低載波比工況下永磁同步電機磁鏈矢量軌跡分析

沈建新，何 標

(浙江大學 電氣工程學院 浙江省電機系統(tǒng)智能控制與變流技術(shù)重點實驗室，杭州 310027)

0 引 言

永磁同步電機無論是工作在電動機模式還是發(fā)電機模式，都可以采用空間矢量脈寬調(diào)制(SVPWM)控制。在每個PWM周期，都會給電機施加一個具有適當模值、相位和作用時間的目標電壓矢量。目標電壓矢量對時間的積分可以產(chǎn)生磁鏈矢量。通常情況下，電機的每個基波周期內(nèi)包含多個PWM周期，因此電壓矢量的積分會產(chǎn)生一個多邊形的磁鏈矢量運行軌跡(以下簡稱磁鏈軌跡)，接近于圓形軌跡，進而形成接近于圓形軌跡的電流矢量，使得電機的相電流波形為正弦形，由此可以實現(xiàn)良好的矢量控制。

當永磁同步電機高速運行時，基波頻率提高，而變流器的開關(guān)頻率是有限的；或者，當永磁同步電機的功率很大，雖然基波頻率并不一定高，但是變流器的開關(guān)頻率因功率大而顯著減小。這兩種情況下，都會使得載波比(即PWM頻率與電機基波頻率之比)減小[1]，甚至可能小于6。

理想情況下，SVPWM控制產(chǎn)生的多邊形磁鏈軌跡的邊數(shù)就是載波比的值。顯然，在低載波比工況下，磁鏈軌跡遠遠偏離圓形，使得電流矢量的軌跡也偏離圓形，即電機的相電流波形發(fā)生畸變，矢量控制的性能也會惡化。

文獻[2]針對低載波比問題提出四種解決方法：(i)用若干串并聯(lián)的功率器件代替一個功率開關(guān)，這些器件的輪流動作來等效實現(xiàn)更高的開關(guān)頻率[3]；(ii)采用多電平模塊化變流器(MMC)來改善電機電壓的波形；(iii)采用三相開繞組電機結(jié)構(gòu)，從而獲得更多的可供選擇的基礎(chǔ)電壓矢量來合成目標電壓矢量；(iv)與第(iii)種方法類似，采用雙三相結(jié)構(gòu)產(chǎn)生更多的基礎(chǔ)電壓矢量，由此可以更好地合成目標電壓矢量，進而獲得更好的磁鏈軌跡的圓度。本文將對常規(guī)三相(簡稱單三相)以及雙三相永磁同步電機的電壓矢量合成、磁鏈軌跡特性進行對比研究，分析雙三相電機磁鏈軌跡具有更好圓度的機理，為采用雙三相結(jié)構(gòu)改善低載波比工況下的控制性能提供理論依據(jù)。

1 數(shù)學模型

建立數(shù)學模型時，基于如下假設(shè)條件：氣隙磁場為正弦分布，電樞繞組電感隨轉(zhuǎn)子位置呈正弦型變換規(guī)律，不考慮磁路飽和、鐵心損耗。

對于單三相電機而言，可以用式(1)的變換矩陣C3s/2s實現(xiàn)各個變量從a-b-c坐標到α-β-0坐標的變換(α軸與a軸重合)，用式(2)的變換矩陣C2s/2r實現(xiàn)從α-β坐標到d-q坐標的變換。其中θ是轉(zhuǎn)子d軸與定子α軸的夾角。一般而言，0軸分量不參與機電能量轉(zhuǎn)換，且在繞組星形連接而中心點不引出時的電流0軸分量為0，因此一般不予考慮。

(1)

(2)

定子繞組中的電壓、電流、磁鏈在α-β坐標和d-q坐標下均可以表示為矢量，即：

(3)

三相電機在α-β平面的電壓方程為

(4)

式中,Rs為定子繞組電阻。由式(3)、式(4)可知電壓方程也可寫成矢量表達式：

(5)

三相電機在d-q平面的電壓、磁鏈方程分別為

(6)

(7)

式中,Ld、Lq分別為d、q軸電感，ω轉(zhuǎn)子電角速度，ψm為永磁體在電樞繞組中的勵磁磁鏈幅值(視作常數(shù))。

由式(7)可知，若d-q平面的磁鏈分量為常數(shù)，則電流分量也為常數(shù)，那么在a-b-c坐標下，電機的相電流ia、ib、ic隨轉(zhuǎn)子位置的變化就呈理想的正弦波。很顯然，此時的磁鏈矢量、電流矢量的模值均不變，而其相位角隨轉(zhuǎn)子位置而變化，因此，磁鏈、電流矢量的運行軌跡均為理想的圓形。因而，單三相永磁同步電機基于SVPWM的矢量控制，就是要將實際的磁鏈軌跡調(diào)制得盡可能呈圓形。另一方面，從式(6)可知，d-q平面的電壓分量也隨之成為常數(shù)，即理想的電壓矢量的運行軌跡也是圓形。

雙三相電機由A、B、C和D、E、F兩套三相繞組組成，D相繞組相對A相繞組空間相移30電角度，兩套繞組各自Y型連接且中性點相互隔離，如圖1所示。

圖1 雙三相永磁同步電機系統(tǒng)

雙三相電機按式(8)中的變換矩陣C6s/2s實現(xiàn)從A-B-C-D-E-F到α-β-z1-z2-01-02的坐標變換[4]，α軸與A軸重合。這里的α-β正交平面與單三相電機坐標變換后的α-β平面一致；從α-β坐標到d-q坐標的變換矩陣同式(2)，其中θ仍然是轉(zhuǎn)子d軸與定子α軸的夾角；各變量的矢量表達式同式(3)，電壓表達式同式(4)～(6)，而磁鏈表達式如式(9)所示，即d軸和q軸電感的大小有所不同；α-β平面或d-q平面的相關(guān)變量參與機電能量轉(zhuǎn)換。z1-z2正交平面的分量對應(yīng)電機各變量的諧波分量，在正弦型的永磁同步電機中不產(chǎn)生有效電磁轉(zhuǎn)矩，故暫不考慮。01-02正交平面表示0分量，故一般也不作考慮。

(8)

(9)

很顯然，雙三相永磁同步電機基于SVPWM的矢量控制也要將磁鏈軌跡調(diào)制得盡可能呈圓形。

2 基于SVPWM的矢量控制

將式(5)改寫為積分形式：

(10)

式中的電壓矢量代表電機的外施電壓。永磁同步電動機由逆變器供電，或者，永磁同步發(fā)電機通過PWM整流器對外輸出直流電，因此，電機的相電壓是脈沖波而不是正弦波。換言之，電壓矢量的運行軌跡不是理想的圓形。通常外施電壓遠大于電阻壓降。在SVPWM控制下，在每個PWM周期內(nèi)只施加一個目標電壓矢量，因此式(10)可進一步簡化為

(11)

式中,T為PWM周期。所以，基于SVPWM的矢量控制，可使得磁鏈矢量按式(10)逐步變化；只要目標電壓矢量選擇合適，就可以使磁鏈矢量的運行軌跡呈現(xiàn)一個多邊形。這個多邊形的邊數(shù)就是載波比的數(shù)值。因此，載波比足夠高時，多邊形的磁鏈軌跡接近于圓形，由此達到矢量控制的目的。

然而，目標電壓矢量也不是變流器可以直接產(chǎn)生的，而是需要通過基礎(chǔ)電壓矢量合成。

2.1 單三相電機SVPWM矢量控制

對于單三相電機，基礎(chǔ)電壓矢量為

(12)

圖2 單三相電機基礎(chǔ)電壓矢量圖

例如，若矢量控制需要施加在電機上的目標電壓矢量落在S1扇區(qū)，則由1號和3號基礎(chǔ)電壓矢量及零矢量按式(13)合成該目標矢量，其中零矢量可以是0號，也可以是7號。若采用中心對稱的七段式調(diào)制法，則變流器的PWM狀態(tài)如圖3所示。

(13)

圖3 單三相電機SVPWM在S1扇區(qū)的開關(guān)狀態(tài)

2.2 雙三相電機SVPWM矢量控制

雙三相電機的基礎(chǔ)電壓矢量為

(14)

圖4 雙三相電機基礎(chǔ)電壓矢量圖

與單三相電機的SVPWM矢量控制類似，雙三相電機的目標電壓矢量也由基礎(chǔ)矢量合成。很顯然，在雙三相電機中，有更多的基礎(chǔ)矢量可供選擇，扇區(qū)劃分也更精細，因此有望使磁鏈軌跡更加接近于圓形。通常只選用模值最大的12個基礎(chǔ)電壓矢量，則α-β平面共有12個扇區(qū)；目標電壓矢量由劃定其所在扇區(qū)的兩個基礎(chǔ)矢量合成，即為最大二矢量法。例如，扇區(qū)S1內(nèi)的目標電壓矢量可以由41號和9號基礎(chǔ)矢量合成，采用中心對稱的七段式調(diào)制法時，變流器的開關(guān)狀態(tài)如圖5所示。

圖5 雙三相電機SVPWM在S1扇區(qū)的開關(guān)狀態(tài)

3 低載波比工況下磁鏈矢量運行軌跡

載波比決定了一個基波電周期內(nèi)目標電壓矢量的個數(shù)，即為斬波次數(shù)。若載波比為整數(shù)N，穩(wěn)態(tài)時磁鏈軌跡為正N邊形，因此載波比數(shù)值越大，磁鏈軌跡越接近于理想圓形。而目標電壓矢量是由基礎(chǔ)矢量合成的，因此，采用中心對稱的七段式調(diào)制法時，所謂N邊形的每條邊其實是由三條折線合成的。當然，實際的載波比不一定為整數(shù)。

當載波比很低時，磁鏈軌跡顯然會遠遠偏離圓形。以永磁同步電機基波頻率550Hz、PWM載波頻率2.5kHz為例，載波比低至4.55。此時單三相和采用最大二矢量法的雙三相電機的磁鏈軌跡如圖6所示。圖中給出了5個PWM周期內(nèi)的磁鏈軌跡。圖中各個實線箭頭的方向表示基礎(chǔ)電壓矢量的相位，其長度代表基礎(chǔ)電壓矢量的作用時間。圖中并未標出磁鏈矢量。磁鏈矢量的箭尾始終落在圓心。隨著磁鏈矢量的運動(即隨著磁鏈矢量相位的變化)，其模值一直在發(fā)生變化而不是期望的常數(shù)，其運行軌跡就是圖中的箭頭所構(gòu)成的多邊形而不是圓形。換言之，磁鏈矢量的箭頭落在多邊形上?？梢姡诘洼d波比工況下，單三相和雙三相電機的磁鏈軌跡均嚴重畸變，但它們的平滑度有所不同。

圖6 低載波比時磁鏈矢量運行軌跡示意圖

為了對磁鏈軌跡的優(yōu)劣進行評估，引入曲線圓度的定義。以軌跡上離圓心最小的距離作為軌跡內(nèi)接圓的半徑(如圖7中的r1所示)，以軌跡上離圓心最大的距離作為軌跡外接圓的半徑(見圖7中的r2)，用軌跡外、內(nèi)接圓的半徑差和理想磁鏈圓半徑(圖7中的r0)的比值來描述曲線的圓度，該值越小表示磁鏈軌跡越接近于圓形。

采用中心對稱的七段式SVPWM調(diào)制法時，在一個PWM周期內(nèi)目標電壓矢量由三段矢量合成，因此，如圖7所示，其中第一、三段屬于同一基礎(chǔ)矢量，第二段屬于另一個基礎(chǔ)矢量。顯然，由于兩種電機的基礎(chǔ)電壓矢量的個數(shù)以及扇區(qū)的劃分不同，單三相電機的兩個相鄰基礎(chǔ)矢量相差60電角度，而雙三相電機的兩個相鄰基礎(chǔ)矢量相差30電角度。從圖中可以看出，單三相電機的磁鏈軌跡比雙三相電機具有更大的“波折”程度，因此圓度較差。

圖7 磁鏈軌跡圓度示意圖

本文對相同功率、電壓、轉(zhuǎn)速、極數(shù)的單三相和雙三相永磁同步電機進行仿真，電機參數(shù)如表1所示。兩臺電機均做發(fā)電機運行，基波頻率為550Hz，為了輸出200V直流電壓，均采用弱磁控制。當PWM整流器的載波比分別為4.55和9.09時，仿真可得磁鏈軌跡的圓度值分別為39.3%(單三相)和28.6%(雙三相)，以及20.3%(單三相)和13.8%(雙三相)。仿真結(jié)果如圖8所示，清晰表明：隨著載波比的降低，兩種電機的磁鏈軌跡畸變均趨于嚴重，但是雙三相電機始終優(yōu)于單三相電機。

由此可見，在低載波比工況下，采用SVPWM矢量控制時，雙三相永磁同步電機比單三相電機具有更靈活的目標電壓合成手段，因此所得到的磁鏈矢量運行軌跡也具有更好的圓度，有利于改善矢量控制的性能。

表1 永磁同步電機PWM整流系統(tǒng)參數(shù)

圖8 磁鏈矢量運行軌跡圓度仿真結(jié)果(左：單三相電機，右：雙三相電機)

4 結(jié) 語

由理論分析和仿真結(jié)果可知，在低載波比工況下，SVPWM所合成的磁鏈矢量運行軌跡偏離理想的圓形，使得永磁同步電機的矢量控制性能變差。相比于單三相電機，雙三相電機SVPWM控制系統(tǒng)擁有更多的可供選擇的基礎(chǔ)電壓矢量，且扇區(qū)更加細化，因此氣隙磁鏈矢量運行軌跡有相對較好的圓度，有利于解決低載波比帶來的問題。

當然，采用最大二矢量法時，雙三相電機只用了12個非零基礎(chǔ)電壓矢量。如果將其他48個非零矢量部分或全部利用起來，就可能把扇區(qū)進一步細分到24個。此外，在低載波比工況下，如果一個PWM周期內(nèi)的變流器開關(guān)信號采用不對稱波形，有望使磁鏈矢量更接近于沿著理想的圓形運行，而不是沿著由目標電壓矢量簡單積分所得的多邊形運行。因此，今后將對雙三相電機的SVPWM矢量控制開展更加深入的研究，以期進一步改善控制性能。