基于MATLAB的人字架優(yōu)化設計

黃立言* 王彥偉

（武漢工程大學 機電工程學院）

1 MATLAB優(yōu)化工具箱簡介

MATLAB 是由美國MathWorks 公司發(fā)布的主要面向科學計算、數(shù)據(jù)可視化及數(shù)值計算的高級技術計算語言和交互式環(huán)境，簡稱矩陣實驗室[1]。MATLAB是一個集強大的科學計算、完美的可視化功能、完善的自我?guī)椭到y(tǒng)的開放式交互的大型軟件，現(xiàn)已廣泛應用于數(shù)學物理、材料化工、機電自動化、管理金融、生物醫(yī)藥、海洋科學、航天軍工、語音處理以及社會科學等各個領域，種類繁多且不斷拓展的工具箱使MATLAB 軟件深受科研工作者的青睞。MATLAB 優(yōu)化工具箱（optimization toolbox）是基于MATLAB 的面向最優(yōu)化求解的專用工具箱[2]，其主界面如圖1 所示。MATLAB 優(yōu)化工具箱幾乎可以完美求解各類優(yōu)化問題。其高效簡潔的函數(shù)表達和對算法參數(shù)的自由設置便于用戶調用各類優(yōu)化函數(shù)，利用MATLAB 優(yōu)化工具箱可以求解線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃和多目標規(guī)劃問題。此外，該優(yōu)化工具箱還提供了線性、非線性最小化、方程求解、曲線擬合、最大最小問題和半無限問題等的求解方法，為優(yōu)化方法在實際工程應用中提供了更加有效、方便、快捷的途徑。現(xiàn)將MATLAB 優(yōu)化工具箱中常用優(yōu)化函數(shù)進行了歸納，如表1 所示。

圖1 MATLAB優(yōu)化工具箱主界面

表1 MATLAB優(yōu)化工具箱常用優(yōu)化函數(shù)

2 優(yōu)化問題示例

人字架應用十分廣泛，其主要由2 根鋼管構成，如圖2 所示，其頂點受到的外力為2F = 3× 105N。已知人字架跨度2B = 152 cm，鋼管壁厚I = 0.25 cm，鋼材彈性模量E = 2.1× 105MPa，材料密度 ρ = 7.8× 103kg/m3，許用壓應力[σy]= 420 MPa。要求在鋼管壓應力σ 不超過許用壓應力[σy]和失穩(wěn)臨界應力σe的條件下，選取合適的人字架高度h 和鋼管平均直徑D，使鋼管總質量m 最小[3]。

圖2 人字架受力簡圖

2.1 確定設計變量

將人字架的高度h 和鋼管平均直徑D 作為優(yōu)化設計變量（上標T 表示轉置）：

設計變量初始數(shù)據(jù)如表2 所示。

表2 初始數(shù)據(jù)表

2.2 確定目標函數(shù)

根據(jù)前文所述簡化模型，可建立如下目標函數(shù)：

2.3 確定約束條件

強度約束條件σ ≤[σy]，即鋼管所受的壓應力 不超過許用壓應力[σy]：

穩(wěn)定性約束條件σ ≤σe，即鋼管所受的壓應力σ 不超過鋼管的臨界壓應力σe：

根據(jù)設計經驗，邊界約束條件可設置為：

2.4 優(yōu)化數(shù)學模型

綜上所述，將所有函數(shù)規(guī)格化，則人字架優(yōu)化設計的數(shù)學模型可表示為：

3 優(yōu)化

3.1 優(yōu)化步驟

根據(jù)之前建立的人字架優(yōu)化模型及相關參數(shù)，利用MATLAB 優(yōu)化工具箱對人字架進行優(yōu)化設計。這是一個多維有約束非線性問題，其優(yōu)化流程可簡要概括如下：

（1）編寫目標函數(shù)的M 文件；

（2）編寫描述非線性約束的M 文件；

（3）設置相關參數(shù)，選擇合適的優(yōu)化方法，調用MATLAB 優(yōu)化工具箱進行優(yōu)化；

（4）得出結果，并進行分析。

3.2 優(yōu)化結果

根據(jù)優(yōu)化后的數(shù)學模型，利用MATLAB 優(yōu)化工具箱進行求解。代入已知數(shù)據(jù)后，經34 次迭代，計算收斂，求得最優(yōu)解。徐發(fā)濱[4]以人工神經網絡為基礎，介紹了一種基于遺傳算法的反饋Hopfied 神經網絡算法，并構造了工程結構優(yōu)化模型；郭惠昕等[5]針對非線性約束問題，提出了一種新的、可行的混沌最優(yōu)化算法——三次載波混沌最優(yōu)化算法，并將該方法應用于工程結構優(yōu)化設計；李文勇等[6]針對優(yōu)化問題中的多極值現(xiàn)象，提出了一種基于有記憶模擬退火的全局優(yōu)化算法，并針對不同的設計變量采用了不同的鄰域產生方法。為了驗證本文方法的可靠性，分別根據(jù)徐發(fā)濱[4]、郭惠昕等[5]、李文勇等[6]提出的方法進行了詳細計算，并對結果進行了比較，如表3 所示。

表3 不同優(yōu)化方法計算結果的比較

由表3 可知，本文的計算結果與文獻[4-6]中的方法計算結果接近，表明本文介紹的方法有較強的可靠性，可以應用于實際工程問題。

4 結論

通過人字架的優(yōu)化實例可以看出，MATLAB 應用十分廣泛，也是進行科研設計工作的利器，是解決機械優(yōu)化設計的重要工具。利用MATLAB 優(yōu)化工具箱中已有的優(yōu)化求解函數(shù)，能夠方便快捷地對最優(yōu)化問題進行求解，避免了繁瑣的算法設計和程序編寫，節(jié)約了大量精力和時間，大大提高了設計者的工作效率，有較強的使用價值。MATLAB 優(yōu)化工具箱求解方便快捷，精度高，速度快，結果穩(wěn)定可靠，且程序簡明，能很好地實現(xiàn)優(yōu)化設計的算法過程。