認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)探索?

趙慶林?

【摘 要】當(dāng)下 的數(shù) 學(xué)復(fù) 習(xí)課 主要 存在 四個(gè) 方面 的問 題，即重 知識(shí) 練習(xí) ，輕知 識(shí)遷 移;重點(diǎn) 狀突 破，輕結(jié)構(gòu)生成;重橫向整理，輕縱向聯(lián)結(jié);重教師引導(dǎo)，輕學(xué)生自主。認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課具有整體性、過程性、關(guān)聯(lián)性、延展性和主動(dòng)性等特點(diǎn)，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)注意做到整體把握，由點(diǎn)及體;建立關(guān)系，由 表及 里;學(xué)習(xí) 運(yùn)用 ，由靜 及動(dòng) ;結(jié)構(gòu) 思考 ，由此 及彼 。

【關(guān) 鍵詞 】數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 課;認(rèn)知 結(jié)構(gòu) ;結(jié)構(gòu) 性思 維;認(rèn)知 結(jié)構(gòu) 化

雖然關(guān)于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的界定有很多，但認(rèn)為個(gè)體頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)以及知識(shí)之間的聯(lián)系才是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征已成為大家的共識(shí)。所謂認(rèn)知結(jié)構(gòu)化，便是建立在這個(gè)共識(shí)基礎(chǔ)上，通過學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與知識(shí)結(jié)構(gòu)在有效的思維策略的支持下建立的雙向互動(dòng)的學(xué)習(xí)過程。而這實(shí)際上也是數(shù)學(xué)研究者關(guān)注的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性的具體體現(xiàn)。認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，需要教師以教育學(xué)、教育生態(tài)學(xué)、教育心理學(xué)為理論依據(jù)，站在系統(tǒng)的高度、結(jié)構(gòu)的角度審視、優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)，用系統(tǒng)的觀點(diǎn)、結(jié)構(gòu)化的思想來設(shè)計(jì)、組織課堂教學(xué)，使學(xué)生學(xué)習(xí)后能把知識(shí)與方法串成鏈、組成塊、結(jié)成網(wǎng)。本文對(duì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的現(xiàn)狀進(jìn)行分析，并嘗試從認(rèn)知結(jié)構(gòu)化的視角出發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課進(jìn)行討論與構(gòu)建，以期引發(fā)研究者的進(jìn)一步思考與探索。

一、當(dāng)下數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中常見的問題

1.重知識(shí)練習(xí)，輕知識(shí)遷移。這種現(xiàn)象比較常見，主要表現(xiàn)為教師就知識(shí)復(fù)習(xí)知識(shí)，就知識(shí)點(diǎn)練習(xí)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于知識(shí)內(nèi)在的邏輯與生成關(guān)注不夠，特別是對(duì)于知識(shí)本身所具有的正向遷移作用研究不夠，壓制了知識(shí)本身具有的生長(zhǎng)力，以至于轉(zhuǎn)換情境后學(xué)生便不能有效運(yùn)用知識(shí)解決類似或相關(guān)的問題。

2.重點(diǎn)狀突破，輕結(jié)構(gòu)生成。如教學(xué)蘇教版五上《多邊形的面積復(fù)習(xí)》一課時(shí)，有的教師引導(dǎo)學(xué)生就本單元學(xué)習(xí)的平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算進(jìn)行復(fù)習(xí)，并有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)，這些做法應(yīng)該說并無不妥，但對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育來說是不夠的。對(duì)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的培養(yǎng)來說，單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的突破是必要的，但在復(fù)習(xí)課中更要注重知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)生成，如長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積計(jì)算公式的演變及其之間的關(guān)系，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想與方法的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)。

3.重橫向整理，輕縱向聯(lián)結(jié)。如教學(xué)蘇教版五 上《解 決問 題的 策略 復(fù)習(xí) 》一課 時(shí)，教師 最常 見的回顧與整理思路是就本冊(cè)書解決問題的策略 即“一 一列 舉”進(jìn)行 練習(xí) 與反 思，雖然 通過 不同情境的轉(zhuǎn)換加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)“一一列舉”策略的認(rèn)識(shí)與技能提升，但如果僅僅停留于此，最多算是一種橫向整理，缺乏縱向聯(lián)結(jié)。所謂縱向聯(lián)結(jié)，就是教師在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“一一列舉”策略時(shí) ，需要 關(guān)注 學(xué)生 學(xué)過 的畫 圖、列表 等策 略，并將它們充分融入當(dāng)下的復(fù)習(xí)活動(dòng)中。

4.重教師引導(dǎo)，輕學(xué)生自主。這也是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中常見的現(xiàn)象，教師精心設(shè)計(jì)，強(qiáng)力引導(dǎo)，但對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性重視不夠。其實(shí)，復(fù)習(xí)課中最大的挑戰(zhàn)是問題來源于不同基礎(chǔ)的學(xué)生，解決這些問題靠單一的、統(tǒng)一的行動(dòng)步調(diào)是不現(xiàn)實(shí)的，這就需要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的自主性。

二、認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的內(nèi)涵與特點(diǎn)

在認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師要從結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)出發(fā)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，把零散的數(shù)學(xué)知識(shí)置于整體知識(shí)結(jié)構(gòu)中，從知識(shí)產(chǎn)生、演變的順序與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過程出發(fā)架構(gòu)課堂，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)經(jīng)歷整理、練習(xí) 、對(duì)比 、辨析 的過 程，在復(fù) 習(xí)過 程中 既注重知識(shí)練習(xí)又注重知識(shí)遷移，既注重點(diǎn)狀突破又注重結(jié)構(gòu)生成，既注重橫向整理又注重縱向聯(lián)結(jié)，既注重教師引導(dǎo)又注重學(xué)生自主，通過學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與知識(shí)結(jié)構(gòu)的有效聯(lián)結(jié)、互動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維。認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課主要有如下五個(gè)特點(diǎn)。

1.整體性。認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課不只關(guān)注單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)，更希望通過在知識(shí)點(diǎn)之間建立聯(lián)系來打通知識(shí)生長(zhǎng)的路徑，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生知識(shí)、能力、素養(yǎng)等方面的整體發(fā)展。在復(fù)習(xí)課上，教師不僅要看見由零散的知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，也要看見由經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)構(gòu)成的學(xué)習(xí)過程，還要看見由已知和未知構(gòu)成的方法路徑。如此，認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的整體性是一個(gè)復(fù)合性概念，它是由具有整體性的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、學(xué)習(xí)過程和方法路徑等構(gòu)成的更大的教學(xué)整體。

2.關(guān)聯(lián)性。美國(guó)教育學(xué)家布魯納在《教育過程》一書中指出：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！苯虒W(xué)其實(shí)就是教授和學(xué)習(xí)學(xué)科結(jié)構(gòu)。認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課不是單純地讓學(xué)生掌握事實(shí)和技巧，而是幫助學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，因而它強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)事物之間的關(guān)聯(lián)性。當(dāng)學(xué)生掌握了這些知識(shí)之間的聯(lián)系，在某種程度上也就有了認(rèn)識(shí)上的整體概念，這對(duì)于他們理解與掌握單個(gè)知識(shí)點(diǎn)來說又會(huì)起到很好的促進(jìn)作用。

3.過程性。認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課追求的是知識(shí)的聯(lián)結(jié)、關(guān)系的建構(gòu)以及思維的生長(zhǎng)。它的過程性主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面。從教師層面來說，主動(dòng)挖掘復(fù)習(xí)內(nèi)容背后的思想價(jià)值，站在更高處確立復(fù)習(xí)課的主題，厘清知識(shí)之間的關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)知識(shí)產(chǎn)生、演變的順序，并遵從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過程組織具體的復(fù)習(xí)過程;從學(xué)生層面來說，復(fù)習(xí)就是一個(gè)主動(dòng) 經(jīng)歷 知識(shí) 整理 、練習(xí) 、對(duì)比 、辨析 、反思 、領(lǐng)悟以及思維提升的過程。

4.延展性。延展性一定是從時(shí)間和空間兩個(gè)維度發(fā)生的。在時(shí)間維度，是指學(xué)習(xí)的過程不局限于課堂時(shí)間之內(nèi);在空間維度，是指學(xué)習(xí)的場(chǎng)域、主題、內(nèi)容等不局限于教室、教材等。認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的延展性最 終體 現(xiàn)在 學(xué)生 的知 識(shí)、能力 、思維 、素養(yǎng) 的提 升與發(fā)展方面。

5.主動(dòng)性。從學(xué)習(xí)性質(zhì)來說，認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)追求的是一種深度學(xué)習(xí)。澳大利亞墨爾本大學(xué)教授約翰·哈蒂在《可見的學(xué)習(xí)：對(duì)800多項(xiàng)關(guān)于學(xué)業(yè)成就的元分析的綜合報(bào)告》一書中寫道“：在深度學(xué)習(xí)中，主要關(guān)注關(guān)系加工、精細(xì)加工，使知識(shí)結(jié)構(gòu)化并嘗試超越單一的知識(shí)，形成思維框架，這需要計(jì)劃、組織、精加工和反思。與此相關(guān)的效用量高的教學(xué)策略是討論和提問、交互式教學(xué)等?！边@些效用高的教學(xué)策略都需要學(xué)生主動(dòng)參與而不是被動(dòng)接受。深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的激發(fā)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的深度參與。作為深度學(xué)習(xí)的一種方式，認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課在教學(xué)策略的選擇、課堂樣態(tài)的營(yíng)造等方面都離不開學(xué)生的主動(dòng)參與。

三、認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)策略

1.整體把握，由點(diǎn)及體。

認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課不是拋棄知識(shí)點(diǎn)單純追求結(jié)構(gòu)的復(fù)習(xí)，而是在整體視野下引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)擴(kuò)展到知識(shí)面，再?gòu)闹R(shí)面擴(kuò)展到知識(shí)體。教師的走向與學(xué)生的走向應(yīng)該是相反的，教師需要從知識(shí)體剖解到知識(shí)面，再?gòu)闹R(shí)面剖解到知識(shí)點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生整體把握。如教學(xué)蘇教版五上《多邊形的面積復(fù)習(xí)》，教師可以從思想層面、方法層面和經(jīng)歷層面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行整體把握，學(xué)生則從具體的經(jīng)歷、方法中感悟數(shù)學(xué)思想。具體來說，知識(shí)點(diǎn)分為已知點(diǎn)和未知點(diǎn)，從學(xué)習(xí)方法的視角來看，從已知到未知是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法;學(xué)習(xí)內(nèi)容分為單一圖形和組合圖形以及規(guī)則圖形和不規(guī)則圖形，從學(xué)習(xí)經(jīng)歷的視角來看，從單一到組合、從規(guī)則到不規(guī)則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本路徑。無論是學(xué)習(xí)方法還是學(xué)習(xí)路徑，都體現(xiàn)了由易到難的基本思想。

由上例可以看出，認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的整體把握、由點(diǎn)及體是一種教師與學(xué)生雙向互動(dòng)的建構(gòu)，其中的關(guān)鍵因素在于教師。

2.建立關(guān)系，由表及里。

如前所述，認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課倡導(dǎo)幫助學(xué)生建立關(guān)系、學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，因而學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就是建立關(guān)系的過程。對(duì)學(xué)生來說，從初識(shí)關(guān)系到加深關(guān)系甚至是重新發(fā)現(xiàn)與建立關(guān)系，主要依靠復(fù)習(xí)課來完成，對(duì)這個(gè)過程形象化的理解就是由表及里。以蘇教版四上《數(shù)的運(yùn)算復(fù)習(xí)》的教學(xué)為例，建立關(guān)系主要從三個(gè)層面進(jìn)行，首先是初步感知，呈現(xiàn)學(xué)生課前整理的相關(guān)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，讓學(xué)生初步感知和了解知識(shí)之間的關(guān)聯(lián);其次是問題引領(lǐng)，主要圍繞核心問題進(jìn)行討論，如“兩三位數(shù)除以兩位數(shù)和四則混合運(yùn)算有什么關(guān)系？口算和估算、筆算、驗(yàn)算之間有什么關(guān)系？你還發(fā)現(xiàn)哪些知識(shí)之間是有關(guān)系的？有什么樣的關(guān)系？”;最后是共同構(gòu)建，教師帶領(lǐng)學(xué)生共同回憶本學(xué)期學(xué)習(xí)的“數(shù)的運(yùn)算”的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，形成初步的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖和認(rèn)知地圖。

由上可知，由表及里建立關(guān)系，其一要發(fā)現(xiàn)相互關(guān)聯(lián)的事物，發(fā)現(xiàn)的主體是學(xué)生，教師的作用在于推動(dòng);其二要通過建立具有層次性的關(guān)系將認(rèn)識(shí)引向深入，而層次性正是良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特征之一，整體是由不同層次的要素組成的，這些不同要素之間的關(guān)系構(gòu)成了不同層次的認(rèn)識(shí)，也構(gòu)成了由表及里的基本路徑。

3.學(xué)習(xí)運(yùn)用，由靜及動(dòng)。

首先要厘清練習(xí)與運(yùn)用的區(qū)別，練習(xí)往往圍繞單一知識(shí)開展，運(yùn)用則需要調(diào)用更多的知識(shí)與方法、策略等，主要是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題，而不是被動(dòng)等待問題;其次要理解靜與動(dòng)的關(guān)系，認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課追求的“動(dòng)”是一種思維的生長(zhǎng)，而“靜”則是思維的停滯。因此，學(xué)習(xí)運(yùn)用，由靜及動(dòng)，即在知識(shí)的運(yùn)用中發(fā)展思維。以蘇教版二上《表內(nèi)乘法和表內(nèi)除法的復(fù)習(xí)》一課的教學(xué)為例，一是圍繞“平時(shí)錯(cuò)題”學(xué)習(xí)、運(yùn)用，讓學(xué)生收集自己容易出錯(cuò)的題目，并寫出正確的做法，重點(diǎn)是引發(fā)全體學(xué)生對(duì)相似問題的反思和討論。二是圍繞“自主編題”學(xué)習(xí)、運(yùn)用，重點(diǎn)是突出不同類型問題之間的關(guān)聯(lián)。三是圍繞“探究問題”學(xué)習(xí)、運(yùn)用，學(xué)生探究問題與他們的學(xué)習(xí)經(jīng)歷、經(jīng)驗(yàn)等緊密相關(guān)。探究問題主要有方法層面、知識(shí)層面、本源層面這三個(gè)層面，方法層面主要體現(xiàn)為學(xué)生對(duì)乘法口訣的理解與記憶;知識(shí)層面主要體現(xiàn)為學(xué)生對(duì)乘法口訣中規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與探究;本源層面主要體現(xiàn)為學(xué)生對(duì)乘法口訣來源及命名的好奇。對(duì)這些探究問題的分析與解決能夠強(qiáng)有力地驅(qū)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)。

認(rèn)知結(jié)構(gòu)化視角下，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的“運(yùn)用”更像是一種關(guān)系的驗(yàn)證、發(fā)現(xiàn)與重新構(gòu)建。這里的 關(guān)系 已經(jīng) 不局 限于 學(xué)校 范疇 ，而 是在 學(xué)生 的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、生活場(chǎng)域中不斷拓展。

4.結(jié)構(gòu)思考，由此及彼。結(jié)構(gòu)思考主要體現(xiàn)在延伸中，會(huì)滲透一些結(jié)構(gòu)性的思想，讓學(xué)生進(jìn)行結(jié)構(gòu)性思考，在數(shù)學(xué)問題解決策略方面形成一種結(jié)構(gòu)性意向。所謂由此及彼，是從碎片化思想、單一性思考不斷走向結(jié)構(gòu)性思想、結(jié)構(gòu)性思考乃至在問題解決中形成結(jié)構(gòu)性意向的過程。以上述多個(gè)復(fù)習(xí)課為例，在具體的問題解決過程中，需要引導(dǎo)學(xué)生從方法、策略、驗(yàn)證等方面建構(gòu)起解決問題的結(jié)構(gòu)性思維。而在反思環(huán)節(jié)，需要我們改變過去單一的或固化的教學(xué)方式，借助學(xué)生自己整理的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，結(jié)合學(xué)生復(fù)習(xí)的經(jīng)歷、體會(huì)和感悟，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生圍繞知識(shí)與知識(shí)之間的關(guān)系展開討論和交流，如“在復(fù)習(xí)過程中，你覺得哪些知識(shí)之間的聯(lián)系比較重要？為什么？從知識(shí)和知識(shí)之間的關(guān)系方面出發(fā)，猜想一下，我們還將遇到什么樣的問題？”，通過結(jié)構(gòu)性思考，重要的是發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的薄弱關(guān)系而不是薄弱知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而通過修復(fù)與強(qiáng)化知識(shí)之間的聯(lián)結(jié)改善學(xué)生的學(xué)習(xí)。

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