基于Yu-Shiba-Rusinov態(tài)的拓?fù)涑瑢?dǎo)理論*

李牮

1) (西湖大學(xué)理學(xué)院， 杭州 310024)2) (浙江西湖高等研究院理學(xué)研究所， 杭州 310024)(2020 年6 月2日收到; 2020 年6 月5日收到修改稿)

Yu-Shiba-Rusinov態(tài)是由磁性雜質(zhì)原子在超導(dǎo)體中誘導(dǎo)出的超導(dǎo)能隙內(nèi)的束縛態(tài). 它們可以作為構(gòu)造拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)的基本單元. 本文闡述了基于Yu-Shiba-Rusinov態(tài)的不同維度拓?fù)涑瑢?dǎo)的統(tǒng)一理論框架， 并通過簡單的特例加以解釋. 這里的理論是理解多個(gè)相關(guān)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ).

近年來人們對拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)， 尤其是拓?fù)涑瑢?dǎo)體[1—10]的興趣主要有兩個(gè)方面: 一是它為一個(gè)傳統(tǒng)的科學(xué)領(lǐng)域——固體物理學(xué)帶來的研究范式的革新， 二是它在另一個(gè)方興未艾的領(lǐng)域——量子計(jì)算中 的 潛 在 應(yīng) 用[1，11，12]. 基 于Yu-Shiba-Rusinov(YSR)態(tài)[13—15]的拓?fù)涑瑢?dǎo)體系[16—34]是體現(xiàn)這兩點(diǎn)的一個(gè)好例子. YSR態(tài)指的是由磁性雜質(zhì)原子在(常規(guī))超導(dǎo)體中誘導(dǎo)的超導(dǎo)能隙內(nèi)的束縛態(tài).這種束縛態(tài)的存在被于淥[13]， Shiba[14]和Rusinov[15]于1960年代各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)， 并被Yazdani等[35]于1997年首次通過掃描隧道顯微鏡實(shí)驗(yàn)觀察到.另一方面， 作為最接近可行的拓?fù)淞孔佑?jì)算方案的基礎(chǔ)[36]， 拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)的形成往往有著對于超導(dǎo)、自旋軌道耦合以及磁性這三者關(guān)聯(lián)的微妙要求[37—39].在 多 種 構(gòu) 建 拓 撲 超 導(dǎo) 的 路 徑 之 中[3，23，37，38，40—48]，YSR態(tài)自然成為了一種有效的元件. 這里重要的是: 在實(shí)驗(yàn)上， 需要將磁性“雜質(zhì)”原子進(jìn)行有序的組裝甚至操控[23，29，30，33，34，48]; 在理論上， 需要對YSR態(tài)組成的超導(dǎo)能隙內(nèi)的“能帶”和邊界態(tài)進(jìn) 行 刻 畫 和 拓 撲 分 類[22，24，28，31，49]. 這 兩 方 面 在 現(xiàn)階段都已經(jīng)取得了重要的進(jìn)展， 并直接導(dǎo)致了在相關(guān)體系中對馬約拉納零能模的成功觀測和甄別[23，29，30，33，34，48]. 本文受限于作者的專長， 將集中討論基于YSR態(tài)的拓?fù)涑瑢?dǎo)理論框架. 作為一篇總結(jié)性的文章， 將著重于理論的自完備性和通用性，并輔以簡單的特例作解釋. 我們推薦讀者從引文中獲取更多細(xì)節(jié)， 尤其是關(guān)于這里所展示的理論如何應(yīng)用于實(shí)際體系[24，31，49].

作為出發(fā)點(diǎn)， 考慮一個(gè)由常規(guī)超導(dǎo)體(SC)和磁性原子(M)晶格組成的復(fù)合平均場模型，

這里 α 和 β 分別代表超導(dǎo)體(c算符)和磁性原子(d算符)中除自旋(s)外的自由度(例如軌道)，αˉ是 α 的時(shí) 間 反演; ξαs，α′s′，hβs，β′s′和 vαs，βs′皆為矩陣元; Δ 為超導(dǎo)配對序參量， 被設(shè)為實(shí)的常數(shù)(不依賴于 α ); rM∈ΛM是磁性原子的位置， 這些位置的集合 ΛM可以是一個(gè)點(diǎn)( DM=0 )， 一條鏈( DM=1 )，或一個(gè)二維晶格( DM=2 )， 我們把垂直于這個(gè)集合構(gòu)成的子空間的位置矢量記為 r⊥， 而這個(gè)子空間本身屬于 r⊥=0 ; 當(dāng) DM＞0 ，kM表示磁性原子晶格的波矢(動量)，B Z 表示其布里淵區(qū).

首先考慮超導(dǎo)體. 選取動量空)間的Nambu基矢其中黑體的 cs代表了特定自旋s不同軌道 α 的c算符組成的矢量 . 以此為基， 超導(dǎo)體的BdG哈密頓量為

這里黑體的 ξ 代表了矩陣形式的 ξαs，α′s′. 在上面的形式中用到了正常態(tài)部分 ξ (k) 的時(shí)間反演不變性:Tξ(-k)T-1=ξ(k)， 其中 T為時(shí)間反演算符( T2=- 1 ). 相應(yīng)地， 超導(dǎo)體自身在能隙中的格林函數(shù)為

這里因?yàn)槟芟吨袥]有極點(diǎn)， 暫且省略E附帶的無窮小虛部， 只在需要時(shí)把它加回去.

然后對隧穿哈密頓量做一定的簡化. 假設(shè)磁性原子和超導(dǎo)體間的隧穿是完全局域的， 并且不依賴于位置或自旋: vαs，βs′(r-rM)=vαβδss′δ(r-rM) .由 此隧穿哈密頓量變成

其中 KM為磁性原子的倒格子基矢(當(dāng) DM＞0 )，n為整數(shù)組成的矢量. 這里對n的求和可以理解為將超導(dǎo)態(tài)的動量平移進(jìn)磁性原子晶格的布里淵區(qū).

由此得到磁性原子在能隙中(由超導(dǎo)體帶來)的自能為

其中 k⊥為對應(yīng)于 r⊥的動量;而黑體v代表矩陣形式的 vαβ. 這里已經(jīng)選擇了作為磁性原子的Nambu基矢(下同)， 并用到了v的時(shí)間反演不變性: T vT-1=v .

進(jìn)一步， 磁性原子的完全格林函數(shù)為

值得一提的是， 如果把磁性原子當(dāng)成完全的經(jīng)典自旋S， 并假設(shè)它與超導(dǎo)體通過局域的交換相互作用進(jìn)行耦合， 則方程 (9)中的格林 函數(shù)應(yīng)替換為

GM(E+，kM) 在|E |＜Δ 范圍內(nèi)的極點(diǎn)可以給出YSR束縛態(tài)( DM=0 )或YSR能帶( DM＞0 )的能譜. 當(dāng)能譜在零能存在能隙時(shí)， 定義如下“有效 哈密頓量”:

注意雖然 H (kM) 具有哈密頓量的形式(其厄密性易證)， 它并不能用來有效描述系統(tǒng)的動力學(xué)(除非系統(tǒng)在超導(dǎo)能隙中間存在非常低能的YSR態(tài))，它的主要用途是幫助我們得到拓?fù)洳蛔兞縖50]. 為此， 先證明 H (kM) 滿足粒子-空穴對稱性: PH(kM)P-1=-H(-kM)， 其中 P 為粒子-空穴變換算符. 在已經(jīng)選定的Nambu基下， 粒子-空穴變換算符形式如 下:

其中 τ2為對應(yīng)于粒子-空穴自由度的泡利算符. 已知磁性原子自身的哈密頓量 HM(kM) ， 超導(dǎo)體自身的哈密頓量 HSC(k) ， 以及兩者的耦合項(xiàng)V在構(gòu)造時(shí) 均已滿足粒子-空穴對稱性. 由此不難證明

從而可見 H (kM) 確實(shí)滿足粒子-空穴對稱性， 在一般情形下屬于Altland-Zirnbauer對稱類[51]中的D類( P2=1 ).

依據(jù)對拓?fù)浞诸惖囊延兄R[4—6，9]， 可以基于H(kM) 來 定義拓?fù)洳蛔兞? 依賴于維度 DM， 拓?fù)洳蛔兞康亩x如下.

1) DM=0 . 這是傳統(tǒng)的YSR束縛態(tài)情形[13—15].H完全局域(不存在動量 kM)， 且 P HP-1=-H .拓 撲不變量 ν0∈2即為系統(tǒng)基態(tài)的費(fèi)米子奇偶性[1]，

其中Pf代表Pfaffian， U為使得 U?PU=K 的幺正矩陣， 而 K 代表復(fù)共軛. 這里易證U總是存在，且A為實(shí)的反對稱矩陣.

2) DM=1 . 這是一維磁性原子鏈的情形[18，23，24，29—31，33]. GM(E+，kM) 的 極 點(diǎn) 構(gòu) 成 一 維YSR能帶. H (kM) 在 kM=0，π (選取自然單位)兩處具有動量空間局域的對稱性: PH(kM=0，π)P-1=-H(kM=0，π) . 這類似于上面零維的情形. 拓?fù)洳?變量 ν1∈Z2即為這兩處費(fèi)米子奇偶性的異同[1]，

3) DM=2 . 這是二維磁性原子晶格的情形[25，28，34]. GM(E+，kM) 的極點(diǎn)構(gòu)成二維YSR能帶.拓?fù)洳蛔兞?ν2∈Z 即為對應(yīng)此二維能帶的陳數(shù)[25，28，52]，

其中 d SkM為布里淵區(qū)的積分面積元; Eb(kM) 和ub(kM) 為 H (kM) 的本征值和本征矢(b為不同本征矢的標(biāo)記， 對應(yīng)于“能帶”標(biāo)記). 注意 Eb(kM) 具有不依賴于 kM的確定符號(已經(jīng)假設(shè)零能處有能隙). 這里尤其需要注意的是 Eb(kM) 和 ub(kM) 并非真正的YSR能帶， 它們僅用于幫助計(jì)算拓?fù)洳蛔兞?ν2[50].

以上討論了一般性理論， 下面研究一些簡單的例子. 在這些例子中忽略除自旋外的其他內(nèi)部自由度. 因此， 耦合項(xiàng)成為常數(shù)(不妨設(shè)為實(shí)) v =vσ0，其中 σ0為對應(yīng)于自旋的單位矩陣; 時(shí)間反演算符可以寫為 T=iσ2K ; 使得 U?PU=K 的幺正矩陣可 以選為

考慮最簡單的三維超導(dǎo)體

其中 k ≡|k| . 以下再次分不同的維度 DM進(jìn)行討論.

零維YSR束縛態(tài)( DM=0 ) 這種情況下， 對所有的動量進(jìn)行積分， 得到[22]

其中 ρ 為超導(dǎo)體在正常態(tài)下費(fèi)米能處的態(tài)密度; τ和 σ 分別是對應(yīng)于粒子-空穴和自旋自由度的泡利矩陣. 由此

其中 G ≡πρv2通常被稱為耦合函數(shù)或線寬函數(shù).

假設(shè) h =εMσ3-μMσ0， 相應(yīng)的 HM=εMτ0σ3-μMτ3σ0， 則

此處及下文中在不產(chǎn)生歧義的情況下省略單位矩陣 σ0和 τ0. 注意在H中， 耦合函數(shù) G 等效地取代了Δ .

從 GM(E+) 的極點(diǎn)， 得到Y(jié)SR束縛態(tài)的能譜:

此處及下文中都假設(shè) G ?Δ . 上面的結(jié)果在μM=0 時(shí)退化為熟悉的形式[13—15]:

另一方面， 根據(jù)方程(15)， 從H得到對應(yīng)于系統(tǒng) 基態(tài)費(fèi)米子奇偶性的拓?fù)洳蛔兞?ν0:

這顯然與上面的YSR能譜自洽: 當(dāng) EYSR=0 時(shí)，ν0失去定義， 對應(yīng)于臨界點(diǎn). 從(27)式也可以看到， 當(dāng)磁性原子的自旋劈裂能量 | εM| 足夠大時(shí)， 只有一個(gè)自旋態(tài)被占據(jù)， 系統(tǒng)基態(tài)費(fèi)米子奇偶性為奇;但是增強(qiáng)超導(dǎo)體和磁性原子之間的耦合 G 可以導(dǎo)致這一奇偶性的反轉(zhuǎn).

一維YSR鏈( DM=1 ) 在這種情況下， 先對所有垂直于鏈的動量 k⊥進(jìn)行積分， 但是保留平行于 鏈的動量 k//作為參數(shù)， 得到[31]

這與方程(22)形式相同， 但是這里的(二維能帶)費(fèi)米面處的態(tài)密度 ρ 會依賴于 k//. 由此得到自 能

在一維鏈中假設(shè)

其中動能項(xiàng) ε0(kM) 是 kM的偶函數(shù)， 而自旋軌道耦合項(xiàng) εSO(kM) 是 kM的奇函數(shù)， 這兩項(xiàng)都滿足時(shí)間反演不變性. 注意在實(shí)際的物理體系中， 自旋軌道耦合項(xiàng)可以主要通過具有強(qiáng)自旋軌道耦合的超導(dǎo)體(例如鉛)經(jīng)由自能引入. 這里僅為簡單起見， 直接在磁性原子的哈密頓量中引入自旋軌道耦合.

進(jìn)一步， 磁性原子鏈的完全格林函數(shù)以及零能處 的“等效哈密頓量”為

從

GM(E+，kM)

的極點(diǎn)， 得到Y(jié)SR能帶的能譜(仍假 設(shè) ? k

M

:G(k

M

)?Δ )

[31]

:

這里在(33)式右側(cè)省略了P，εSO和 G 作為 kM的函數(shù)的標(biāo)記. 時(shí)間反演不變性要求 εSO(kM=0，π)=0， 因 此 只 要 假 設(shè) εSO(kM／=0，π)／= 0 (同 時(shí)G(kM)／=0 已經(jīng)由 G (kM)?Δ 所滿足)， 則YSR能帶只能在 kM=0 或 π 兩處閉合， 且閉合需滿足條件P(kM=0 或 π )=0 . 一旦能隙存在， 根據(jù)方程(17)從H (kM) 得 到拓?fù)洳蛔兞?ν1:

當(dāng) ν1=1 時(shí)， 一維YSR鏈處于拓?fù)浞瞧接瓜?很明顯， (35)式與我們對YSR能譜的分析就拓?fù)湎嘧兊呐R界條件而言是自洽的. 值得再次注意的是， 在 H (kM) 中 ， 耦合函數(shù) G 等效地取代了 Δ . 事實(shí)上， 正是這種等效替換使得拓?fù)涑瑢?dǎo)相中的馬約拉納零能模的衰減長度( ∝ 1/G )遠(yuǎn)小于超導(dǎo)相干長度( ∝ 1/Δ )[24，31，49].

二維YSR格子( DM=2 ) 類似于上面的計(jì)算， 先對垂直于二維格子的動量 k⊥進(jìn)行積分， 但是保 留平行于二維格子的動量 k//作為參數(shù)， 得到

這里的 ρ 為依賴于 k//的(一維能帶)費(fèi)米面處的態(tài)密 度. 由此得到自能

對二維磁性原子晶格假設(shè)

其中 σ//≡(σ1，σ2)， 而黑體的 ?SO亦代表一個(gè)二維矢量. 時(shí) 間 反 演 不 變 性 要 求 動 能項(xiàng) ε0(kM) 是 kM的偶 函 數(shù)， 而 自 旋 軌 道 耦 合 項(xiàng) ?SO(kM) 是 kM的 奇 函數(shù). 再次注意在實(shí)際的物理體系中， 自旋軌道耦合項(xiàng)更加可能主要通過具有強(qiáng)自旋軌道耦合的超導(dǎo)體經(jīng)自能引入. 這里直接在磁性原子的哈密頓量中加入自旋軌道耦合項(xiàng)僅為簡單起見.

這樣的二維磁性原子晶格的完全格林函數(shù)以及零能處的“等效哈密頓量”分別為

此處YSR能帶的能譜與方程(33)及(34)一致，僅需定義 εSO≡|?SO| ， 以及注意這里的動量為二維. 同樣類似于一維的情況， 只要假設(shè)在 kM∈TRIM≡{(0，0)，(0，π)，(π，0)，(π，π)} 之 外 εSO(kM)／=0 ，則YSR能帶只能在以上四處時(shí)間反演不變動量點(diǎn)閉合， 且閉合需滿足條件 P (kM∈TRIM)=0 . 如果能隙存在， 理論上可以根據(jù)方程(19)從 H (kM) 得到拓?fù)洳蛔兞?ν2. 但是在不對 ε0(kM) 和 ?SO(kM) 的函數(shù)形式做進(jìn)一步假設(shè)的前提下，ν2作為各參量的函數(shù)的閉合表達(dá)式很難寫出. 因此僅給出 ν2的奇偶性 判據(jù)[28]:

當(dāng) ν2為奇數(shù)時(shí)， 二維YSR晶格一定處于拓?fù)浞瞧接瓜? 拓?fù)淦接古c非平庸相之間的相變可以通過改變磁性原子的能帶 ε0(kM) 、化學(xué)勢 μM、自旋劈裂能 εM或耦合函數(shù) G (kM) 而實(shí)現(xiàn)[25，28].

通過以上的討論， 本文構(gòu)建了基于YSR態(tài)的拓?fù)涑瑢?dǎo)理論基本框架. 本文聚焦于(當(dāng) DM＞0時(shí))對YSR晶格體態(tài)的討論. 因?yàn)檫@是定義拓?fù)洳蛔兞康年P(guān)鍵， 但是沒有討論拓?fù)浞瞧接钩瑢?dǎo)態(tài)的直接產(chǎn)物， 也是拓?fù)涑瑢?dǎo)體最引人注目的特性: 馬約拉納零能模/邊界態(tài)[8，10，53，54]. 這一方面是因?yàn)轳R約拉納零能模/邊界態(tài)的存在性已經(jīng)可以由非平庸拓?fù)洳蛔兞客ㄟ^本體-邊界對應(yīng)原理[9]給出， 另一方面是因?yàn)轳R約拉納零能模/邊界態(tài)作為釘扎在缺陷上的特殊本征態(tài)， 其具體形式依賴模型細(xì)節(jié)， 從而不適于本文對通用性的考慮. 值得強(qiáng)調(diào)的是， 作為研究拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)的最主要動機(jī)之一， 拓?fù)淞孔佑?jì)算的進(jìn)展正是有賴于由馬約拉納零能模構(gòu)筑的拓?fù)淞孔颖忍匾约皩ζ涞?編織)操作[1，11，12，55]. 實(shí)現(xiàn)這些步驟， 包含提出切實(shí)可行的理論方案和提供沒有歧義的實(shí)驗(yàn)證據(jù)， 是當(dāng)前正待解決的問題. 另外，本文的理論假設(shè)忽略了至少兩個(gè)可能的重要額外因素: 電子相互作用和無序. 就前者而言， 已知相互作用的存在可以改變某些系統(tǒng)的拓?fù)浞诸怺56，57];就后者而言， 已知的一種有趣情形是， 即使磁性原子呈(二維)無定形排布， 它們?nèi)匀豢赡苷T導(dǎo)出非平庸拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)[32]. 另外， 對于考慮上面兩種額外因素后如何刻畫拓?fù)涑瑢?dǎo)(無論是否基于YSR態(tài))的細(xì)致深入研究也是需要努力的方向.

作者感謝Alex Weststr?m的有益討論. 作者希望以本文向Yu-Shiba-Rusinov中Yu(于淥)致敬——他于1965年同樣發(fā)表于《物理學(xué)報(bào)》的工作(引文[13])是本文理論的基石之一.