貝葉斯公式的應(yīng)用推廣

陳曉旭

(青島濱海學(xué)院，山東 青島 266500)

在概率論與統(tǒng)計學(xué)中，與頻率學(xué)派不同，貝葉斯定理是在確定某事件發(fā)生的概率時，加入了該事件歷史經(jīng)驗先驗概率，通過實踐結(jié)果不斷調(diào)整先前的認(rèn)知。

1 貝葉斯公式

假設(shè)A1，A2，…，An為事件樣本空間Ω的一個完備事件組(即一事件發(fā)生的所有可能的假設(shè))，結(jié)果發(fā)生為事件E，則：

公式中的P(Ai)為事件發(fā)生前的先驗概率，往往是主觀概率，而P(Ai/E)則為加入了結(jié)果之后的后驗概率，是對主觀概率的一種調(diào)整。

2 實際案例分析

例1：突發(fā)性疾病診斷。

新冠肺炎患者的診斷核酸檢測是目前主要參考，但不乏有患者數(shù)次檢測為陰性或者檢測為陽性卻沒有任何相關(guān)的癥狀表現(xiàn)。本例中采用貝葉斯公式，從數(shù)學(xué)角度分析核酸檢測的準(zhǔn)確率。

首先做以下假設(shè)：事件E為“核酸檢測呈陽性”；事件A為“患者確診患新冠肺炎”。99%的新冠肺炎患者能通過核酸檢測確診(這一數(shù)據(jù)是通過新聞以及相關(guān)數(shù)據(jù)通告估計)，誤診率為1%。

然而上式得出的確診概率非常低，與直覺認(rèn)為的99%確診率貌似相悖，原因是P(A)值計算為所有人群。因此，想要提高準(zhǔn)確度，可以將P(A)的值提高。方法有提高核酸檢驗條件，如出現(xiàn)某些臨床癥狀(咳嗽、胸悶、發(fā)燒等癥狀)時再做檢測，檢驗準(zhǔn)確度則會大大提高。假設(shè)在有相關(guān)癥狀的人群中確診率為P(A)=15%，則結(jié)果為P(A/E)=94.6%。配合胸部CT掃描，結(jié)果也會更加準(zhǔn)確。

因此，通過在檢測前對患者進(jìn)行初步診斷能夠有效提高核酸檢驗的準(zhǔn)確度。

例2：刑事偵查決策。

在未掌握完全信息的情況下，根據(jù)有限證據(jù)對嫌疑人做犯罪概率的推斷有時顯得尤為重要。假設(shè)有這樣一則案例，認(rèn)為嫌疑人甲有大約50%的把握犯罪。審訊過程中，尋得一位現(xiàn)場目擊證人，該證人肯定罪犯做事時為左撇子。若嫌疑人確實為左撇子，是否就可以認(rèn)定其為罪犯？若不能判定，則目擊證人提供的證據(jù)有多大價值？用貝葉斯定理的思路進(jìn)行分析：

模型中用到的初始概率p(A)其實為相對主觀的先驗概率，這一先驗概率的合理性也會直接影響后續(xù)的推斷，因此在假定先驗概率時，盡可能地客觀和考慮充分信息會使得模型更具有參考性。在避免案件誤判方面，貝葉斯的后驗概率也能提供更客觀的信息。在本例中，嫌疑人被中度懷疑的情況下，有線索表明罪犯為左撇子，若不假思索，則很容易陷入直覺誤區(qū)，繼而肯定此人確為罪犯。但實際的模型計算并沒有100%認(rèn)定這一點，可見主觀概率一定是不斷根據(jù)實踐經(jīng)驗修正才能更趨向于客觀。

例3：誠信度下降。

“烽火戲諸侯”的故事：從數(shù)學(xué)角度來講，諸侯對周幽王的信任度不斷下降，并且這個信任度可以量化。

第二次周幽王無故點燃烽火，這時用0.36代替原先的0.7，代入公式計算，得P(A/E)=0.12。可見諸侯對周幽王的信任已經(jīng)所剩無幾了。

從歷史故事中挖掘很多，像韓非子著作中的“三人成虎”的故事，用貝葉斯分析魏王對謠言從疑到信的背后理論；或者伊索寓言中狼來了的故事，代入估計概率模擬村民對小男孩的信任如何降到冰點[2]。

例4：投資風(fēng)險規(guī)避。

近期股市很多意外波動，很多人認(rèn)為經(jīng)濟(jì)危機(jī)又將會出現(xiàn)，有的公司在投資市場有很多算法預(yù)測股市漲跌。對于投資人，如何理性應(yīng)用各種理論模型避免誤判則尤為重要。以美股為例，歷史上大約2000個交易日出現(xiàn)一次股指單日下跌10%的狀態(tài)。假設(shè)目前已有算法預(yù)測大跌的概率達(dá)到90%，如投資人收到算法預(yù)警明天股市大跌，則是否選擇緊急拋售？

可見實際發(fā)生的概率非常低。如果每次都僅僅按照算法進(jìn)行操作則大多時候是誤判的。因為在歷史上，結(jié)果出現(xiàn)的可能性極低，為小概率事件，這就造成了歷史經(jīng)驗的欠缺。主觀概率在未經(jīng)實驗檢測的情況下準(zhǔn)確率往往存在較大偏差。

3 小結(jié)

本研究選取了4個典型的應(yīng)用案例，其中突發(fā)性疫情的診斷符合當(dāng)下的社會形勢，但由于精確數(shù)據(jù)的統(tǒng)計有很多的臨床復(fù)雜性，上述新冠肺炎的數(shù)據(jù)是根據(jù)新聞估算，存在不足之處。臨床研究中，可以對數(shù)據(jù)和假設(shè)做更多的調(diào)整優(yōu)化。案件偵破的線索價值判斷，可以結(jié)合專業(yè)領(lǐng)域更多的場景進(jìn)行推廣使用?！胺榛饝蛑T侯”的故事是現(xiàn)代人社會信用的量化模型，在信貸機(jī)構(gòu)或平臺有一定的使用價值，也可作為教學(xué)中案例探索，潛移默化影響學(xué)生，熟悉歷史典故，提高人文素養(yǎng)的同時，傳承和發(fā)揚(yáng)中華民族的誠信美德。投資誤判的規(guī)避可給普通投資人一些決策參考。在投資市場中，散戶常會加入一些決策群或者收到很多不可靠的內(nèi)參消息。參考上述思路，在分析時加入貝葉斯定理的后驗概率，要比人們憑直覺的先驗概率要更加明智。雖然無法每次都得到事件背后的充分信息，但從數(shù)學(xué)角度來講，已知的越多，就能為了解未知的東西提供更多的信息和方法支撐，這正是貝葉斯的通俗解釋。