幾類根式函數(shù)的不定積分

趙繼紅

(寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 寶雞 721013)

眾所周知，有理函數(shù)的原函數(shù)是初等函數(shù)。但一般而言, 根式函數(shù)(或稱無理函數(shù))的原函數(shù)不一定是初等函數(shù)[1，2]。因此不同于有理函數(shù)不定積分的求解, 求根式函數(shù)的不定積分一般來說要更困難, 沒有固定的公式和方法來套用, 需要根據(jù)題型靈活運(yùn)用換元積分法和分部積分法?；诖耸聦?shí), 本文中筆者整理了幾類求解具有特殊形式的根式函數(shù)不定積分的有效方法, 通過選取適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q化解被積函數(shù)中由于根式的出現(xiàn)所帶來的困難。需要指出的是, 一些根式函數(shù)不定積分的求解方法已在一些教材[1-3]和文獻(xiàn)[3-6]中都提到, 但基本上都是貫穿于講解不定積分的換元積分法時(shí)的舉例, 例子分布離散, 方法總結(jié)不夠全面, 本文的目的是將這些求解方法進(jìn)行歸納整理, 總結(jié)出一般求解根式函數(shù)不定積分的技巧和方法, 便于學(xué)生學(xué)習(xí), 加深對不定積分換元積分法的理解和掌握。貫穿全文, 我們用符號R(u,v,∧)來表示函數(shù)R是變量u,v,∧的有理函數(shù)。

1 最小公倍數(shù)法

解 令x=t[2,3]=t6,則原式可化為簡單的有理函數(shù)的不定積分：

2 整體代換法

3 三角變換法

借助于輔助三角形即得

4 分部積分法

解 利用分部積分法, 得：

移項(xiàng)即得:

5 倒代換

當(dāng)x>0時(shí), 有t>0, 從而

同樣, 當(dāng)x<0時(shí), 有t<0, 則

6 歐拉(Euler)變換法

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

進(jìn)一步, 通過恒等變形得

此類型的不定積分前文已經(jīng)討論過, 可以用整體代換法來求解。

然后通過兩邊各自平方后消去x2項(xiàng), 將原積分化為有理函數(shù)的不定積分。上述變換稱為歐拉(Euler)變換。

將上述結(jié)果代入, 可將所求不定積分化為如下有理函數(shù)的不定積分：

綜上, 在求解根式函數(shù)的不定積分時(shí), 選取恰當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q很關(guān)鍵, 而熟練地掌握和運(yùn)用換元方法是基礎(chǔ)。初學(xué)者一定要熟記求解不同類型的根式函數(shù)不定積分時(shí)所采用的方法和技巧, 解題才能對癥下藥, 并且不能拘泥于使用一種變量代換, 有時(shí)候需要同時(shí)進(jìn)行好幾次換元過程才能解決一些更復(fù)雜根式函數(shù)的不定積分。對于初學(xué)者而言, 一定要多做練習(xí), 歸納題型, 總結(jié)方法, 深刻理解和掌握根式函數(shù)不定積分的各種換元方法以及靈活運(yùn)用這些方法, 豐富和提高對微積分學(xué)理解層次的深度和厚度, 為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定一個(gè)良好的理論基礎(chǔ)。