基于智能手機的靜電場描繪及模擬

林春丹 李秋真 張 程 張萬松 楊振清

(中國石油大學(xué)(北京) 1理學(xué)院； 2新能源與材料學(xué)院，北京 102249)

2020年以來，受新型冠狀病毒肺炎影響，教育部明確要求各高校延遲開學(xué)，以“停課不停學(xué)”為目標(biāo)，組織開展線上教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生居家學(xué)習(xí)[1]。線上教學(xué)一般需要手機的輔助，小巧的智能手機變成必不可少的工具，尤其對于處理比較繁瑣的物理實驗數(shù)據(jù)也可以用智能手機輔助完成，因此引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中嘗試?yán)弥悄苁謾C對提高線上實驗教學(xué)效果有較好的作用。本文針對用模擬法描繪靜電場這一理工科學(xué)生必做的基礎(chǔ)實驗[2]展開研究。由于靜電場難以直接準(zhǔn)確測量，通常利用電流場來模擬靜電場。實驗中一般采用雙層靜電場測試儀，通過探針在紙上打出電位相等的點[3-4]。實驗中數(shù)據(jù)處理的一個重要環(huán)節(jié)是測量各等勢線的半徑，并對U與lnr進行線性擬合[5]。傳統(tǒng)上一般由學(xué)生手動計算出半徑的平均值，并擬合U與lnr的線性關(guān)系，得出斜率值。此過程涉及的數(shù)據(jù)處理量大，計算過程復(fù)雜，且耗時較長。其他運用OpenCV軟件[6]、Origin軟件[7-8]、Matlab軟件[9-10]等計算機軟件進行數(shù)據(jù)處理的方法對學(xué)生的編程或軟件運用能力要求高，不易上手。同時，此類軟件安裝困難且計算機不便攜帶。這使得靜電場描繪實驗的數(shù)據(jù)處理過程具有一定的難度。

由此本文提出了基于智能手機中的相機及Geogebra軟件完成實驗數(shù)據(jù)處理的方法。利用Geogebra軟件實現(xiàn)了等勢點的坐標(biāo)確定、等勢線的擬合、三維等勢面的模擬等過程。此方法可大幅減小實驗數(shù)據(jù)的處理難度，節(jié)約學(xué)生們的計算時間。同時，智能手機的普及和Geogebra軟件的開源性使得此方法具有較強的普適性，適合在疫情期間進行居家學(xué)習(xí)。

1 靜電場描繪實驗的原理及內(nèi)容

1.1 用電流場模擬靜電場

靜止電荷產(chǎn)生的電場稱為靜電場。然而，由于靜電場中無電流，無法用常見的電流表進行測試。靜電式儀表又存在靜電感應(yīng)的問題，會改變電場的原始分布，因此靜電場很難直接測量[8]。

恒定電流所產(chǎn)生的穩(wěn)恒電場的基本特性與靜電場相同，且其中的電場分布容易測量，故可用恒定電流場來模擬靜電場[11]，即通過測量和描繪電流場中的電位分布來確定相應(yīng)靜電場中的電位及場強分布。

1.2 真空中的圓柱形電容器

圖1 圓柱形電容器示意圖

本文主要針對兩個長直同軸圓柱型導(dǎo)體間的電場[12]進行研究。設(shè)長為l的圓柱形電容器(圖1)的內(nèi)外極板的半徑分別為a和b(且a、b?l)，設(shè)其均勻帶有等量異號的電荷，線電荷密度的絕對值為λ。由于其對稱性，半徑為r(r>a)的圓柱面上電場強度的方向應(yīng)沿著半徑方向，大小E應(yīng)為常數(shù)，則由高斯定理可得：

(1)

令U為內(nèi)圓柱面與半徑為r的圓柱面上一點p之間的電壓，則：

(2)

1.3 等勢線的測定與描繪

測量二維電場電位分布的實驗裝置示意圖如圖2所示，電路圖如圖3所示。裝置下部的電極間充以導(dǎo)電液P，在內(nèi)外電極之間加上頻率為1000Hz的交流電，電壓有效值為U0。在兩電極間有電流流過，從而形成一組等勢線，其位置可通過電壓表和探針e測出[13]。

圖2 實驗裝置示意圖

圖3 電路示意圖

實驗步驟如下：

(1) 按圖3連好線路圖，在電極水槽中充以適量的水作為導(dǎo)電液，水的深度以稍沒過電極為宜。

(2) 接通電源，通過調(diào)節(jié)電源的輸出電壓和滑線電阻的分壓使兩電極間的交流電壓有效值為1.00V。

(3) 打出電壓表讀數(shù)為0.20V、0.30V、……、0.90V的幾組相差為0.10V等勢點。

(4) 將各等勢點連接，描繪出等勢線。

1.4 電力線的描繪

在靜電場中，電場強度矢量等于電位的負(fù)梯度。當(dāng)畫出電場等勢線的分布圖后，就可在此基礎(chǔ)上描繪出電力線圖，在描繪時使電力線與等勢線處處垂直，且電力線的方向指向電位下降的方向。

2 人工數(shù)據(jù)處理

2.1 人工數(shù)據(jù)處理流程

靜電場描繪實驗的傳統(tǒng)數(shù)據(jù)處理方法需要學(xué)生手動描點、測量并計算。處理步驟如下：

(1) 將各等勢點連接繪制出等勢線，垂直于等勢線繪制電場線，確定圓心。圖4為學(xué)生手動描繪的等勢線及電場線圖。

圖4 手描的等勢線圖

(2) 在各等勢線中取四個點進行半徑的測量和記錄，并計算半徑的平均值及對數(shù)值。實驗數(shù)據(jù)的記錄與計算結(jié)果如表1所示。

表1 各等勢線的半徑值、半徑平均值及對數(shù)值

續(xù)表

(3) 在坐標(biāo)紙上建立U-lnr坐標(biāo)系，描點作圖并進行擬合, 擬合曲線如圖5所示，該曲線符合線性關(guān)系，計算得到斜率為0.55。

圖5 人工線性擬合圖

2.2 人工數(shù)據(jù)處理的弊端

人工數(shù)據(jù)處理過程涉及大量的數(shù)據(jù)測量、記錄和計算過程，處理過程復(fù)雜且耗時。且人工繪圖和確定圓心的過程存在較多不確定因素，計算過程中也存在精度的限制，帶來了一定的實驗誤差，難以保證實驗的準(zhǔn)確性。

3 基于智能手機的實驗數(shù)據(jù)處理

3.1 Geogebra軟件的簡要介紹

Geogebra，簡稱GGB，是一款免費、開源且性能可靠的學(xué)習(xí)和教學(xué)的動態(tài)軟件[14]。它包含運算區(qū)、繪圖區(qū)、表格區(qū)等多個模塊以及代數(shù)、幾何、統(tǒng)計等多項功能。其數(shù)學(xué)表現(xiàn)豐富準(zhǔn)確，且界面簡潔，操作方便，易學(xué)易用，占用內(nèi)存小，學(xué)生可獨立完成安裝及操作過程。

3.2 基于智能手機的數(shù)據(jù)處理

3.2.1 打點圖的導(dǎo)入及定位

利用智能手機中的相機，1∶1拍攝打點圖。將拍攝圖片導(dǎo)入手機中的GGB軟件，根據(jù)實際打點圖中最外側(cè)等勢線的直徑值(單位cm)設(shè)定圖片的頂點位置，使圖形的像素坐標(biāo)與實際坐標(biāo)吻合。將圖片鎖定于坐標(biāo)軸之上，則其在后續(xù)縮放或移動過程中會與坐標(biāo)軸同步變化。

3.2.2 點的標(biāo)定及圖像模擬

利用“標(biāo)點”工具，可得到各點的坐標(biāo)值。在每圈等勢線上選取連線接近正三角形的點進行標(biāo)定，以保證圓心位置誤差及其對應(yīng)的半徑標(biāo)準(zhǔn)差均為最小，即為“優(yōu)質(zhì)組合”[5]。標(biāo)點過程中可將圖片進行放大并調(diào)整有效數(shù)字位數(shù)以保證標(biāo)點的的準(zhǔn)確性及精確度。在最內(nèi)圈標(biāo)出三點A、B、C，可自動顯示其坐標(biāo)。利用“圓形擬合”工具，可得到最內(nèi)側(cè)圓形的方程式及r2值。點的坐標(biāo)及擬合結(jié)果如圖6(a)、(b)所示。

圖6 最內(nèi)側(cè)等勢點的擬合結(jié)果(a) 點的坐標(biāo)及圓的方程式; (b)擬合出的等勢線

對外側(cè)等勢點重復(fù)上述兩個步驟。最終得到一系列的等勢圓及其方程。利用“向量”工具可垂直于等勢線繪制出電場線，如圖7所示。

圖7 等勢線及電場線模擬圖

圖8 三維等勢圓柱面模擬圖(a) 正視圖; (b)斜視圖; (c) 剖面圖

利用“3D繪圖區(qū)”模塊中的“圓柱”功能，按照所得圓的方程建立三維立體等勢圓柱面圖。在此基礎(chǔ)上，用手指觸屏拖動三維圖形即可實現(xiàn)三維等勢面的平移或旋轉(zhuǎn)，圖8(a)、(b)、(c)分別為模擬出的三維等勢面的正視圖、斜視圖及剖面圖。通過上述操作學(xué)生可在各自的智能手機上進行立體圓柱等勢面的多角度觀察。

3.2.3 對數(shù)擬合

選中B、C兩列，進行“雙變量回歸分析”，選擇“對數(shù)”作為回歸模型進行擬合，則省去了計算半徑對數(shù)值的步驟，可直接得到U與r的擬合曲線及其方程，即圖9(b)中的y=0.13284+0.54068lnx，則U與lnr線性關(guān)系的斜率k值為0.54068。

圖9 手機軟件的擬合結(jié)果(a) 數(shù)據(jù)表格; (b)對數(shù)擬合曲線及方程式

根據(jù)式(3)，可計算得斜率k的理論值。擬合結(jié)果相比人工計算擬合的結(jié)果更為準(zhǔn)確，二者與理論值的比較如表2所示，基于智能手機的擬合結(jié)果準(zhǔn)確率提高了2.0%。

表2 兩種方法結(jié)果與理論值的比較

3.3 基于手機軟件進行數(shù)據(jù)處理的優(yōu)勢

基于智能手機中的相機及GGB軟件進行靜電場描繪實驗的數(shù)據(jù)處理避免了手動處理時繁冗的數(shù)據(jù)測量、記錄和計算過程， 也無需學(xué)生攜帶或使用計算機，僅需一部手機即可完成整個數(shù)據(jù)處理過程。處理過程方便、快捷，且計算精度較高，保證了實驗的準(zhǔn)確性。學(xué)生們也可在手機上觀察到靜電場的二維等勢線及三維等勢圓柱面，使得靜電場描繪實驗更加生動直觀。

此外，此軟件還可實現(xiàn)保存、導(dǎo)出圖片、分享等功能，學(xué)生們可以隨時保存數(shù)據(jù)處理結(jié)果，也可以利用智能手機中的多種社交軟件將文件傳輸給同學(xué)或老師進行文件共享或作業(yè)的提交等工作，在一定程度上實現(xiàn)了物理實驗的智能化和信息化，實現(xiàn)了疫情期間對物理實驗的的線上居家學(xué)習(xí)。同時，在新工科的建設(shè)背景下，將智能手機應(yīng)用于傳統(tǒng)的物理實驗過程中可在一定程度實現(xiàn)“厚基礎(chǔ)”的升級創(chuàng)新。

4 結(jié)語

本研究將靜電場描繪實驗與智能手機相結(jié)合，使傳統(tǒng)的靜電場實驗實現(xiàn)了智能化計算模擬。改進后的靜電場模擬描跡實驗的處理方法避免了手動描線、計算半徑平均值、線性擬合等大量的數(shù)據(jù)處理過程，大大減少了計算量，節(jié)省了實驗時間，且保證了計算的精確度。本方法普適性強，能夠使學(xué)生們有效利用手中的智能手機，準(zhǔn)確且高效地完成數(shù)據(jù)處理過程，并直觀觀察到二維等勢線與三維等勢面，使傳統(tǒng)的靜電場實驗變得簡易、生動且直觀，對實驗教學(xué)老師開拓思路也有參考意義。