yàn)棣?π6∈π6，2π3，所以sin（θ+π6）∈12，32這樣也就能得到原函數(shù)值域?yàn)閇10，30]。

2.三角換元法巧證不等式

對于高中學(xué)生來說，對于給定條件的不等式證明問題是比較難理解也不知道從何下手，我們可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會挖掘題目中隱含的條件，然后與三角恒等式聯(lián)系起來。

例2：若x，y，z∈R+，z2=x2+y2，求證xn+ynz，n∈N）.

證明：設(shè)xz=sinα，yz=cosα，（0<α<π2）即x=zsinα，y=zcosα， （0<α<π2），則xn+yn=zn（sinnα+cosnα）.又因?yàn)?

∴xn+yn=zn（sinnα+cosnα）

四、結(jié)語

三角換元法在求函數(shù)值域與最值問題、解析幾何問題、證明不等式的巧妙運(yùn)用可以歸納其對應(yīng)形式：如變量x，y可化為x2+y2=r2（r>0）形式時(shí)，則可令x=rcosθ，y=rsinθ化為三角問題。其中，三角換元法的難點(diǎn)是如何作出正確的變量代換，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析題目條件，尤其是題目中隱蔽的條件。在使用三角換元法時(shí)，特別也要讓學(xué)生注意換元后θ的取值，要保證換元前后的等效性。

在高中數(shù)學(xué)中，換元法是解題中的一種經(jīng)典方法，而三角換元法作為換元法的靈魂，在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用既靈活又廣泛。通過引導(dǎo)學(xué)生正確又靈活的運(yùn)用三角換元法，可以不斷地激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。巧妙的運(yùn)用三角換元法能有效的轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題，使得數(shù)學(xué)難題變得簡單、直觀，對數(shù)學(xué)發(fā)展也有著重要的研究意義。

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)