基于Hammerstein模型的超聲波電機(jī)非線性補(bǔ)償

宋 璐，史敬灼，黃文文

(河南科技大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河南 洛陽 471023)

0 引 言

超聲波電機(jī)利用壓電材料的逆壓電效應(yīng)將電能轉(zhuǎn)變?yōu)槭苟ㄗ颖砻尜|(zhì)點(diǎn)的機(jī)械振動，并通過定、轉(zhuǎn)子間的摩擦將定子表面振動傳遞給轉(zhuǎn)子，推動轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)。無論是基于逆壓電效應(yīng)的機(jī)電能量轉(zhuǎn)換過程，還是機(jī)械能的摩擦傳遞過程，都是具有復(fù)雜非線性的過程。這就使得超聲波電機(jī)的運(yùn)行過程呈現(xiàn)出明顯的非線性特征。這種非線性體現(xiàn)在電機(jī)控制上，具體表現(xiàn)為控制量與被控制量(轉(zhuǎn)速或位置)之間的控制非線性，是影響超聲波電機(jī)控制性能的主要制約因素之一。如何克服或是削弱電機(jī)非線性的影響，是為提高超聲波電機(jī)控制性能所必須解決的一個(gè)核心問題。

考察現(xiàn)有超聲波電機(jī)控制文獻(xiàn)中應(yīng)對電機(jī)非線性的方法，通常是利用某種自身包含非線性的控制策略來實(shí)現(xiàn)的。其中的典型代表是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊控制器[1-3]。這兩類控制結(jié)構(gòu)，尤其是模糊控制器，可以具有復(fù)雜的非線性特性，可用來擬合非線性的輸入、輸出關(guān)系。研究者自然可以認(rèn)為，通過離線的良好設(shè)計(jì)，這兩類控制器有可能應(yīng)對超聲波電機(jī)的非線性特性，從而得到好的控制效果。如果再輔以在線自適應(yīng)機(jī)制，如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重在線優(yōu)化訓(xùn)練、模糊控制器外加在線調(diào)節(jié)機(jī)制，還可以得到更好的控制效果[1]。實(shí)際上，這些通行的非線性映射機(jī)制是否能夠有效應(yīng)對超聲波電機(jī)的非線性，在很大程度上取決于其細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)。即便沒有在線自適應(yīng)機(jī)制，受限于自身結(jié)構(gòu)，它們通常也具有較高的計(jì)算復(fù)雜度。

對于超聲波電機(jī)這類非線性控制對象，更好地了解其非線性特性，是更好應(yīng)對其非線性影響的必要前提。但是，超聲波電機(jī)內(nèi)部的逆壓電效應(yīng)和摩擦過程，都難以進(jìn)行準(zhǔn)確的機(jī)理分析。在這種情況下，利用實(shí)測的輸入輸出數(shù)據(jù)，建立超聲波電機(jī)的非線性辨識模型，通過模型來反映電機(jī)的非線性特性，成為掌握電機(jī)非線性的一條有效途徑。利用這樣的非線性模型，有可能更為簡捷、有效地處理電機(jī)非線性對控制性能的影響。

本文采用超聲波電機(jī)Hammerstein非線性模型，給出一種非線性補(bǔ)償方法，將超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性控制對象。基于所述非線性補(bǔ)償方法，給出三種相對簡單的迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制方法，包括一種改進(jìn)的非因果迭代學(xué)習(xí)控制方法，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所述非線性補(bǔ)償及控制方法的有效性。

1 超聲波電機(jī)非線性補(bǔ)償

1.1 基于Hammerstein模型的非線性補(bǔ)償

圖1 超聲波電機(jī)非線性補(bǔ)償結(jié)構(gòu)圖

圖2 基于非線性補(bǔ)償?shù)霓D(zhuǎn)速控制簡化框圖

文獻(xiàn)[4]通過擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到模型的非線性環(huán)節(jié)

f

nl

，所用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以電機(jī)驅(qū)動頻率為輸入變量、穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速為輸出變量。為求取

仍然可以通過擬合這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來得到，只是輸入、輸出關(guān)系需要反轉(zhuǎn)。即，以轉(zhuǎn)速為輸入變量、頻率為輸出變量。由此得到的擬合函數(shù)，就是

f

nl

的逆函數(shù)

被擬合的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖3中方形點(diǎn)所示?？紤]到減小在線計(jì)算量，嘗試采用不同階次的多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，圖3中給出了分別采用五階、六階多項(xiàng)式進(jìn)行擬合得到的兩條擬合曲線。由圖可見，兩條曲線都能較好地?cái)M合所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，僅在兩端有明顯差異。按照實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢，轉(zhuǎn)速大于120r/min之后，擬合曲線右端不應(yīng)上翹，故六階多項(xiàng)式擬合是不妥當(dāng)?shù)模刹捎梦咫A多項(xiàng)式作為

對應(yīng)的表達(dá)式為

y=46.24832-0.18699x+0.00542x2-8.02911×10-5x3+5.64894×10-7x4-1.51036×10-9x5

(1)

圖3 五階/六階多項(xiàng)式擬合曲線

編寫DSP程序，實(shí)現(xiàn)圖1所示超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速控制器，進(jìn)行轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制實(shí)驗(yàn)研究。如圖1所示，控制器由非線性逆函數(shù)式(1)及轉(zhuǎn)速控制策略兩部分組成，實(shí)驗(yàn)用轉(zhuǎn)速控制策略設(shè)計(jì)為簡單的P型迭代學(xué)習(xí)控制器。實(shí)驗(yàn)用電機(jī)為Shinsei USR60型電機(jī)，其轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)范圍為0～120 r/min。圖4給出了一次轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)過程中的迭代學(xué)習(xí)控制器輸出控制量(圖2所示x(k))變化曲線、轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線，圖5中曲線1給出了兩者比值的變化曲線。理論上，根據(jù)Hammerstein模型非線性環(huán)節(jié)的建模過程及上述逆函數(shù)的獲取過程，若忽略電機(jī)的線性動態(tài)特性，圖4所示兩條曲線應(yīng)重合，兩者比值應(yīng)為1?？紤]實(shí)際存在的電機(jī)慣性和線性動態(tài)過程，兩者比值應(yīng)為在1上下不規(guī)則波動的曲線，具體波動狀況與當(dāng)前誤差相關(guān)。對于圖4、圖5中曲線1所示轉(zhuǎn)速響應(yīng)過程而言，在轉(zhuǎn)速上升過程中，轉(zhuǎn)速誤差大于0，控制量的變化會超前于實(shí)際轉(zhuǎn)速以減小轉(zhuǎn)速誤差，于是上述比值略大于1，并有波動；當(dāng)轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線趨于穩(wěn)態(tài)時(shí)，該比值應(yīng)在1上下小幅波動，波形與時(shí)間軸基本平行，波動幅度與擾動狀況和具體的控制器形式相關(guān)。

圖4 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)及控制量曲線(30r/min)

圖5 控制量與轉(zhuǎn)速比值曲線(30r/min)

觀察圖5中曲線1所示比值變化曲線，整體變化趨勢與上述理論分析一致；對應(yīng)于圖4所示轉(zhuǎn)速由動態(tài)上升至穩(wěn)態(tài)的變化過程，該比值由較大值逐漸減小至與時(shí)間軸基本平行，變化過程持續(xù)時(shí)間與圖4給出的轉(zhuǎn)速響應(yīng)過程一致。但不同的是，比值波形整體位于1以上，電機(jī)轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)時(shí)的比值平均值為1.0736，稍大于1。這一點(diǎn)差異主要是由于兩方面原因?qū)е碌?，一是隨著實(shí)驗(yàn)用電機(jī)使用時(shí)間的持續(xù)增長，機(jī)械磨損等使得電機(jī)實(shí)際特性逐漸偏離建立電機(jī)模型時(shí)的電機(jī)特性；二是環(huán)境溫度等運(yùn)行環(huán)境差異。不過，由圖5可以看出，實(shí)驗(yàn)曲線與理論分析之間的差異并不大，上述原因?qū)Ψ蔷€性補(bǔ)償?shù)男Ч麩o顯著影響。

1.2 非線性補(bǔ)償函數(shù)的調(diào)整

如圖1所示，用于非線性補(bǔ)償?shù)哪婧瘮?shù)式(1)是控制器的一部分，直接影響電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)過程和系統(tǒng)控制性能。從便于實(shí)現(xiàn)的角度出發(fā)，在實(shí)現(xiàn)非線性補(bǔ)償?shù)耐瑫r(shí)，控制器中的這個(gè)環(huán)節(jié)也可以兼具某些控制功能。例如，非線性補(bǔ)償函數(shù)是一個(gè)非線性函數(shù)，它作用于響應(yīng)過程曲線中的每一點(diǎn)，改變每一點(diǎn)的控制量作用強(qiáng)度，從而使原本非線性的頻率-轉(zhuǎn)速控制關(guān)系線性化。從圖4所示轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線的角度來看，控制量作用強(qiáng)度的改變，意味著曲線形狀的改變。由此，適當(dāng)改變非線性補(bǔ)償函數(shù)，可以改善電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線的形狀。

考察圖4所示轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線。起始階段，轉(zhuǎn)速上升迅速，達(dá)到圖中箭頭所示時(shí)刻之后，曲線轉(zhuǎn)為平穩(wěn)上升。起始時(shí)刻的轉(zhuǎn)速突升，容易對電機(jī)本體機(jī)械構(gòu)件及負(fù)載造成沖擊，是不利的。另一方面，也是由于起始時(shí)刻的轉(zhuǎn)速突升，為避免可能導(dǎo)致的超調(diào)，需要通過減小控制參數(shù)來限制控制強(qiáng)度；這樣，圖4所示響應(yīng)曲線中平穩(wěn)上升區(qū)段的上升速率也被壓低了，使響應(yīng)過程進(jìn)一步偏離理想狀態(tài)。

圖6 非線性補(bǔ)償函數(shù)的調(diào)整

圖7 調(diào)整前后的轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)對比

圖4所示轉(zhuǎn)速突升發(fā)生在低速區(qū)域。調(diào)整非線性補(bǔ)償函數(shù)式(1)，提高圖5所示比值曲線對應(yīng)于低速區(qū)域的量值，可以減小起始控制量，從而壓低轉(zhuǎn)速上升幅度。調(diào)整非線性補(bǔ)償函數(shù)如圖6所示，對應(yīng)的表達(dá)式如式(2)。進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得圖7所示結(jié)果。圖中，虛線、實(shí)線分別為調(diào)整前、后的階躍響應(yīng)曲線；顯而易見，調(diào)整后的響應(yīng)曲線起始段變得平緩，而后，上升速率則快于調(diào)整前的曲線，符合期望。圖5中曲線2給出了調(diào)整后的控制量與轉(zhuǎn)速比值曲線，與圖5中曲線1相比，穩(wěn)態(tài)時(shí)段的平均值基本無變化，但對應(yīng)于低速段的比值最大值從1.14提高到了1.29。

y=17.09066-0.24251x+0.00677x29.57519×10-5x3+6.47880×10-1x4-1.67843×10-9x5-

(2)

2 超聲波電機(jī)轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制實(shí)驗(yàn)研究

為進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究以驗(yàn)證上述非線性補(bǔ)償方法的控制效果，還需設(shè)計(jì)圖1所示的“轉(zhuǎn)速控制策略”。下面，給出一種簡單的非因果迭代學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)速控制策略，并進(jìn)行轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制實(shí)驗(yàn)。

非因果迭代學(xué)習(xí)控制方法已提出十余年。對于應(yīng)該采用前次控制過程中的哪幾項(xiàng)未來時(shí)刻誤差來構(gòu)建控制律，還沒有成熟的確定方法，通常需要借助仿真來確定。本文給出如下非因果控制律，使用前次第k次迭代i+1、i+4兩個(gè)時(shí)刻的誤差值計(jì)算當(dāng)前控制量

uk+1(i)=uk(i)+K1ek(i+1)+K4ek(i+4)

(3)

式中，uk(i)、uk+1(i)分別為第k、k+1次迭代控制過程中i時(shí)刻的控制量；ek(i+1)、ek(i+4)分別為第k次迭代i+1、i+4時(shí)刻的轉(zhuǎn)速誤差值；K1、K4為學(xué)習(xí)增益。

式(3)中，i+1時(shí)刻的誤差值慣常使用。實(shí)驗(yàn)用超聲波電機(jī)Hammerstein模型線性動態(tài)環(huán)節(jié)的階次為四階，即當(dāng)前控制量的作用效果至少會持續(xù)4個(gè)采樣周期；由此，可考慮使用i+1至i+4時(shí)刻的誤差值來計(jì)算當(dāng)前控制量。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，i+2、i+3時(shí)刻誤差值對控制效果的影響較小，所以式(3)使用了i+4時(shí)刻的誤差值。圖8、圖9給出了轉(zhuǎn)速控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果。圖8為轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線，可見轉(zhuǎn)速動態(tài)變化過程平穩(wěn)，控制效果好，迭代學(xué)習(xí)收斂速度快，控制響應(yīng)過程能夠達(dá)到并穩(wěn)定跟隨給定值變化，無超調(diào)。圖9是與圖8對應(yīng)的控制量變化曲線，對比兩圖中曲線，可以看出非線性補(bǔ)償帶來的控制線性化效果。

圖8 轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)曲線(非因果,30r/min,K=0.2/0.3)

圖9 控制量變化曲線(非因果)

3 結(jié) 語

超聲波電機(jī)可控變量與電機(jī)轉(zhuǎn)速、位置之間的控制關(guān)系具有明顯的非線性特征，如何應(yīng)對非線性對控制性能的影響，一直是超聲波電機(jī)控制領(lǐng)域面對的主要問題之一。通過辨識建模方法來了解這種非線性特性并建模，基于非線性模型求逆來在線補(bǔ)償電機(jī)非線性，是有效、簡捷應(yīng)對非線性的一條可行途徑。同時(shí)，非線性補(bǔ)償可以將作為被控對象的超聲波電機(jī)變?yōu)榫€性環(huán)節(jié)，從而簡化控制器設(shè)計(jì)。