從旋轉(zhuǎn)視角看待全等三角形
——對(duì)于一道基礎(chǔ)圖形的變形

江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué) 于方舟

全等三角形是初中幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，旋轉(zhuǎn)變換是初中數(shù)學(xué)三大變換之一，一道證明三角形全等的題目，如果從旋轉(zhuǎn)變換的視角去尋找三角形全等的條件，往往會(huì)使得尋找的目標(biāo)更為明確，對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)也更為清晰。

一、旋轉(zhuǎn)模型

如圖1，在等邊三角形ABC 和等邊三角形ADE 中，AB 和AD 在同一條直線上，連接BE、CD，分別與AC 和AE 相交于點(diǎn)G、H，BE 和CD 的交點(diǎn)記作點(diǎn)F。求證：△ABE ≌△ACD。

分析：本題是旋轉(zhuǎn)的基本模型，由題意：△ABC 和△ADE 都是等邊三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，同時(shí)加上公共角∠GAH，即可得∠BAE= ∠CAD，即能證得△ABE ≌△ACD（SAS）。在這一問(wèn)題中，△ABE 繞點(diǎn)A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°與△ACD 重合，因此尋找對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角就顯得更為明顯。 我們可以從這一問(wèn)題中，歸納出一個(gè)基本的旋轉(zhuǎn)模型，如圖2，兩個(gè)三角形繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)即可重合，利用旋轉(zhuǎn)變換的視角，即能化繁為簡(jiǎn)，在復(fù)雜的幾何圖形中，分辨出基本模型。

二、旋轉(zhuǎn)模型的適當(dāng)變形

如圖3，以△ABC 的兩邊AB、AC 為邊，分別向外作等邊三角形ABD 和等邊三角形ACE，連接BE、CD，相交于點(diǎn)F，請(qǐng)回答以下問(wèn)題：（1）判斷BE 與CD 之間的大小關(guān)系；（2）判斷∠BFD 與∠BAD 之間的大小關(guān)系。

分析：在這個(gè)圖形中，可以將△ABE 繞著點(diǎn)A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADC，因此解決這個(gè)問(wèn)題，首先證明△ABE ≌△ADC（SAS），即可得到BE=CD。在判斷∠BAD 與∠BFD 的大小關(guān)系時(shí)，可以利用圖形中存在的“8 字模型”。在△ADG 和△FGB 中，∠AGD=∠FGB（對(duì)頂角），∠ADG=∠FBG（由三角形全等得到對(duì)應(yīng)角相等），因此，∠BFG=∠DAG=60°?！? 字模型”也是由旋轉(zhuǎn)模型得到的一個(gè)結(jié)論，通過(guò)三角形全等，得到一組對(duì)應(yīng)角相等，再根據(jù)對(duì)頂角相等，即可得到兩個(gè)三角形中的另外一組角相等，由“8字模型”，可以很快找到度數(shù)相等的角。

接下來(lái)，對(duì)于圖3 再作適當(dāng)變形，通過(guò)旋轉(zhuǎn)模型，解決問(wèn)題。

如圖4，以△ABC 的AB、AC 為腰，向三角形外作等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，頂角∠BAD=∠CAE=α，連接BE、CD，相交于點(diǎn)F，連接AF，請(qǐng)證明以下結(jié)論：（1）∠BFD=α；（2）∠DFA=∠EFA。

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)模型，很容易得出△ABE ≌△ADC，從而得到對(duì)應(yīng)角相等，即∠ABE=∠ADC，再由“8 字模型”，可以得到∠BFD=∠BAD=α。

（2）要 證∠DFA= ∠EFA，可 證∠DFA 與∠EFA 所 在 的三角形全等?！鰽BE 與△ADC 通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以重合，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)元素也是始終相等的，因此可以聯(lián)想到，旋轉(zhuǎn)三角形中的重要對(duì)應(yīng)線段——高線，從而構(gòu)造全等三角形。過(guò)點(diǎn)A 作AG ⊥CD 于 點(diǎn)G，AH ⊥BE 于 點(diǎn)H，如 圖4。可 以 得 到AG=AH（AG、AH 可以看成是△ABE 與△ADC 對(duì)應(yīng)邊的高，因此它們是相等的；也可通過(guò)證明△ABH ≌△ADG（AAS），得到AG=AH。 在Rt △AGF 和Rt △AHF 中，AG=AH，AF=AF，所 以Rt △AGF ≌Rt △AHF(HL)。 所 以∠AFG= ∠AFH， 即∠DFA=∠EFA。

思維拓展：如圖5，以△ABC 的AB、AC 為邊向三角形外作正方形ABDE、ACFG，連接BG、CE，相交于點(diǎn)H。證明：（1）BG ⊥CE；（2）∠EHA=∠GHA。

三、模型方法遷移，解決難題

有了上述問(wèn)題做鋪墊，解決下面的問(wèn)題就會(huì)顯得得心應(yīng)手。

如圖6，已知△ABC 和△DCE 均是等邊三角形，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，AE 與BD 相交于點(diǎn)H，AE 與CD 相交于點(diǎn)G，AC 與BD 相交于點(diǎn)F，連接HC，F(xiàn)G，有下列結(jié)論：①AE=BD；②AG=BF；③FG ∥BE；④∠BHC=EGC。其中正確的結(jié)論是_。

分析：在此圖形中，可將△BCD 繞點(diǎn)A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，即可與△ACE 重合，因此，這是一個(gè)典型的旋轉(zhuǎn)模型。結(jié)論①易證；同樣，可將△BCF 繞點(diǎn)C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，即可與△ACG 重合，故有AG=BF，結(jié)論②正確；由△BCF ≌△ACG，有CG=CF，又∠FCG=60°，所以△CFG 是等邊三角形，所以∠CFG=∠ACB=60°，所以FG ∥BE，結(jié)論③正確；要證明∠BHC=∠EGC，由上述探究得到啟發(fā)，過(guò)點(diǎn)C 作CM ⊥BD 于點(diǎn)M，CN ⊥AE 于點(diǎn)N，如圖6。CM、CN 是旋轉(zhuǎn)模型中兩個(gè)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高，故CM=CN，易證Rt △CMH ≌Rt △CNH(HL)，所以∠CHM=∠CHN，即∠BHC=∠EHC，結(jié)論④正確。所以，正確的結(jié)論有①②③④。

通過(guò)對(duì)上述旋轉(zhuǎn)模型的分析和變形，相信我們對(duì)此類問(wèn)題不會(huì)再感到迷惑了吧，我們接下來(lái)就挑戰(zhàn)一下自己吧！

如圖7，在銳角三角形ABC 中，AH 是BC 邊上的高，分別以AB、AC 為一邊，向外作正方形ABDE 和ACFG，連接CE、BG 和EG，EG 與HA 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG ⊥CE；③∠EAM=∠ABC；④AM 是△AEG 的中線。其中正確的結(jié)論是____。

思路點(diǎn)撥：由上述探究，可知①②正確。 過(guò)點(diǎn)E、G 分別作直線HM的垂線，垂足分別記作P、Q，如圖7。易證Rt △ABH ≌Rt △EAP，所以∠EAM=∠ABC，AH=EP；同樣方法證明Rt △ACH ≌Rt △EAQ，所以AH=EQ，因此EP=EQ，接下來(lái)可證Rt △EPM ≌Rt △GQM，得到EM=GM，即AM 是△AEG 的中線。因此，③④正確。

總結(jié)：旋轉(zhuǎn)模型可以幫助我們?cè)趶?fù)雜圖形中抽象出基本圖形，迅速找到圖形中存在的全等三角形，利用旋轉(zhuǎn)圖形的對(duì)應(yīng)線段也是相等的，可以在添加輔助線時(shí)給予啟發(fā)，構(gòu)造全等圖形。 旋轉(zhuǎn)思想，可以幫助我們化繁為簡(jiǎn)，切中圖形要點(diǎn)，使困難問(wèn)題迎刃而解。