基于KdV方程的淺水畸形波演化特征

高森林，扈 喆，張曉瑩，馬亞州，毛富豐

(集美大學(xué)輪機(jī)工程學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

畸形波是一種能量高度集中的災(zāi)難性波浪，具有大波高、大波陡、無預(yù)兆、持續(xù)時間短等特征，其巨大的破壞力，給船舶的航行安全和海洋結(jié)構(gòu)物的安全運(yùn)作帶來嚴(yán)重威脅。為了獲得畸形波海上實(shí)測數(shù)據(jù)，許多研究機(jī)構(gòu)投入了大量人力物力。Sand等[1]報(bào)道了1969—1984年在丹麥和愛爾蘭沿海大陸架上觀測到的9個淺水畸形波，這9個畸形波均發(fā)生在水深20～40 m處，有義波高2～8 m。Nikolkina等[2]更加詳細(xì)地報(bào)道了2006—2010年發(fā)生在全球各處的30個淺水畸形波，這30個淺水畸形波發(fā)生在水深0～50 m處，有義波高1.0～6.0 m。

由于畸形波的海上實(shí)測存在諸多困難，人們主要依賴實(shí)驗(yàn)?zāi)M和數(shù)值模擬來研究畸形波。與實(shí)驗(yàn)?zāi)M相比，數(shù)值模擬可模擬更為復(fù)雜、尺度更大的波浪，且具有經(jīng)濟(jì)性高、誤差小等優(yōu)點(diǎn)[3]。Kriebel等[4]提出了由隨機(jī)波列(或背景波列)加上瞬態(tài)波列(或脈沖波列)的雙波列疊加模型，并將組成波的頻譜能量按不同比重分別分配給隨機(jī)波列和瞬態(tài)波列。裴玉國[5]基于雙波列疊加模型改進(jìn)得到三波列疊加模型(一個隨機(jī)波列和兩個瞬態(tài)波列)，模擬非線性更強(qiáng)的波浪時效果優(yōu)于雙波列疊加模型。Pelinovsky等[6]在KdV方程框架下，先以目標(biāo)畸形波為初始條件，發(fā)展得到各個時刻的色散小振幅波，然后改以得到的色散小振幅波為初始條件，根據(jù)KdV方程關(guān)于變換x→-x,t→-t的不變性，逆轉(zhuǎn)時間過程發(fā)展得到目標(biāo)畸形波。為便于稱呼，以下簡稱這一方法為時空反演法。Fouque等[7]運(yùn)用時間反演法，研究了Boussinesq框架、KdV框架、粘性Burgers框架下畸形波的弱色散性和弱非線性。Akhmediev等[8]借鑒時空反演法，研究了在非線性薛定諤方程框架下兩個以上Akhmediev呼吸子碰撞產(chǎn)生畸形波的初始條件。Touboul等[9]采用時空反演法，研究了Serre-Green-Naghdi系統(tǒng)下淺水畸形波底部壓力分布。

目前文獻(xiàn)中多采用有限差分法數(shù)值求解KdV方程[10-12]。與有限差分法相比，虛擬波譜法(pseudo-spectral method)在保證計(jì)算精度的同時大幅提高了計(jì)算效率[13]。Fornberg等[14]應(yīng)用虛擬波譜法數(shù)值模擬了多孤子在KdV方程、mKdV方程框架下的相互作用過程。Lo等[15]應(yīng)用該方法數(shù)值求解了Dysthe方程。張運(yùn)秋[16]應(yīng)用該方法數(shù)值求解了考慮粘性阻尼作用的四階修正非線性薛定諤方程。本文使用虛擬波譜法數(shù)值求解KdV方程。

目前文獻(xiàn)中多采用Longuet-Higgins提出的線性疊加模型，通過多個不同周期、不同振幅、不同隨機(jī)初相位的余弦波疊加來模擬隨機(jī)波浪[17-19]。但在近岸淺水區(qū)，橢圓余弦波相比余弦波更能準(zhǔn)確地描述波浪運(yùn)動特征[20]。因此本文借鑒雙波列模型的思想，以JONSWAP譜為目標(biāo)譜，分別基于線性余弦波與橢圓余弦波理論建立背景隨機(jī)波浪場。采用時空反演法，研究高斯脈沖型畸形波在隨機(jī)背景波浪場中從生成到消失的全過程，并采用小波方法分析時頻演化特征。在此基礎(chǔ)上，本文模擬多組不同參數(shù)下的高斯脈沖畸形波演化過程，回歸分析高斯脈沖型畸形波持續(xù)時間和傳播距離與各參數(shù)之間的關(guān)系。

1 控制方程與虛擬波譜法求解

在一維淺水中，設(shè)水深為h，并且是一個常數(shù)。假設(shè)波沿x正方向傳播，波幅為a，波長為L，則當(dāng)a/h?1且h/L?1時，水波控制方程近似演變?yōu)镵dV方程[21]：

(1)

式中：t為時間；x為水平位置，η為自由液面高度。

為使用虛擬波譜法數(shù)值求解KdV方程，將方程(1)表示為如下的廣義非線性方程形式：

?η/?t=L(η)+N(η)。

其中：L(η)、N(η)分別表示方程的線性部分和非線性部分。

虛擬波譜法的主要思想是將原非線性方程中的線性部分和非線性部分在每一個時間步長上分開求解后再進(jìn)行迭代。

這樣就由η(x,t)求解得到前進(jìn)一個時間步長后的值η(x,t+Δt)，循環(huán)這一過程即可完成KdV方程的數(shù)值求解。

通過對比KdV方程孤波理論解與數(shù)值解來驗(yàn)證虛擬波譜法求解的正確性。KdV方程孤波解為[22]：

(2)

式中：c1,x0,t0為常數(shù)；c1h/3為孤波的波高；x0,t0反應(yīng)了波的初始相移。

由圖1可以看出數(shù)值解與理論解在各個時刻吻合良好，體現(xiàn)了本文數(shù)值解法的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性。

2 數(shù)值算例與討論

2.1 高斯脈沖在KdV框架下的演化特征

高斯脈沖廣泛應(yīng)用于各類非線性問題研究中，并常作為畸形波的試探解。Pelinosky等[6]模擬了KdV框架下高斯脈沖在由18個隨機(jī)正弦波疊加而成的波浪場中的發(fā)展過程。黃峻堃等[23]研究了非線性薛定諤方程框架下含有三階、五階非線性項(xiàng)和Kerr色散項(xiàng)時高斯型脈沖中各參量隨傳播距離的演化規(guī)律。與其他畸形波形式相比，高斯脈沖具有參量數(shù)目少，參量的幾何意義明顯等優(yōu)點(diǎn)，便于使用控制變量法等方法進(jìn)一步量化分析。

本文采用時空反演法模擬KdV框架下高斯脈沖從生成到消失的全過程。以高斯脈沖

η(x,0)=Ae-x2/d2

(3)

為目標(biāo)波，取波幅A=4 m,脈寬d=10 m，使用虛擬波譜法求解KdV方程，可得波列的發(fā)展過程，如圖2所示。

圖2a各個時刻的波形圖體現(xiàn)了KdV方程框架下畸形波的時空聚焦生成機(jī)制。在t=0s時刻，波列由左端的大振幅波和右端的色散小振幅波列組成。由于大振幅波前進(jìn)速度大于小振幅波列，隨著時間的推移前者逐漸追趕后者，到t=480s時刻，大振幅波與小振幅波列在x=0m位置匯聚形成高斯脈沖；t=480s時刻之后，高斯脈沖分解為右端的大振幅波和左端的色散小振幅波列，且右端的大振幅波振幅逐漸減小。圖2b的小波分析圖反映了各個時刻波列的波數(shù)組成信息和能量分布信息。在t=0s時刻，左端大振幅波對應(yīng)的是波數(shù)0～0.15 m-1呈三角形尖峰狀部分，為能量主要集中區(qū)域；右端色散小振幅波列呈扇狀，并與尖峰狀部分波數(shù)0.03 m-1處連接對應(yīng)，能量較??；到t=480s時刻，扇狀部分消失，能量集中到高斯脈沖生成位置x=0m處，同時高波數(shù)部分能量明顯增加；t=480s時刻之后，能量分散到呈尖峰狀的右端大振幅波和呈扇狀的左端小振幅波，并且隨著時間推移，整個波列的波數(shù)逐漸減小。

2.2 高斯脈沖在隨機(jī)線性余弦波浪場中的演化特征

采用Goda改進(jìn)的JONSWAP譜[24]為目標(biāo)譜，模擬隨機(jī)波浪。JONSWAP譜的表達(dá)式如下：

線性波浪疊加法將海浪看作由多個不同周期和不同隨機(jī)初相位的余弦波疊加而成：

本文結(jié)合實(shí)際觀測數(shù)據(jù)[1,2]，計(jì)算時取水深h=10m，有義波高Hs=2m，有義周期Ts=10s。首先以ζ(x,0)為初始條件代入KdV方程，采用虛擬波譜法，計(jì)算得到在KdV框架下充分發(fā)展后波形穩(wěn)定的隨機(jī)波列ζ(x,600)，再取目標(biāo)畸形波波列為

η(x,0)=ζ(x,600)+Ae-x2/d2。

(4)

以式(4)為初始條件求解KdV方程，采用時空反演法可得隨機(jī)線性余弦波浪場中高斯脈沖型畸形波從生成到消失的過程，如圖3所示。

圖3a各個時刻的波形圖顯示了高斯脈沖型畸形波在t=240s時刻生成，之后逐漸消失在隨機(jī)波浪場中的過程。與波形圖相對應(yīng)，圖3b各個時刻的小波分析圖反映了高斯脈沖在隨機(jī)波列中演化過程，從t=0s到t=240s，高斯脈沖波列在隨機(jī)波列中匯聚，最終在x=0m處形成高斯脈沖型畸形波；從t=240s到t=480s，高斯脈沖波列在隨機(jī)波列中色散，能量分散到隨機(jī)波列中?？v觀各個時刻小波圖可以發(fā)現(xiàn)，在高斯脈沖型畸形波生成前的t=0s和t=120s時刻，以及生成后的t=360s和t=480s時刻，波列的高波數(shù)(波數(shù)0.1～0.2 m-1)成分能量較少且分散，而在畸形波生成t=240s時刻，波列能量會聚到畸形波生成x=0m處，且x=0m處高波數(shù)成分能量大而集中，這體現(xiàn)了畸形波能量集中，且能量向高頻轉(zhuǎn)移的特點(diǎn)。

2.3 高斯脈沖在隨機(jī)橢圓余弦波浪場中的演化特征

波浪傳入近岸淺水區(qū)后，海底邊界的摩擦影響迅速增加，波高和波形將不斷變化，兩波峰處的水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動特性與波陡H/L的關(guān)系減弱，而與相對波高H/d的關(guān)系增強(qiáng)，即H/L和H/d成為決定波動性質(zhì)的主要因素，此時采用能反映決定波動性質(zhì)的主要因素H/L和H/d的橢圓余弦波理論，描述波浪運(yùn)動，可以取得較滿意的結(jié)果[20]。

在t=0s時刻，第i個橢圓余弦波可以表示為[25]

首先以ζ(x,0)為初始條件代入KdV方程，采用虛擬波譜法計(jì)算得到在KdV框架下充分發(fā)展后波形穩(wěn)定的隨機(jī)波列ζ(x,600)，再取目標(biāo)畸形波波列為η(x,0)=ζ(x,600)+Ae(-x2/d2)，得到橢圓余弦隨機(jī)波浪場中高斯脈沖型畸形波從生成到消失的全過程

與由余弦波模擬的隨機(jī)波列類似，由橢圓余弦波模擬的隨機(jī)波列中高斯脈沖型畸形波也經(jīng)歷了由匯聚到色散的演化過程，如圖4所示。在t=240s時刻，x=0m處出現(xiàn)了高斯脈沖型畸形波，同時能量也會聚到x=0m處，且高波數(shù)成分能量明顯增加；t=240s時刻之后，畸形波波幅減小，能量逐漸消散，高斯脈沖型畸形波“消失”在隨機(jī)波列中。圖4b的小波能量圖分析與圖3類似，再次驗(yàn)證了畸形波發(fā)生時的高能量與高波數(shù)能量集中特點(diǎn)。

2.4 高斯脈沖型畸形波持續(xù)時間與傳播距離

采用控制變量法研究不同參數(shù)的高斯脈沖型畸形波在橢圓余弦隨機(jī)波浪中的持續(xù)時間與傳播距離規(guī)律。采用上跨零點(diǎn)法計(jì)算波列演化過程中各個時刻的最大波高與有義波高，當(dāng)最大波高超過2倍有義波高時，按畸形波定義可知，該時刻波列中出現(xiàn)畸形波，進(jìn)而可計(jì)算畸形波從出現(xiàn)到消失的持續(xù)時間與傳播距離。本節(jié)繼續(xù)沿用上文取定的水深h，有義波高Hs，有義周期Ts數(shù)值，選取3組隨機(jī)相位，然后依次改變高斯脈沖表達(dá)式(3)中的波幅A，脈寬d，共形成66個算例，并計(jì)算每個算例中畸形波持續(xù)時間Δt和傳播距離Δs，無因次化后結(jié)果如圖5、圖6所示。

由圖5可知，當(dāng)高斯脈沖脈寬d固定時，隨著高斯脈沖無因次波幅A/Hs增大，高斯脈沖型畸形波在橢圓余弦隨機(jī)波浪中的無因次持續(xù)時間與無因次傳播距離均隨之增大。由圖6可知，當(dāng)高斯脈沖波幅A固定時，隨著高斯脈沖無因次脈寬d/Ls增大，高斯脈沖型畸形波在橢圓余弦隨機(jī)波浪中的無因次持續(xù)時間與無因次傳播距離也隨之增大。對圖5、圖6中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行最小二乘法曲線擬合，擬合函數(shù)選為二次函數(shù)，由圖5、圖6可見擬合效果良好。由此可以得出結(jié)論：高斯脈沖型畸形波的持續(xù)時間與傳播距離與高斯脈沖波幅A和脈寬d都是正相關(guān)的，且大致呈二次函數(shù)關(guān)系。從能量角度分析，高斯脈沖波幅A與高斯脈沖能量大小正相關(guān)，而脈寬d則反映了高斯脈沖能量在波峰處的會聚程度，因此當(dāng)高斯脈沖能量越大，能量越會聚到波峰處，則高斯脈沖型畸形波在橢圓余弦隨機(jī)波浪中的持續(xù)時間越長，傳播距離越遠(yuǎn)。

3 結(jié)論

本文采用虛擬波譜法數(shù)值求解KdV方程，得到不同初始波列下的發(fā)展波列，并通過小波變換對各個時刻波列進(jìn)行分析，清楚顯示了各個時刻波列能量分布變化。以JONSWAP譜為目標(biāo)譜，分別以線性余弦波、橢圓余弦波為基礎(chǔ)組成波，采用疊加思想模擬隨機(jī)波列，同時根據(jù)KdV方程的性質(zhì)，采用時空反演法，實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)波列中畸形波從出現(xiàn)到消失的完整演化過程。最后計(jì)算分析了不同參數(shù)條件下高斯脈沖型畸形波在橢圓余弦隨機(jī)波浪中的持續(xù)時間與傳播距離。

結(jié)合以上各算例分析可得如下結(jié)論：1)畸形波生成時能量集中，且高波數(shù)部分能量明顯增加，體現(xiàn)了KdV方程的非線性；2)高斯脈沖型畸形波的持續(xù)時間與傳播距離和高斯脈沖的波幅與脈沖參量之間為二次函數(shù)關(guān)系。當(dāng)畸形波能量越大，畸形波處能量集中程度越高時，畸形波的持續(xù)時間越長，傳播距離越遠(yuǎn)。

本文方法具有一定普適性，如文中的高斯脈沖型畸形波可替換為其他類型的畸形波，KdV方程可替換為其他適合使用時空反演法的方程，進(jìn)而研究不同類型畸形波在隨機(jī)波浪場中的演化特征。