排風(fēng)隔熱墻的二維頻域模型研究

李遼 王勁柏 張沖 杜前洲 蔣詩寧

華中科技大學(xué)建筑環(huán)境與能源應(yīng)用工程系

0 引言

排風(fēng)隔熱墻[1-2]屬于新型的圍護結(jié)構(gòu)，其基本結(jié)構(gòu)圖如圖1 所示。從室內(nèi)側(cè)到室外側(cè)分別是多孔層，空腔層以及外結(jié)構(gòu)層。其工作原理是通過機械排風(fēng)或自然壓差使室內(nèi)排風(fēng)通過多孔層至空腔，最終排出至室外。從而可以利用排風(fēng)中的冷量減少墻體的冷負(fù)荷。

圖1 排風(fēng)隔熱墻結(jié)構(gòu)示意圖

為了對排風(fēng)隔熱墻進行高效而準(zhǔn)確的傳熱模擬及負(fù)荷計算，需要對排風(fēng)隔熱墻的傳熱計算模型進行研究。本文根據(jù)傅里葉變換[3]建立了排風(fēng)隔熱墻的二維頻域有限差分（FDFD）模型，并將該模型和排風(fēng)隔熱墻已有數(shù)值模型[1-2]（二維時域有限差分（FDTD）模型）進行了對比，以說明FDFD 模型的精度特點與效率提升。最后，分析了FDFD 模型離散數(shù)對模型精度的影響。

1 排風(fēng)隔熱墻的二維FDFD 模型

1.1 物理模型

排風(fēng)隔熱墻由多孔層，空腔層，外結(jié)構(gòu)層組成。其基本原理為：室內(nèi)排風(fēng)通過多孔層，空腔層排出，從而帶出從室外傳人室內(nèi)的熱量（或冷量），降低外墻體形成的空調(diào)負(fù)荷。為簡化其數(shù)學(xué)模型，對于排風(fēng)隔熱墻作出如下物理假設(shè)：

1）不考慮多孔材料和外層墻體材料在垂直方向的導(dǎo)熱。

2）不考慮空腔中的空氣與兩側(cè)壁面發(fā)生的輻射換熱，只考慮兩側(cè)壁面之間發(fā)生的輻射換熱。

3）墻體，多孔材料和空氣都作為均勻介質(zhì)來處理，物性參數(shù)恒定為常數(shù)。

4）空腔中的空氣作為不可壓縮流體處理，并且不考慮浮升力?？諝獾臐B透流速沿著多孔材料的厚度方向和高度方向是恒定的和均勻的，且假定氣流在流動過程中的濕度保持不變。

5）多孔材料內(nèi)的空氣與骨料達到瞬時熱平衡，兩者溫度相同。

其存在的物理過程主要有：室內(nèi)空氣和多孔層的對流換熱，室外空氣和外結(jié)構(gòu)層的對流換熱，空腔空氣與兩側(cè)壁的對流換熱。空腔兩側(cè)壁的輻射換熱。多孔層和外結(jié)構(gòu)層導(dǎo)熱。多孔層和空腔的空氣對流熱。

1.2 二維FDFD 模型

根據(jù)物理假設(shè)可建立排風(fēng)隔熱墻的二維FDTD模型[1-2]。在此基礎(chǔ)上引入溫度波的傅里葉級數(shù)分解可以推導(dǎo)出排風(fēng)隔熱墻的二維FDFD 模型。

對于一個以時間τ0為周期的溫度波t(τ)，可以分解為一系列頻率的正弦波的加和[3]，其復(fù)數(shù)形式表示如式（1）：

式中：dw稱之為溫度波的離散頻譜，和頻率w 有關(guān)的復(fù)數(shù)；，是虛數(shù)單位。

將式（1）應(yīng)用到二維FDTD 模型中，可以得到式（2）～（8）組成的二維FDFD 模型的方程組。在此，為了書寫方便，將式（1）中dw的下標(biāo)w 略去。

1）多孔層水平方向上離散為n 個節(jié)點，式（2）為內(nèi)節(jié)點方程。式（3）、（4）為邊界節(jié)點方程。

2）空腔豎直方向上離散為y 個節(jié)點，式（5）為其節(jié)點方程。

3）外結(jié)構(gòu)層水平方向上離散為m 個節(jié)點，式（6）為內(nèi)節(jié)點方程，式（7）、（8）為邊界節(jié)點方程。

式（2）～（8）中，引入了導(dǎo)熱系數(shù)和一些準(zhǔn)則數(shù)；其中，a=λ/ρc，Pe=ρacauΔxp/λp，Bi=hΔx/λ；其余參數(shù)的說明：ρ代表密度，kg/m3；c 代表比熱容，J/(kg·K)；λ 代表導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)；h 代表對流換熱系數(shù)，W/(m2·K)；Δx 代表水平方向相鄰節(jié)點距離，m；Δy 代表豎直方向相鄰節(jié)點距離，m；υ，υk分別為多孔層中空氣的滲流速度和空腔中第k 個節(jié)點的空氣流速，m/s。下標(biāo)(p,i)，(a,k)，(w,i)分別代表多孔層，空腔層，外結(jié)構(gòu)層各離散節(jié)點，下標(biāo)in,out 分別代表室內(nèi)溫度點，室外空氣綜合溫度點；下標(biāo)a，p，w 分別代表空氣，多孔材料，外層結(jié)構(gòu)；下標(biāo)pi，po，wi，wo，r 分別代表多孔層室內(nèi)側(cè)壁面及外側(cè)壁面，外層結(jié)構(gòu)內(nèi)側(cè)壁面及外側(cè)壁面，多孔層外壁面和外結(jié)構(gòu)層內(nèi)壁面的輻射換熱。

對于多孔層室內(nèi)側(cè)的對流換熱系數(shù)hpi取為5.26 W/(m2·K)[4]，外結(jié)構(gòu)層室外側(cè)對流換熱系數(shù)hwo取為23.26 W/(m2·K)[5]，空腔兩側(cè)的對流換熱系數(shù)hpo，hwi相等，均按式（9）計算[6]：

式（2）～（9）共同構(gòu)成了封閉的方程組，使某個頻率w 下的din，dout作為輸入，則通過二維FDFD 模型可以求出排風(fēng)隔熱墻各點對應(yīng)頻率w 下的溫度波分量。如果要求出排風(fēng)隔熱墻各點的溫度波響應(yīng)，則只需要把所有頻率下的溫度波分量按式（1）進行加和即可，具體的求解過程可見圖2。

圖2 時域溫度波響應(yīng)的求解流程

1.3 離散傅里葉變換（DFT）

在實際問題中，一般處理的不是連續(xù)溫度波，而是離散的溫度時間序列，這時可采用DFT 將周期離散溫度時間序列變?yōu)殡x散溫度頻率序列，采用tn(n=0,…,N-1)表示周期溫度時間序列，dk(k=0,…,N-1)表示頻率序列，DFT 與離散傅里葉逆變換（IDFT）如式（10），式（11）所示：

d0對應(yīng)的頻率分量為0 頻，dk(1≤k≤N/2)對應(yīng)的頻率為正頻率((2π/τ0)k)，而dk(k≥1+N/2)對應(yīng)的頻率為負(fù)頻率((2π/τ0)(k-N))；當(dāng)N 為偶數(shù)時，dk(k=N/2)對應(yīng)頻率代表著負(fù)頻率；當(dāng)N 為奇數(shù)時，dk(k=(N-1)/2)對應(yīng)頻率代表著最大的正頻率，dk(k=(N+1)/2)對應(yīng)頻率代表著最大的負(fù)頻率。

2 模型比較

將二維FDTD 模型和二維FDFD 模型（數(shù)值模型）進行比較，說明FDFD 模型的精度，計算效率以及其適用性。

2.1 模型參數(shù)條件說明

模型計算比較時取的物性參數(shù)如表1 所示，其中多孔層材料取的是玻璃纖維，外層結(jié)構(gòu)取的是粘土磚。對于排風(fēng)隔熱墻的尺寸參數(shù)，具體如表2 所示。排風(fēng)隔熱墻的滲透風(fēng)速取0.001 m/s。

表1 材料物性表

表2 尺寸參數(shù)表

取周期為24 h 的室內(nèi)外溫度波擾動，其具體如圖3 所示。室外溫度波的擾動參考了武漢夏季某一天的室外綜合溫度，室內(nèi)溫度波的擾動則為空調(diào)工況下的一天室內(nèi)溫度波動。

圖3 室內(nèi)外溫度波擾動

2.2 FDFD 模型精度比較

以經(jīng)過充分發(fā)展并且已得到驗證的FDTD 模型為參考對象[1-2]，說明FDFD 模型的精度特性。

如圖4 所示，表示的是根據(jù)上節(jié)所述條件，然后利用FDFD 模型和FDTD 模型計算出來的一天內(nèi)的排風(fēng)隔熱墻室內(nèi)熱流密度變化，其中q 的計算式如式（12）所示。

圖4 排風(fēng)隔熱墻熱流密度變化

如圖4 所示，可以看出，F(xiàn)DFD 模型和FDTD 模型的計算結(jié)果吻合非常好。進一步地可以匯出兩者的差異曲線，如圖5 所示?？梢钥吹?，最大差值也不超過0.1 W/m2，誤差非常小，說明FDFD 模型計算結(jié)果是可靠的。

圖5 兩模型熱流密度差異變化

值得說明的是，本次計算采用的節(jié)點離散數(shù)目分別是：多孔層內(nèi)離散節(jié)點數(shù)n=20，外結(jié)構(gòu)層離散節(jié)點數(shù)m=20，空腔豎直向離散節(jié)點數(shù)y=5。

2.3 FDFD 模型效率和計算輸入

FDFD 模型為計算帶來了效率上的巨大提升。以上面的計算為例，說明FDFD 模型和FDTD 模型計算時間上的差異。在處理器為Intel Core i5-7400 的計算機上，采用Python3 的編程環(huán)境進行計算，F(xiàn)DFD 模型相對于FDTD 模型在計算速度上快了約70 倍左右。

FDFD 模型相對于FDTD 模型的輸入條件有所不同。FDFD 模型需要周期性的溫度波輸入條件，并且無需初始條件。而FDTD 模型需要給定初始條件，和任意的溫度波邊界條件。

3 FDFD 模型離散特性

FDFD 模型計算速度受到模型的空間離散程度的影響，即多孔層內(nèi)離散節(jié)點數(shù)n，外結(jié)構(gòu)層離散節(jié)點數(shù)m 和空腔豎直向離散節(jié)點數(shù)y。如何在保證模型精度的條件下，盡可能地減小離散節(jié)點數(shù)n，m，y。并且如果模型精度得到保證，y 降低到1，F(xiàn)DFD 模型從二維退化成一維，則FDFD 模型可以得到大大簡化。

首先對多孔層離散節(jié)點數(shù)n 對模型結(jié)果的影響進行探究。這里，選取一天內(nèi)熱流密度變化的最大值作為模型結(jié)果進行比較。如圖6 所示，顯示的是n 分別取2，5，10，20，50，100 時的最大熱流密度。此時的m=20，y=5。

可以看到n=20 時最大熱流密度趨于穩(wěn)定，n=20是較為理想的節(jié)點數(shù)。換算成相應(yīng)的相鄰節(jié)點距離表示，即多孔層內(nèi)的相鄰節(jié)點距離1.58 mm 左右時模型結(jié)果較為理想。

類似地對m 作如上的分析，如圖7 所示，此時的n=20，y=5?？梢钥吹絤=10 時就可以保證足夠的精度。相應(yīng)的外結(jié)構(gòu)層的相鄰節(jié)點距離為22.22 mm 左右時，模型結(jié)果較為理想。

圖7 不同節(jié)點數(shù)m 下的最大熱流密度

圖8 不同節(jié)點數(shù)y 下的最大熱流密度

對y 分別取1，5，10，20，50，100 時，結(jié)果如圖8 所示。可以看到，即使y 取1，模型結(jié)果誤差也不會超過0.03 W/m2。說明二維FDFD 模型即使簡化成一維也不會對結(jié)果帶來太大的影響。

另外，多孔層的取的節(jié)點數(shù)目n 對模型結(jié)果影響最大，應(yīng)該多取一點。其次是外結(jié)構(gòu)層的節(jié)點數(shù)目m?？涨回Q直向的節(jié)點數(shù)目y 對結(jié)果影響最小，甚至可以簡化為一個，從而將二維模型變?yōu)橐痪S模型。

4 結(jié)論

本研究建立了排風(fēng)隔熱墻的二維FDFD 模型。然后將二維FDFD 模型和數(shù)值模型作了對比，說明其精度，計算效率和計算輸入特點。最后分析了二維FDFD模型的離散特性，得到了如下結(jié)論：

1）二維FDFD 模型和二維FDTD 模型相比具有足夠的精度，在本文的算例中，兩模型計算得到的熱流密度差異最大也不超過0.1 W/m2。

2）二維FDFD 模型相對于二維FDTD 模型計算速度得到了大幅度的提升。兩模型的輸入條件有所不同，F(xiàn)DFD 模型僅需要周期邊界條件，而FDTD 模型需要初始條件以及任意邊界條件。

3）多孔層的離散節(jié)點數(shù)目n 對二維FDFD 模型帶來的結(jié)果影響較大。外結(jié)構(gòu)層的離散節(jié)點數(shù)目m，空腔豎直向的離散節(jié)點數(shù)目y 對二維FDFD 模型的影響較小。

結(jié)果表明：本研究建立的排風(fēng)隔熱墻二維FDFD模型具有和傳統(tǒng)的數(shù)值模型具有幾乎一樣的準(zhǔn)確度，并且計算效率得到大幅度提升。