蝴蝶定理對(duì)合對(duì)應(yīng)關(guān)系的統(tǒng)一形式及其應(yīng)用

趙臨龍， 朱亮衛(wèi)， 于 婷

（1.安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西安康 725000； 2.陜西理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西漢中 723000）

1 問題背景

2018 年，張峻銘、劉利益在《蝴蝶定理的一個(gè)推廣》［1］中，給出蝴蝶定理的推廣結(jié)論.

命題1（蝴蝶定理） 如圖1，過圓的弦EF中點(diǎn)P引兩弦AD、BC，連接AB、CD分別交EF于X、Y，則PX=PY.

圖1 蝴蝶定理Fig.1 Butterfly theorem

命題3（Klamkin 蝴蝶定理） 過圓的弦EF任意點(diǎn)P，取EF上關(guān)于P的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)M、N，分別過M、N作兩弦AD、BC，連接AB、CD分別交EF于X、Y，則PX=PY.（注：在相關(guān)文獻(xiàn)中，多有Klamkin不等式，而文獻(xiàn)［1］提到Klamkin蝴蝶定理）.

文獻(xiàn)［1］指出：命題2和命題3分別舍棄了P的中點(diǎn)性和交點(diǎn)性，得到了看起來(lái)不太兼容的兩個(gè)結(jié)論. 是否存在一個(gè)定理可將二者整合起來(lái)，文獻(xiàn)［1］給出“圓內(nèi)蝴蝶定理”和“圓外蝴蝶定理”結(jié)論.

命題5 對(duì)⊙O外一條直線l 作垂線OP，過點(diǎn)P作⊙O弦AD、BC，連接AB、CD分別交EF于X、Y，則PX=PY.

2 問題討論

文獻(xiàn)［1］所討論的問題涉及內(nèi)容廣泛，對(duì)研究蝴蝶定理變形命題有一定意義，但文中也出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)論.

2002年，單壿在《平面幾何中的小花》［2］給出命題5的證明. 2007年，蔣紅瑛在《蝴蝶定理的一個(gè)推廣及應(yīng)用》［3］給出命題3的證明.

在命題4中，當(dāng)點(diǎn)M、N合于弦EF上點(diǎn)P時(shí)，此時(shí)結(jié)論：

顯然，等式不成立. 即命題4并非是蝴蝶定理的統(tǒng)一形式.

3 理論建立

現(xiàn)將圓推廣為一般的二次曲線，用射影幾何對(duì)合對(duì)應(yīng)方法給出統(tǒng)一的結(jié)論.

命題6 如圖2、圖3，過二次曲線弦AB外一點(diǎn)M引二次曲線的兩弦CD，EF分別交弦AB于G、H，CF、ED分別交AB于P、Q，設(shè)點(diǎn)N為GH的中點(diǎn)，記AN=a，BN=b，GN=NH=d，PN=x，QN=y，其中小寫字母均表示有向線段值，則

圖2 內(nèi)型蝴蝶定理Fig.2 Inner butterfly theorem

圖3 外型蝴蝶定理Fig.3 Exterior butterfly theorem

證明 如圖2、圖3，將點(diǎn)C、E看成二次曲線上的兩個(gè)對(duì)應(yīng)線束，則由線束與點(diǎn)列透視對(duì)應(yīng)關(guān)系［4］得到：

即有對(duì)合對(duì)應(yīng)關(guān)系：A→B、B→A、P→Q、G→H. 此時(shí)，設(shè)GH 中點(diǎn)為N，記NA=a，NB=b，GN=NH=d，NP=x，NQ=y，則由對(duì)合對(duì)應(yīng)關(guān)系［4］：

顯然，命題6將蝴蝶定理的二次曲線內(nèi)型形式和外型形式統(tǒng)一起來(lái)，其結(jié)構(gòu)與文獻(xiàn)［5］基本一致.

值得注意的是：在命題6中，二次曲線弦AB可以是二次曲線外的線段AB. 故有結(jié)論.

推論1 過二次曲線外的線段AB外一點(diǎn)M引二次曲線的兩弦CD、EF分別交線段AB于G、H，CF、ED分別交線段AB 于P、Q，設(shè)點(diǎn)N 為GH 的中點(diǎn)，記AN=a，BN=b，GN=NH=d，PN=x，QN=y，其中線段均表示有向線段，則

在命題5中，由于點(diǎn)A、B為關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的共軛虛點(diǎn)，即仍然有MA=MB，因此有結(jié)論MP=MQ. 即命題5是推論1的特殊情況，而且這里證法是文獻(xiàn)［6］的另外一種射影幾何證明方法.

另外，由于（2）式對(duì)不同的對(duì)應(yīng)元素，確定一個(gè)對(duì)合對(duì)應(yīng)關(guān)系式，則有結(jié)論.

推論2 如圖2、圖3，過四點(diǎn)C、D、E、F的二次曲線交直線l 于A、B兩點(diǎn)，過直線AB外一點(diǎn)M引該二次曲線的兩弦CD，EF分別交線段AB于G、H，CF、ED分別交線段AB于P、Q，設(shè)點(diǎn)N為GH上一點(diǎn)，記AN=a，BN=b，GN=c，NH=d，PN=x，QN=y，其中線段均表示有向線段，則

推論3 過四點(diǎn)C、D、E、F的二次曲線束Γi(i=1,2,…)交直線l 于Ai、Bi(i=1,2,…)兩點(diǎn)，對(duì)于直線l 上一點(diǎn)N，記NAi=xi、Bi=yi(i=1,2,…)，其中線段均表示有向線段，則二次曲線束Γi(i=1,2,…)中的任意3條，滿足關(guān)系：

由于Γi(i=1,2,…)都經(jīng)過四點(diǎn)C、D、E、F，則每一條Γi(i=1,2,…)關(guān)于直線l 的兩點(diǎn)Ai、Bi(i=1,2,…)的有向線段坐標(biāo)都滿足（6）式，而由對(duì)合對(duì)應(yīng)關(guān)系（6）式的唯一性，取二次曲線束Γi(i=1,2,…)中的任意3條，其關(guān)于直線l 的兩點(diǎn)Ai、Bi(i=1,2,3)的有向線段坐標(biāo)都滿足（6）式，即（7）式成立.

4 理論應(yīng)用

例1 如圖4，PQ 是非退化的二階曲線Γ1的弦，M、E、F 是PQ上的點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，同時(shí)也是EF的中點(diǎn). 過點(diǎn)F的弦交Γ1于A、B，過點(diǎn)E 的弦交Γ1于C、D. 令過B、C、A、D 四點(diǎn)的任一二階曲線Γ2與直線PQ的交點(diǎn)為S、T，則點(diǎn)M亦為TS的中點(diǎn)［7］.

證明 如圖4，將直線對(duì)AD、BC 看作退化的二次曲線，則三對(duì)二次曲線在直線PQ的有向線段坐標(biāo)滿足：

圖4 兩條蝴蝶定理形式Fig.4 The form of two butterfly theorems

例2 如圖5，如果直線l 與二次曲線c1相交于點(diǎn)A1、B1，與二次曲線c2相交于點(diǎn)A2、B2. 那么對(duì)由c1、c2所形成的二次曲線束中的任一條二次曲線c3，設(shè)它與l 的交點(diǎn)為A3、B3，探討二次曲線在直線l 上交點(diǎn)的關(guān)系.

圖5 三條蝴蝶定理形式Fig.5 The form of three butterfly theorems

證明 如圖5，在直線l 取點(diǎn)O，記有向線段OAi=ai，OBi=bi(i=1,2,3)，則有：

則

即

同理，有

即有結(jié)論：

其幾何意義：二次曲線中的任意兩條與直線l 上交點(diǎn)坐標(biāo)的有向線段滿足不變量關(guān)系：

推論4 過四點(diǎn)C、D、E、F的二次曲線束Γi(i=1,2,…)交直線l 于Ai、Bi(i=1,2,…)兩點(diǎn)，對(duì)于直線l 上一點(diǎn)N，記NAi=xi、Bi=yi(i=1,2,…)，其中線段均表示有向線段，則二次曲線束Γi(i=1,2,…)中的任意2條，滿足不變量關(guān)系：

文獻(xiàn)［8］和［9］利用解析幾何討論了例2的代數(shù)形式，沒有給出其相應(yīng)的幾何本質(zhì)特征. 因此，我們?cè)?jīng)在文獻(xiàn)［10］和［11］中提出：模型、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題創(chuàng)新的關(guān)鍵點(diǎn).

另外文獻(xiàn)［2］所給出的關(guān)系式：

是否成立，需要進(jìn)一步探討.