非牛頓流體充填料漿的管輸摩擦阻力預(yù)測

楊曉炳 肖柏林 高謙

摘? ?要：在礦山充填采礦中，充填料漿在管道輸送中的阻力損失計(jì)算是一重要環(huán)節(jié). 為探索采用摩擦阻力系數(shù)模型簡單高效地預(yù)測充填料漿管輸阻力損失的方法，按照流態(tài)分類，總結(jié)了7種常用的非牛頓流體的摩擦阻力系數(shù)模型，結(jié)合一個(gè)具體案例分析討論了模型的正確使用. 結(jié)果顯示，選取模型時(shí)必須先考慮工程實(shí)際的流體類型和流態(tài);對于最常見的賓漢塑性體的層流運(yùn)動(dòng)，使用Darby-Melson模型和Swamee-Aggarwal 方程可近似替代Buckingham-Reiner方程，其預(yù)測的沿程阻力損失與實(shí)際監(jiān)測十分吻合，是賓漢塑性體層流流動(dòng)首選的阻力預(yù)測模型，而Danish-Kumar模型則過低估計(jì)阻力值，適合赫德數(shù)較大的流體. 實(shí)際監(jiān)測中的速度、沿程阻力波動(dòng)原因與料漿配比的波動(dòng)、骨料變異性、料漿非均勻性和充填采場倍線大小等因素密切相關(guān)且不可避免. 對于層流紊流過渡區(qū)流體的沿程阻力預(yù)測仍是工程難題.

關(guān)鍵詞：非牛頓流體;膏體充填;高濃度充填;摩擦阻力系數(shù);沿程阻力損失

Abstract：In mine backfilling， it is of great significance to calculate the slurry pressure loss in the pipeline transportation. In order to seek a simple and efficient method to predict the pressure loss through applying the friction factor correlations， this paper summarized seven friction factor correction models for non-Newtonian flow according to the flow state classication. After that， details on how to utilize the models to predict the pressure loss through a case study were presented. The results show that choosing a proper model is very important， where the practical flow type and conditions should be considered. For Bingham plastic laminar flow， the Darby-Melson and Swamee-Aggarwal model， which are approximations of the Buckingham-Reiner equation， are the first choices since their prediction results are in good agreement with the actual monitoring results of the pressure loss. However， the Danish-Kumar model underestimates the pressure drop and is suitable for flow with a large Hedstrom Number. Besides， monitoring fluctuations for the velocity and pressure loss in practice can be observed due to the slightly changeable slurry mixing proportion， the variability of the aggregate， the particle settling and mild segregation of the slurry during transportation， and the change of the stowing gradient. Finally， the pressure loss prediction for the transition flow region is still an engineering challenge.

Key words：Non-Newtonian flow;cemented paste backfill;high density backfill;friction factor;pressure loss

膠結(jié)充填采礦方法是地下礦山傳統(tǒng)三大采礦方法之一，其利用膠凝材料、水和骨料在地表攪拌站攪拌均勻后，形成固體質(zhì)量分?jǐn)?shù)約60%～80%均勻料漿，利用重力自流或泵送，經(jīng)管道輸送到井下采場空區(qū)，經(jīng)過一段時(shí)間的硬化后形成固態(tài)膠結(jié)充填體，提供支護(hù)功能，防止塌陷[1]. 膠結(jié)充填采礦法能有效解決選礦尾砂的地表堆存問題，保護(hù)環(huán)境，形成綠色循環(huán)經(jīng)濟(jì)[2];膠結(jié)充填采礦法具有最高的資源回收率，可有效管理地壓，提高井下作業(yè)安全性[3];特別是當(dāng)前淺地表資源的耗竭，采礦活動(dòng)逐漸往深部發(fā)展，例如我國有越來越多的礦山開采達(dá)到并超過1 000 m[4-6]，深部開采意味著高溫高應(yīng)力，伴隨著巖爆風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)膠結(jié)充填采礦法以其良好的地壓管理能力，將成為深部開采的最主要采礦方法之一.

充填料漿可當(dāng)作流態(tài)混凝土，必須能夠?qū)崿F(xiàn)自流平，也有人稱之為低強(qiáng)度混凝土[7]. 研究如何將充填料漿安全、高效地輸送到井下采場空區(qū)，是該技術(shù)成功應(yīng)用的關(guān)鍵之一. 在工程實(shí)際中，充填料漿在管道輸送中的沿程摩擦阻力計(jì)算，直接影響甚至決定了能否自流輸送、充填系統(tǒng)的建設(shè)、設(shè)備（尤其是泵）選型、管網(wǎng)敷設(shè)形式等諸多核心問題. 國內(nèi)外眾多學(xué)者對摩擦阻力計(jì)算進(jìn)行深入研究，如唐艷蓓等人[8]采用CFX軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，分析流體在管道中的沿程阻力系數(shù)與管道內(nèi)壁相對粗糙度的關(guān)系;于躍等人[9]以新陽煤礦為背景，提出了適用于該礦的高濃度膠結(jié)充填料漿的沿程阻力損失的理論公式;王石等人[10]研究了添加陰離子型聚丙烯酰胺（APAM）前后，全尾似膏體漿料管道輸送的沿程阻力計(jì)算公式;吳愛祥等人[11]根據(jù)流體力學(xué)理論建立了考慮管壁滑移效應(yīng)的膏體管道輸送阻力模型，并根據(jù)響應(yīng)面分析確定管道摩擦阻力的影響順序由大到小依次為灰砂比、尾廢比、濃度. 國內(nèi)研究多直接提出用于針對特定某個(gè)礦山的阻力計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)公式，著名的沿程阻力計(jì)算公式還有如金川公式、長沙礦冶院研究公式、鞍山黑色金屬礦山設(shè)計(jì)院公式[12]，然而這些公式應(yīng)用復(fù)雜，往往是經(jīng)驗(yàn)公式且僅適用于某一特定情況，很少對前提進(jìn)行界定，缺乏通用性總結(jié);而國外研究多采用無量綱的摩擦阻力系數(shù)的概念，并通過Darcy-Weisbach方程轉(zhuǎn)化為具體沿程阻力值[13].

在國內(nèi)礦山實(shí)際中，也有很多采用設(shè)計(jì)環(huán)管實(shí)驗(yàn)的方法，直接對阻力進(jìn)行準(zhǔn)確測量[14-15]. 環(huán)管實(shí)驗(yàn)是最準(zhǔn)確的測試方法，但其代價(jià)極其昂貴，實(shí)驗(yàn)過程及操作繁雜費(fèi)事[16]，在實(shí)際中經(jīng)常需要對料漿進(jìn)行不斷調(diào)整，采用環(huán)管實(shí)驗(yàn)是極其浪費(fèi)的一種做法. 最有效的辦法是采用阻力計(jì)算公式進(jìn)行預(yù)測，然而在國內(nèi)眾多文獻(xiàn)中，并沒有多少正確利用阻力系數(shù)預(yù)測充填料漿阻力的案例. 其原因之一是公式的數(shù)量繁多，另一個(gè)是缺乏考慮料漿流態(tài)、狀態(tài)的多變性，從而選擇正確、適用所需情況下的阻力計(jì)算方法. 因此本文在總結(jié)國內(nèi)外常用關(guān)鍵的一些賓漢塑性體的摩擦阻力系數(shù)計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，解釋說明各方法的適用條件，然后結(jié)合一個(gè)具體案例，探討如何正確應(yīng)用這些公式進(jìn)行充填料漿摩擦阻力預(yù)測，并對這些公式的適用性進(jìn)行評價(jià). 希望能為正確使用這些模型提供參考.

1? ?賓漢塑性體的摩擦阻力系數(shù)計(jì)算模型

在工程實(shí)際中，現(xiàn)代充填料漿基本可分為高濃度及膏體兩種，表現(xiàn)為非牛頓體特性，且絕大多數(shù)是賓漢塑性流體[17]. 賓漢塑性體料漿同其他流體類似，在管道中流動(dòng)同樣可以分為層流運(yùn)動(dòng)、紊流運(yùn)動(dòng)及過渡區(qū)三種流態(tài)，對于過渡區(qū)，有太多不確定性，仍是當(dāng)前的學(xué)術(shù)難題，因此本節(jié)首先按流態(tài)分，總結(jié)了適用于層流區(qū)、紊流區(qū)及層流紊流通用的摩擦阻力系數(shù)計(jì)算方法.

1.1? ?適用層流區(qū)的摩擦阻力系數(shù)模型

1.1.1? ?Buckingham-Reiner方程

Buckingham-Reiner方程[18]適用于賓漢塑性體層流狀態(tài)下的摩擦阻力系數(shù)計(jì)算模型，如式（1）所示. 可見該方程為fL的四階隱式方程，雖然可以獲得精確解析解，但其計(jì)算過程復(fù)雜，有諸多研究者尋找該方程的顯式近似解.

1.1.2? ?Darby-Melson模型

1.1.3? ?Swamee-Aggarwal 方程

Swamee-Aggarwal 方程[20]用來直接求解賓漢塑性體層流下的Darcy-Weisbach摩擦阻力系數(shù)fL，它是Buckingham-Reiner隱式方程的一種近似，如式（5）所示.

1.2? ?適用紊流區(qū)的摩擦阻力系數(shù)模型

1.2.1? ?Colebrook-White方程

該模型[21]是一個(gè)僅適用于紊流區(qū)的通用模型，除了賓漢塑性體，也可用于其他如H-B等流體，該模型認(rèn)為，假如相對粗糙度的影響甚微，可用式（6）的隱式方程求解水力光滑管的摩擦阻力系數(shù).

1.2.2? ?Wilson-Thomas模型

該模型[22]適用于賓漢塑性體料漿的紊流運(yùn)動(dòng)阻力系數(shù)計(jì)算：

1.2.3? ?Dodge-Metzner模型

該模型[23]修正了剪切變稀的紊流運(yùn)動(dòng)非牛頓體在水力光滑管的摩擦阻力系數(shù)：

1.3? ?適用層流紊流的通用模型

Danish等人[24]通過采用阿多米安分解法提出了計(jì)算層流下的摩擦阻力系數(shù)計(jì)算方法，如式（12）所示.

2? ?充填料漿沿程阻力預(yù)測的工程案例應(yīng)用及評價(jià)

前面總結(jié)了7種常用的摩擦阻力系數(shù)模型，下面結(jié)合一個(gè)具體案例討論這些模型的應(yīng)用，并進(jìn)行評價(jià).

2.1? ?利用模型預(yù)測沿程阻力的步驟

上述模型中有的適用于層流運(yùn)動(dòng)，有的適用于紊流運(yùn)動(dòng)，在具體實(shí)際應(yīng)用時(shí)必須事先判斷充填料漿在管道中的流態(tài)，即計(jì)算其雷諾數(shù). 從式（1）中雷諾數(shù)的定義可知，工程中某一流體的雷諾數(shù)與料漿的動(dòng)力黏度、料漿密度、料漿流速以及管道直徑有關(guān);密度、流速及管道直徑可以根據(jù)具體礦山實(shí)際情況獲取，動(dòng)力黏度是料漿流變參數(shù)之一，需要通過流變儀進(jìn)行測量. 通過流變儀還可以測量另一個(gè)流變參數(shù)——屈服應(yīng)力，這兩個(gè)流變參數(shù)也是計(jì)算赫德數(shù)的必要條件之一.

利用摩擦阻力系數(shù)模型預(yù)測充填料漿的沿程阻力損失的步驟是： 1）用流變儀測量料漿的動(dòng)力黏度及屈服應(yīng)力; 2）得到的料漿流變參數(shù)結(jié)合工程實(shí)際的管道大小、料漿密度及流速，計(jì)算得到料漿雷諾數(shù)及赫德數(shù); 3）根據(jù)得到的雷諾數(shù)判斷料漿在管道中的流態(tài)，結(jié)合赫德數(shù)，正確選取一個(gè)摩擦阻力系數(shù)模型;4）根據(jù)模型計(jì)算對應(yīng)的摩擦阻力系數(shù)，通過Darcy-Weisbach方程轉(zhuǎn)換成沿程水頭損失hf，如式（14）所示.

2.2? ?應(yīng)用案例

2.2.1? ?工程背景

金川鎳礦位于中國甘肅省，是中國最大的鎳鈷生產(chǎn)基地. 龍首礦是金川三個(gè)礦山之一，其采用下向進(jìn)路式分層充填，高濃度料漿通過自流管輸?shù)讲蓤?，充填倍線3 ～ 4，采用水泥為膠結(jié)劑，添加量為280～310 kg/m3，骨料為棒磨砂和廢石混合骨料（最大粒徑5 mm，D50 = 1～2 mm，棒磨砂廢石比例為7 ∶ 3），料漿質(zhì)量分?jǐn)?shù)為78%. 工程中遇到的問題是，料漿分層離析較嚴(yán)重，對管道磨損及井下充填體穩(wěn)定性影響很大，其主要原因是缺少-20 μm細(xì)顆粒含量，通過實(shí)驗(yàn)對料漿進(jìn)行優(yōu)化后，最終優(yōu)化后的料漿配比是：水泥摻量300 kg/m3，料漿質(zhì)量分?jǐn)?shù)為78%，采用石灰石粉替換部分原混合骨料，以增加細(xì)顆粒含量，替換量為骨料質(zhì)量的10%.

2.2.2? ?實(shí)驗(yàn)材料

該案例中所用的材料均為龍首礦充填系統(tǒng)實(shí)際生產(chǎn)中所用的材料，其中水泥為當(dāng)?shù)亟鸩鹉嗉瘓F(tuán)的42.5水泥，骨料為棒磨砂（A1）、廢石（A2）混合骨料，添加的細(xì)骨料為石灰石粉（A3），這些骨料的粒徑級配分布如圖1所示. 骨料的主要化學(xué)成分如表1所示.

2.2.3? ?調(diào)整后的料漿流變特性測試

按照上述步驟，首先對調(diào)整后的料漿在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)進(jìn)行流變測試，料漿配比為水泥摻量300 kg/m3，固體質(zhì)量分?jǐn)?shù)為78%，骨料中混合骨料與石灰石粉的比例為9 ∶ 1，混合骨料中棒磨砂與廢石的比例為7 ∶ 3，料漿密度ρm = 2 007.2 kg/m3.

采用Brookfiled 的R/S-SST流變儀+Rheo3000軟件對料漿在室溫環(huán)境下進(jìn)行流變測試. 測試前將混合物用攪拌機(jī)攪拌5 min至均勻狀態(tài)，然后裝入600 mL的玻璃燒杯中，立即開始流變測試，流變儀采用VT-40-20葉片轉(zhuǎn)子，測試時(shí)采用控制剪切速率模式（CSR），為了減少通道效應(yīng)及蠕變效應(yīng)，測試時(shí)先用120 s-1的速率剪切2 min，然后設(shè)置剪切速率從120 s-1在120 s內(nèi)逐漸降低至0 s-1得到，該期間記錄的剪切速率與剪切應(yīng)力關(guān)系如圖2所示，并用賓漢塑性體模型進(jìn)行擬合，得到的結(jié)果為：

2.2.4? ?計(jì)算雷諾數(shù)選擇合適的模型

龍首礦西部充填站的充填管道直徑D = 0.11 m，調(diào)整后料漿的密度ρm = 2 007.2 kg/m3，西部充填站運(yùn)行中控制系統(tǒng)終端監(jiān)測得到的流量除以管道截面積可以換算成料漿流動(dòng)速度（見圖3）;把已知參數(shù)代入式（1）雷諾數(shù)的計(jì)算公式，可以得到雷諾數(shù)的變動(dòng)范圍，如圖3所示.

由圖3可知，該條件下料漿在管道中大部分時(shí)間處于層流運(yùn)動(dòng)（雷諾數(shù)小于2 100），但也有一小部分由流速變化導(dǎo)致其處于層流紊流過渡區(qū). 引起料漿流速變化波動(dòng)的原因有3個(gè)：1）充填系統(tǒng)配比波動(dòng)，如料漿質(zhì)量分?jǐn)?shù)為78%，但實(shí)際中不可能完全穩(wěn)定在78%，一般在77%～79%間波動(dòng)，這是充填系統(tǒng)本身特性所決定，是不可避免的;2）充填材料，尤其是骨料的差異性，攪拌桶中雖然是連續(xù)攪拌，但在不同時(shí)刻放入的骨料具有差異性，其粒徑級配不可能完全一樣，這將引起料漿密度、黏度、屈服應(yīng)力等各個(gè)特性的波動(dòng)，從而造成流速波動(dòng);3）充填料漿的非均質(zhì)性，高濃度料漿可以當(dāng)作似均質(zhì)流，但達(dá)不到理想均質(zhì)狀態(tài)，因此料漿在管道縱截面上的速度會(huì)有細(xì)微差異，再加上金川充填料漿中骨料顆粒的最大粒徑達(dá)12 mm，料漿中大顆粒的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)恰好經(jīng)過管道傳感器位置將可能引起波動(dòng)異常.

因此，可以把該料漿當(dāng)作是層流運(yùn)動(dòng)，根據(jù)第1節(jié)所總結(jié)的模型，該情況下可選用的模型有Buckingham-Reiner方程、Darby-Melson模型、Swamee-Aggarwal 方程和Danish-Kumar模型;其中Swamee-Aggarwal 方程只是Buckingham-Reiner高階隱式方程的顯式近似求解，因此兩個(gè)方程的解差異不大，為了簡化計(jì)算，采用Swamee-Aggarwal 方程，即最終采用式（4）、式（5）和式（12）3種模型進(jìn)行預(yù)測.

3? ?結(jié)果驗(yàn)證與評價(jià)

3.1? ?驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證及評價(jià)所選方法所預(yù)測沿程阻力損失的準(zhǔn)確性和適用性，在龍首礦西部充填站已有的充填管道系統(tǒng)架設(shè)壓力傳感器，通過實(shí)際工業(yè)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型的適用性與準(zhǔn)確性. 西部充填站的充填管網(wǎng)水平管總長為1 520 m;垂直管總長為421 m，充填倍線3.61，管道內(nèi)徑110 mm;共安裝了4個(gè)壓力變送器以監(jiān)測料漿在管道流動(dòng)中的阻力變化，并采用無紙記錄儀每隔1 min記錄一次監(jiān)測點(diǎn)的壓力. 管網(wǎng)簡圖、監(jiān)測點(diǎn)的位置及安裝如圖4所示.

3.2? ?結(jié)果分析與評價(jià)

以調(diào)整后的料漿配比進(jìn)行工業(yè)實(shí)驗(yàn)，所有流量流速、壓力、濃度等監(jiān)測信息都傳輸至地表控制終端，根據(jù)監(jiān)測點(diǎn)的流速等相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型，可以計(jì)算得到各模型的預(yù)測摩擦阻力系數(shù)，再經(jīng)過式（15）即可轉(zhuǎn)換成對應(yīng)預(yù)測的沿程阻力損失;實(shí)際監(jiān)測中將兩個(gè)不同監(jiān)測站監(jiān)測的壓力差除以該兩個(gè)監(jiān)測站的距離即為實(shí)際監(jiān)測沿程阻力損失;最終采用的3種模型沿程阻力預(yù)測結(jié)果與監(jiān)測點(diǎn)所記錄的實(shí)際阻力損失對比如圖5所示. 從圖5中可以得到：

1）首先對于實(shí)際監(jiān)測得到的壓力損失，其波動(dòng)較大，原因除了在2.2.4所述的配比波動(dòng)、骨料變異性及料漿非均勻性以外，還與實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)和充填采場倍線大小等關(guān)系密切相關(guān)，在工業(yè)中這種波動(dòng)是正常及不可避免的.

2）Swamee-Aggarwal方法及Darby-Melson方法預(yù)測得到的沿程阻力幾乎重合，前者略大于后者，這是因?yàn)檫@兩個(gè)方程的本質(zhì)都是Buckingham-Reiner，只是進(jìn)行顯式求解的不同造成了略微不同. 但兩者預(yù)測到的沿程阻力與實(shí)際監(jiān)測的沿程阻力基本一致，處于同一水平波動(dòng)，吻合良好;而與實(shí)際監(jiān)測差異較大的部分點(diǎn)是由于流態(tài)變化造成的. 由前文所述速度及雷諾數(shù)波動(dòng)中，已經(jīng)驗(yàn)證有極少時(shí)刻，料漿處于層流紊流過渡區(qū)，此時(shí)沿程阻力將十分不可控，變化較大，而這里的這兩種方法都是適用層流運(yùn)動(dòng)下的阻力計(jì)算，因此造成這些部分預(yù)測值與實(shí)測值差異較大. 從工程實(shí)際上看，Swamee-Aggarwal方法及Darby-Melson模型能預(yù)測得到與實(shí)際工業(yè)充填中相吻合的阻力損失.

3）Danish-Kumar模型預(yù)測得到的沿程阻力損失與實(shí)際相差較大，其預(yù)測值遠(yuǎn)小于實(shí)測值，且對速度波動(dòng)的反應(yīng)也不明顯，“失真”較嚴(yán)重. 在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)中間參數(shù)K2十分微小，達(dá)到10-10，本文認(rèn)為其比較適用赫德數(shù)He較大的流體（50 000以上），但考慮篇幅問題并未進(jìn)行深入解釋.

4? ?結(jié)? ?論

本文通過總結(jié)文獻(xiàn)常用的7個(gè)非牛頓流體的摩擦阻力系數(shù)計(jì)算模型，按照其適用流態(tài)類型進(jìn)行分類并簡要介紹討論了具體用法，然后結(jié)合一個(gè)具體案例論述了模型的具體應(yīng)用，得到了以下幾點(diǎn)結(jié)論：

1）高濃度或膏體充填料漿可以看作均質(zhì)或似均質(zhì)的非牛頓體，可以通過選擇正確的模型計(jì)算其在工程實(shí)際管道流動(dòng)中的沿程阻力損失;正確模型的選擇十分重要，必須先考慮工程實(shí)際流體的類型（冪次、賓漢體、H-B體）、流態(tài)（雷諾數(shù)），才能根據(jù)這些前提選擇準(zhǔn)確的阻力系數(shù)模型.

2）對于賓漢塑性體的層流運(yùn)動(dòng)，Buckingham-Reiner方程、Darby-Melson模型、Swamee-Aggarwal 方程和Danish-Kumar模型是4種最常用的預(yù)測模型，其中Buckingham-Reiner方法是4次隱式方程，必須通過迭代才能求解，實(shí)際中往往用Darby-Melson模型和Swamee-Aggarwal 方程進(jìn)行近似替代;通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，Darby-Melson和Swamee-Aggarwal方法所預(yù)測的沿程阻力與實(shí)際監(jiān)測十分吻合，處于同一平均位置波動(dòng)，是賓漢塑性體層流運(yùn)動(dòng)首選的阻力預(yù)測模型，而Danish-Kumar模型則過低估計(jì)阻力值，適合赫德數(shù)較大的流體.

3）實(shí)際中速度、沿程阻力波動(dòng)的原因與料漿配比波動(dòng)、骨料變異性、料漿非均勻性、實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)和充填采場倍線大小等因素密切相關(guān)，是不可避免的;盡管如此，Darby-Melson和Swamee-Aggarwal方法也能根據(jù)速度波動(dòng)模擬其阻力的變化，而當(dāng)料漿進(jìn)入層流紊流過渡區(qū)時(shí)則誤差較大，對于大部分時(shí)刻處于過渡區(qū)或紊流區(qū)的流體必須采用其他模型進(jìn)行預(yù)測.

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