改進的粒子群算法求解飛機位姿評估問題*

陳遠志，黃 杰，章易鐮，朱利民

（1.上海交通大學機械工程學院，上海 200240；2.上海拓璞數(shù)控科技股份有限公司，上海 201111）

飛機數(shù)字化裝配技術相較于傳統(tǒng)的固定型架裝配方法，擁有高效、準確、經(jīng)濟和柔性等特點，因此被國內外飛機制造廠商廣泛采用于制造各類先進的軍民機[1]。飛機數(shù)字化裝配主要包含3 個階段：位姿測量、位姿評估、位姿調整。位姿測量是指采用激光跟蹤儀、iGPS 等數(shù)字化測量系統(tǒng)測量固定在飛機上的調姿基準點在裝配坐標系中的三維坐標值[2–3]；位姿評估是指比對調姿基準點的測量坐標值（測量系統(tǒng)提供）與理論坐標值（理論數(shù)模提供），從而計算出飛機部件位姿移動參數(shù)；位姿調整是指根據(jù)運動學關系，將飛機部件的位姿參數(shù)轉化為數(shù)控定位器的運動參數(shù)，由數(shù)控定位器驅動飛機部件到達目標位姿。

位姿評估是求解點匹配問題在飛機裝配領域的應用[4]，大量學者針對此問題進行了研究。奇異值分解法[5]、正交矩陣法[6]、四元組法[7]等是位姿評估常見的算法。上述方法是非迭代的，因為使用方便，已廣泛應用于飛機裝配現(xiàn)場。

此外，幾種以非迭代算法獲得位姿參數(shù)初值的迭代的位姿評估算法獲得了更高的匹配精度。例如Li 等[8]提出基于迭代最近鄰算法（Iterative Closest Point，ICP）的位姿評估算法，將姿態(tài)評估問題轉化為空間點與曲面的配準問題、尋找點與點的對應關系，其內部采用奇異值分解（SVD）法求解；俞慈君等[4]提出一種考慮對稱、共面、共線等工程約束的剛體匹配算法，利用SVD 法獲得位姿參數(shù)初值，帶入加權最小二乘牛頓迭代法求解非線性最優(yōu)化目標函數(shù)，以獲得剛體匹配最優(yōu)位姿參數(shù)；張斌等[9]提出基于鞍點規(guī)劃的位姿評估算法，綜合利用激光跟蹤儀和位移傳感器進行為此測量，運用SVD 法和單純形法求解飛機位姿評估問題。

隨著人工智能技術的發(fā)展，群體智能優(yōu)化算法被廣泛研究并應用到各類最優(yōu)化問題中。群體智能優(yōu)化算法是一種生物啟發(fā)式優(yōu)化方法，主要包括蟻群算法、粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）、人工蜂群算法等[10]。位姿評估問題可以轉化為最小二乘的優(yōu)化問題，因此可以采用群體智能優(yōu)化算法進行求解。PSO 算法具有結構簡單、易于理解、計算量小的優(yōu)點，因此已有學者將其應用到位姿評估的研究中。朱緒勝等[11]提出了一種綜合考慮衛(wèi)星艙段裝配過程中的多個控制目標的多目標位姿參數(shù)優(yōu)化算法，利用PSO 算法求解多目標優(yōu)化函數(shù)，仿真結果證實了此算法的可行性；Hou 等[12]設計了一種簡易機械測量裝置測量飛機位姿，并采用PSO 和ICP 算法進行位姿參數(shù)求解。

上述針對位姿評估的研究均取得了理想的效果，但是當安裝調姿測量點的位置的飛機部件制造誤差或安裝誤差較大時，在按照位姿評估算法計算出的位姿參數(shù)調整飛機位姿后，會存在某一點或某些點的誤差較大甚至遠遠超過其他的點。這是因為測量系統(tǒng)測量出的該調姿基準點在飛機部件局部坐標系中的實際坐標與數(shù)模定義的局部坐標系中的理論坐標相差較大，而上述文獻主要考慮的是調姿測量點誤差總和或者誤差平方和最小，當所有調姿測量點均在合理坐標范圍內時，上述文獻的算法效果較好，但當調姿測量點不在合理坐標范圍內時，會存在某一點或某些點的誤差較大甚至遠遠超過其他的點。綜合考慮調姿測量點最大誤差以及誤差總和的研究未見報道。本文針對這種情況，在基本PSO算法的基礎上，提出了一種綜合考慮最大誤差以及誤差總和的改進粒子群算法，首先以誤差總和最小為優(yōu)化條件，利用基本PSO 算法求解位姿參數(shù)，再通過動態(tài)約束優(yōu)化的PSO 算法調整位姿參數(shù)，以使調姿基準點最大誤差滿足條件。

1 飛機數(shù)字化裝配系統(tǒng)

飛機數(shù)字化裝配系統(tǒng)是典型的測量輔助裝配（Measurement Assisted Assembly，MAA）系統(tǒng)[13]，為了便于闡述此類系統(tǒng)，以較為常見的某型商務客機的機頭中機身數(shù)字化裝配系統(tǒng)為例加以說明，如圖1所示。數(shù)字化裝配系統(tǒng)首先通過激光跟蹤儀測量安裝在前機頭部件和中機身部件上的調姿測量點的三維坐標，其次通過比對調姿測量點的當前坐標與理論坐標計算出飛機部件位姿移動參數(shù)，然后通過數(shù)控定位器驅動飛機部件到達目標位姿，最后再次通過激光跟蹤儀測量調姿基準點是否符合容差要求，若不符合則重復上述步驟，否則調姿完成進入后續(xù)裝配工作。

在飛機數(shù)字化系統(tǒng)中通常存在3 種坐標系：全局坐標系（Global Coordinate System，GCS）、測量坐標系（Measurement Coordinate System，MCS）以及與移動裝配體固聯(lián)的局部坐標系（Local Coordinate System，LCS），具體定義可參閱文獻[11]。通過增強的系統(tǒng)參考點（Enhanced Reference System Point，ERS Point）和調姿基準點的測量，3 種坐標系可以互相轉換，這種轉換可以通過專業(yè)的大尺寸測量軟件Spatial Analyses（SA）自動完成。為簡化模型推導過程，省略各點的坐標值和各部件的位姿參數(shù)在不同坐標系之間的轉換關系的推導，將它們都定義在GCS 中。

調姿基準點固定安裝在待裝配的飛機部件上，坐標值為調姿基準點的可以表示為：

式中，P為調姿基準點；Type 表示坐標值的類型，m代表調姿基準點的個數(shù)。5 種坐標值類型的關系在下文詳述。需要特別說明的是，因為激光跟蹤儀的測量精度所限，調姿基準點的測量值與真實值存在微小誤差（Ux，y，z= 15μm+16μm/m），遠小于飛機部件的制造誤差和調姿基準點安裝誤差，所以下文中不特殊說明時調姿基準點的測量值即為真實值。

圖1 飛機數(shù)字化裝配系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic of aircraft digital assembly system

2 位姿評估模型的構造

在飛機數(shù)字化裝配過程中，常把飛機部件作為剛體進行處理。位置和姿態(tài)是確定剛體之間關系的關鍵幾何特征，它們描述了剛體在GCS 中的幾何狀態(tài)，在進行模型構建之前需要預先確定。剛體在GCS 中的位姿移動參數(shù)可以用六維矢量X=（α，β，γ，tx，ty，tz）T表示，其中α、β、γ表示固聯(lián)在剛體上的LCS 在GCS 下的旋轉角R、P、Y（Roll，Pitch，Yaw），tx、ty、tz表示LCS 的原點在GCS 下的位移量。

剛體運動可以由3×3 的矩陣R表示旋轉

式中，cx=cos（x），sx=sin（x）。

位移矩陣T為3×1。

調姿基準點的估計值可以表示為

因為R和T是X的函數(shù)，所以位姿評估問題即是求解最優(yōu)的X，使得估計值PiEs與理論值PiTh的誤差總和最小且誤差值PiEr小于容差值PiTo。其中，Th 代表理論值（Theoretical Value）由CAD 模型定義；M 代表測量值（Measured Value），由激光跟蹤儀測量得到；Es 代表估計值（Estimated Value），是理論計算得到的調姿完成后的調姿基準點坐標值；Er 代表誤差值（Error Value），是估計值與理論值的歐式距離；To 代表容差值（Tolerance），根據(jù)飛機設計要求確定。誤差值PiEr可以表示為

則位姿評估問題的優(yōu)化目標可以表示為

式中，μi是歸一化參數(shù)，保證容差值較小同時Pi=[xi，yi，zi]T位置精度更高的調姿基準點不被輕視。

在飛機調姿問題中，其中最常見的約束條件是點位約束，可以表示為

即調姿完成后，所有調姿測量點的坐標誤差值均符合容差要求。不滿足約束條件意味著飛機部件調姿完成后無法達到工藝要求，所以要極力避免超差的存在。

3 基于PSO 算法求解位姿參數(shù)

3.1 基本PSO算法

PSO 算法是受鳥群覓食行為的啟發(fā)，進而建立的群體智能優(yōu)化模型。式（6）構成的位姿評估模型是一個典型的最優(yōu)化問題，可以采用PSO 算法求解。

求解時將位姿移動矢量X作為粒子，其獨立參數(shù)α、β、γ、tx、ty、tz作為粒子的維度，式（6）作為適應度函數(shù)。粒子群由N個位置為Xi、速度為Vi的粒子構成，Xi和Vi是在可行域范圍內的六維向量。首先隨機設置初始位置Xi0和初始速度Vi0；隨后根據(jù)適應度函數(shù)（式（6））計算所有粒子的適應度f（Xi0）；再通過比較適應度，記錄單個粒子最佳位置Pibest和群體最佳位置Pgbest；接著根據(jù)式（9）和式（10）更新粒子的速度和位置。

式中，Xik和Vik分別是第i個粒子第k代時的位置向量和速度向量；c1和c2是加速因子；r1和r2是0 到1 之間的隨機數(shù)；w是慣性權重。

3.2 求解約束優(yōu)化問題的PSO算法

通過上述基本PSO 算法或者奇異值分解法、牛頓歐拉法等求解飛機位姿評估問題，將求解出的位姿移動參數(shù)應用到飛機數(shù)模上進行仿真，時常出現(xiàn)兩種問題：（1）調姿基準點最大誤差（Max Error of OTP，MEO）不符合容差要求；（2）MEO 符合容差要求，但遠超其余調姿基準點的誤差。

為了解決問題（1），本文提出一種求解約束優(yōu)化問題的PSO 算法（PSO for constrained optimization problems，PSO-COPs），用于求解帶點位約束的飛機調姿問題。采用懲罰函數(shù)作為約束處理機制，將式（8）的點位約束條件轉化為懲罰函數(shù)：

式中，σ=αk是指數(shù)型懲罰因子，α是大于1 的加速參數(shù)，k是優(yōu)化代數(shù)，σ隨著優(yōu)化的進行而逐漸增大，使粒子Xi受到更強的約束力；φ是放大因子取10，因為調姿基準點的通常安裝在剛度和精度較好的飛機部件上，所以PiEr–PiTo通常為負數(shù)，只有極少數(shù)情況為較小的正數(shù)，因此采用φ放大兩者的差值，增強懲罰效果。

通過上述約束處理機制，可以將由式（6）和式（8）組成的約束優(yōu)化問題轉化為由式（12）描述的無約束優(yōu)化問題。

在基本PSO 算法基礎上，將式（12）作為新的適應度函數(shù)，用于求解帶點位約束的飛機調姿問題。

3.3 改進的PSO算法

為解決3.2 節(jié)所述問題（2），本文提出一種改進的PSO 算法（Improved Particle Swarm Optimization,IPSO），以調姿基準點誤差總和以及最大誤差為優(yōu)化目標，動態(tài)改變點位約束條件，形成嵌套循環(huán)優(yōu)化模型。將式（8）中固定容差值的PiTo改為動態(tài)約束參數(shù)（i表示調姿基準點編號，j表示外層循環(huán)次數(shù)），懲罰函數(shù)改為：

式中，PiDC的初值為PiTo，動態(tài)更新規(guī)則下文詳述。IPSO 算法的優(yōu)化目標改為

IPSO 算法流程如圖2所示，具體步驟如下。

Step1：輸入CAD 模型定義的調姿基準點理論值PiTh、根據(jù)工藝要求確定的容差值PiTo以及由激光跟蹤儀測量得到的測量值PM。

Step2：生成N個離散的粒子Xi，每個粒子擁有6 個自由度（α、β、γ、tx、ty、tz）。

Step3：在粒子位置和速度的可行域范圍內，初始化粒子的位置Xi0和速度Vi0。

Step4：根據(jù)式（14）計算Xi的適應度，記錄單個粒子最佳位置Pibest和群體最佳位置Pgbest。

Step5：以式（9）和式（10）更新粒子的速度和位置，若粒子速度超出可行域，則速度更新為

若粒子位置超出可行域，則位置更新為

同時將粒子位置超出可行域的維度相對應的速度維度取反，例如Xik中α的數(shù)值超出可行域，則Vik中α的速度取反，以此類推。

Step6：判斷內層循環(huán)終止條件，即群體最佳適應度在T=50 代內變化小于預定義的最小變化MINVAR或者迭代次數(shù)超過最大迭代次數(shù)MAXGEN=1000。滿足條件則進入步驟7，反之重復步驟4、5、6。

Step7：判斷外層循環(huán)終止條件，即外層循環(huán)運行次數(shù)大于等于兩次并且本次循環(huán)優(yōu)化結果的MEO 大于前次的MEO。滿足條件則進入步驟9，反之進入步驟8。

式中，jd是第j次外層循環(huán)的衰減系數(shù)

式中，dmin=0.8，dmax=0.99。

Step9：輸出移動位姿參數(shù)R，T以及評估結果。

圖2 改進的PSO算法流程圖Fig.2 IPSO algorithm diagram

4 算例分析與蒙特卡洛仿真

以圖1中的中機身調姿定位為例，驗證算法的有效性。為了簡化計算模型和便于理解，將中機身上左右兩邊共8 個調姿基準點簡化為一個正方體模型上的8 個頂點，如圖3所示。

4.1 算例分析

仿真算例中的模擬測量坐標值由式（19）生成

圖3 算例模型示意圖Fig.3 Calculation model diagram

表1 算例模型調姿基準點坐標值Table 1 Example model appearance benchmark coordinate values

采用本文提出的PSO-COPs 和IPSO 求解飛機位姿評估問題，并利用求得的位姿移動參數(shù)計算調姿基準點評估值PiEs，然后計算各點到相應的理論值PiTh的距離誤差和以及調姿基準點最大誤差。根據(jù)楊維等[14]描述的粒子群算法參數(shù)選取方法，為了避免優(yōu)化過程中陷入局部極小點，取粒子群算法的w=1，c1=1.5，c2=2。將本文提出的兩種方法與基本PSO 以及SVD 方法比較，如表2所示。

由表2可見，4 種方法的距離誤差和均小于隨機誤差和Σ‖Ei‖。因為PSO 方法直接以距離誤差和最小為優(yōu)化目標，所以PSO 方法的距離誤差和最小，但最大誤差值最大，超過了調姿基準點容差值PiTo。在PSO 基礎上改進的PSO-COPs 的距離誤差和略大于PSO 方法，但因為采用了懲罰函數(shù)作為約束處理機制，其最大誤差值達到了容差要求，在在距離誤差和與最大誤差值方面的優(yōu)化結果均好于SVD 方法。IPSO 因為不斷強化約束條件，所以獲得了最小的最大誤差值，是4 種方法中唯一最大誤差值小于max‖Ei‖的方法。

4.2 蒙特卡洛仿真

在實際飛機位姿評估問題中，‖Ei‖≤PiTo不是總能滿足，偶爾會出現(xiàn)個別調姿基準點制造誤差超過設計要求。采用蒙特卡洛方法仿真在不同預設最大誤差情況下，比較上述4 種方法的優(yōu)化效果，以對本文提出的兩種方法的可行性進行驗證。蒙特卡洛法是一種數(shù)值模擬方法，需要產(chǎn)生大量隨機樣本，通常樣本量越大，模擬結果越準確。因此在δ=0.1，0.2，…，2.0 這20 種情況下，每種情況均根據(jù)式（19）生成1000 組模擬測量坐標值，然后用4 種方法求解。各種情況下4 種方法的1000 次仿真平均最大誤差值和平均距離誤差和如圖4所示，其中圖4（b）中的最大誤差修正率可以表示為

類似的，圖4（d）中的誤差和修正率可以表示為

圖例中的MAXERROR 和SUMERROR 分別表示最大隨機誤差max‖Ei‖和隨機誤差和Σ‖Ei‖。

表2 SVD、PSO、PSO-COPs及IPSO距離誤差和以及最大誤差比較Table 2 SVD,PSO and PSO-COPs and IPSO distance error and error comparison

圖4 蒙特卡洛仿真結果Fig.4 Results of Monte Carlo simulation

由圖4（a）和圖4（b）可見：預設最大誤差小于等于0.8mm 時，SVD 方法的平均最大誤差值最?。划旑A設最大誤差大于0.8mm 時，IPSO 方法的平均最大誤差值最小，并且IPSO方法的最大誤差修正率開始上升，直到預設最大誤差達到1.2mm后開始穩(wěn)定在20%附近；PSO-COPs 方法的最大誤差修正率的趨勢與PSO 方法類似，超越SVD 方法的轉折點是預設最大誤差1.3mm，最大誤差修正率從上升到穩(wěn)定的轉折點是預設誤差達到1.6mm；PSO 方法的最大誤差值始終最大、最大誤差修正率始終最小。4 種方法的蒙特卡洛仿真1000 次平均最大誤差超過容差值PiTo的轉折點為SVD 1.4mm，PSO 1.3mm，PSO-COPs 1.5mm，IPSO 1.7mm。

由圖4（c）和圖4（d）可見：4 種方法求解飛機位姿評估問題得到的距離誤差和均小于隨機誤差和Σ‖Ei‖；PSO 方法的距離誤差和在本文的仿真條件中始終有最小的距離誤差和，且距離誤差和修正率保持在17%附近；SVD 方法的距離誤差和修正率保持在15%左右，并且與PSO 方法的距離誤差和的變化趨勢保持一致；PSO-COPs 方法和IPSO 方法在預設誤差小于等于0.7mm 時，因為各調姿基準點隨機誤差較小，懲罰函數(shù)并未達到觸發(fā)條件，所以兩者的距離誤差和修正率與PSO 方法一致，因為此時三者的優(yōu)化目標是一致的；當預設最大誤差大于0.7mm 后，懲罰函數(shù)被激活，PSO-COPs 方法和IPSO 方法的優(yōu)化目標發(fā)生變化，所以距離誤差和修正率開始下降，而最大誤差修正率則開始上升。

5 結論

（1）本文采用懲罰函數(shù)方式將點位約束條件引入到飛機位姿評估問題中，因為常規(guī)的優(yōu)化方法容易陷入局部極小點，而PSO 方面能獲得更接近全局最優(yōu)的解，所以本文采用求解約束優(yōu)化問題的粒子群算法求解。將帶點位約束的飛機評估問題轉化為帶懲罰函數(shù)的優(yōu)化模型，其他復雜約束也可以采用此方法添加到優(yōu)化模型中，采用粒子群算法求解。

（2）在本文求解約束優(yōu)化問題的粒子群算法基礎上提出了一種改進的粒子群算法，采用動態(tài)改變約束參數(shù)來加強約束條件，可以通過迭代方式進一步減小飛機調姿基準點最大距離誤差。但是因為PSO 方法是迭代的，IPSO 方法是嵌套迭代的，所以在算法效率上，SVD 方法最快，PSO、PSO-COPs 次之，IPSO最慢。

（3）通過一個算例和蒙特卡洛仿真，可以看到相比于傳統(tǒng)的SVD 方法和新近提出的PSO 方法，本文提出的兩種方法在優(yōu)化最大距離誤差方面優(yōu)于SVD 方法和PSO 方法，在調姿基準點本身的誤差較大時仍可以達到較好的優(yōu)化結果，使最大距離誤差仍滿足點位約束條件。