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    一類帶有脈沖和時滯的相互干擾食餌-捕食模型的概周期解

    2020-06-28 11:51:38王利波徐瑰瑰
    凱里學(xué)院學(xué)報 2020年3期
    關(guān)鍵詞:定義系統(tǒng)

    王利波,徐瑰瑰

    (凱里學(xué)院,貴州凱里 556011)

    0 引言

    近年來,相互干擾的食餌-捕食模型吸引了許多學(xué)者的關(guān)注[1-6],其模型由Hassell[6]在1971年引入的,形式為:

    其中,x,y表示食餌,捕食者的人口密度,0<m<1為相互干擾系數(shù).

    現(xiàn)實中,由于模型的瞬時變化,使得脈沖系統(tǒng)能更加真實反映物種間的關(guān)系,所以,在文獻[7]中,作者研究了如下系統(tǒng)的持久性和全局吸引性:

    在上述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,在文獻[8]中,Wang等引入了時滯,使得系統(tǒng)變?yōu)椋?/p>

    作者研究了系統(tǒng)(2)的周期解、持久性和全局吸引性.但是,我們注意到在文獻[7-8]中假設(shè)脈沖條件滿足:(F)-1<dk≤0,-1<fk≤0.顯然,這是不合理的.另外,由于環(huán)境隨季節(jié)呈現(xiàn)的是非嚴(yán)格意義上的周期性變化,概周期性變化對描述自然界的變化規(guī)律更為準(zhǔn)確;因此,建立概周期生態(tài)系統(tǒng)對種群動力學(xué)行為進行研究更具有現(xiàn)實意義.因此,本文的目的之一是改變條件(F),研究如下系統(tǒng)的持久性及概周期解:

    其中,hik,i=1,2表示食餌、捕食者在t時刻的脈沖作用,脈沖時刻tk滿足0=t0<t1<t2<…,且=+∞,序列集,j∈Z為一致概周期的.在本文中我們假設(shè)hik>-1,i=1,2.ri(t),bi(t),ci(t),τ(t),σ(t),i=1,2為非負(fù)連續(xù)概周期函數(shù)有界函數(shù).顯然,系統(tǒng)(1)、(2)是系統(tǒng)(3)的特殊情況.

    1 預(yù)備知識

    設(shè)Rn是n維歐式空間,定義范數(shù)||x||=令I(lǐng)=,用I表示關(guān)于距離是無界且嚴(yán)格單增的所有序列集.令引入以下記法:

    PC(ξ0)為以點μ1,μ2,…∈[ξ0-ζ,ξ0]為第一類間斷點且在這些點左連續(xù)的函數(shù)φ:[ξ0-ζ,ξ0]→Ω的全體.

    對于J?R,PC(J,R)為J→R2上以點tk為第一類間斷點且左連續(xù)的分段連續(xù)函數(shù)的全體.

    令φ,φ∈PC(0),記x(t)=x(t;0,φ),y(t)=y(t;0,φ),x,y∈Ω為系統(tǒng)(3)滿足如下初值條件的解:

    設(shè)T,P∈I,s(T?P):I→I為使得s(T?P)是一個嚴(yán)格增序列的映射;若D?R且ε>0,則θε(D)={t+ε:t∈D},Fε(D)=?{θε(D):ε>0}.

    記φ=(φ(t),T)為空間PC×I的元素,對于實數(shù)序列{}αn,令θαnφ={φ(t-αn),T-αn}?PC×I,其中T-αn={tk-αn:k∈Z,n=1,2,…}.

    定義1[9]稱序列是一致概周期的,若對?ε>0,存在任何序列的ε-概周期的相對稠密集.

    定義2[9]函數(shù)φ∈PC(R,R)被稱為概周期函數(shù)是指:

    (2)對?ε>0,?δ>0使得若t′和t″屬于φ(t)的同一個連續(xù)區(qū)間,當(dāng)|t′-t″|<δ時,有|φ(t′)-φ(t″)|<ε.

    (3)對?ε>0,存在相對稠密集T,使得若η∈T,有|φ(t+η)-φ(t)|<ε,?t∈R,|t-tk|>ε,k∈Z成立.稱T的元素是ε-概周期的.

    引理1[9]序列為一致概周期的當(dāng)且僅當(dāng)每個無限平移序列{tkαn},k∈Z,n=1,2,…,αn∈R中有一個在I中收斂的子列.

    定義3[9]序列φn,φn=(φn(t),Tn)∈PC×I一致收斂到φ,φ=(φ(t),T)∈PC×I當(dāng)且僅當(dāng)對?ε>0,?n0>0使得當(dāng)n≥n0,t∈RFε(s(Tn?T))時,ρ(T,Tn)<ε,||φn(t)-φ(t)||<ε一致成立.

    定義4[9]稱φ∈PC為具有T中第一類間斷點的分段連續(xù)的概周期函數(shù),若對任一實數(shù)序列存在一子列{αn}使得θαnφ在PC×I上是緊的.

    引理2[9]令{tk}∈I,則存在一個正整數(shù)A,使得對于每個長度為1的區(qū)間,序列{}tk的元素個數(shù)不超過A,即i(s,t)≤A(t-s)+A,其中i(s,t)是區(qū)間(s,t)內(nèi)點tk的個數(shù).

    為方便行文,我們引入以下符號:

    其中f(t)是非負(fù)有界函數(shù).

    2 持久性

    引理3[10]假設(shè)x∈PC(R)在t=tk,(k∈Z+)處為間斷且是左連續(xù)的,若

    其中,f∈C(R×R,R),Ik∈(R,R),且Ik(x),(k∈Z+)關(guān)于x非減.設(shè)如下脈沖微分方程在[t0,∞)上存在最大解u?(t)

    則當(dāng)t≥t0時,由可得x(t)≤u?(t).

    注:如果引理3中不等式反號,u?(t)系統(tǒng)(4)在[t0,∞)上的最小解,則當(dāng)t≥t0時,由可得x(t)≥u?(t).

    引理4[11]假設(shè)a,b>0,對于如下脈沖方程:

    存在唯一全局漸進概周期解x?(t),且,其中A如引理2中定義

    利用上述引理的證明,不難證明:

    引理5假設(shè)a,b>0,對于如下脈沖方程:

    存在概周期解x?(t),且

    引理6假設(shè)a,b>0,0<m<1,對于如下脈沖方程:

    存在概周期解x?(t),且

    引理7假設(shè)a,b>0,對于如下脈沖方程:

    當(dāng)t≠tk,k∈Z+,考慮區(qū)間[t-τ(t),t),t∈(0,+∞),不妨設(shè)t1<t2<…<tj是[t-τ(t),t)內(nèi)的脈沖點,對不等式(9)從t-τ(t)到t積分,可得

    將上式代入(8)式可得

    利用引理3和引理4可得結(jié)論.

    引理8假設(shè)a,b>0,x(t)≤M,對于如下脈沖方程:

    證 有假設(shè)x(t)≤M,即對于?ε>0,存在T>0,當(dāng)t≥T,有x(t)≤M+ε.

    由(11)式,可得:

    定理1如果(H1)Δ1>0,Δ2>0成立,則系統(tǒng)(3)的每個解(x(t),y(t))T都滿足m1≤x(t)≤M1,m2≤y(t)≤M2.

    證由系統(tǒng)(3)可得

    3 全局吸引性

    定理2假設(shè)定理1成立,并且滿足以下條件:(1-σ′(t))>0,其中τ(t),σ(t)在[0,+∞)上連續(xù)可微;

    則系統(tǒng)(3)是全局吸引的.

    證:若(x(t),y(t))T,((t),(t))T是系統(tǒng)(3)的任意兩個正解,由定理1知,存在T0>0和正常數(shù)mi,Mi(i=1,2),使得:

    當(dāng)t≠tk,k∈Z+,由系統(tǒng)(3)的解,計算(16)式的右上導(dǎo)數(shù)得

    由于(H2)、(H3)可知對足夠大的T>T0,存在正常數(shù)p,q使得

    即系統(tǒng)(3)是全局吸引的,定理得證.

    4 概周期解

    令{sn}為任意整數(shù)序列,使得當(dāng)n→∞時,有sn→∞.如有必要取其一子列,對于t∈R有ri(t+

    σ(t+sn)→σ*(t).由引理1可知,當(dāng)n→∞時,序列集{tk-sn},k∈Z關(guān)于k∈Z一致收斂到序列

    則系統(tǒng)(3)的殼方程為:

    由概周期理論,可以得到如果系統(tǒng)(3)滿足條件(H1)-(H3),則系統(tǒng)(3)的殼方程(19)同樣滿足(H1)-(H3).

    由文獻[9]中的引理,容易得到如下引理.

    引理9若系統(tǒng)(3)的每個殼方程都有唯一嚴(yán)格正解,則系統(tǒng)(3)有唯一嚴(yán)格正概周期解.

    引理10若系統(tǒng)(3)滿足(H1)-(H3),則系統(tǒng)(3)存在唯一嚴(yán)格正概周期解.

    證:由引理9,我們僅需證明系統(tǒng)(3)的每一個殼方程都存在一個唯一嚴(yán)格正解即可.

    令xn(t)=x(t+sn),yn(t)=y(t+sn),對所有t≥-sn+T0,n=1,2,…,使得

    下面證明每一個殼方程(19)嚴(yán)格正解的唯一性.假設(shè)殼方程(19)有兩個任意嚴(yán)格正解(x(t),y(t))T,(x*(t),y*(t))T,其滿足

    類似定理2,定義Lyapunov泛函:V*(t)=

    其中

    D+V(t)≤-p|x(t)-(t)|-q|y(t)-(t)|,?t∈R.

    上式兩端從t到0積分,有

    注意到V*是有界的.因此

    對?ε0>0,存在正常數(shù)L使得max{|x(t)-x*(t)|,|y(t)-y*(t)|}<ε0,?t<-L.

    因此,對?t<-L有

    即存在正常數(shù)ρ使得V*(t)<ρε0,?t<-L.所以

    注意到V*(t)在R上是非增泛函,則V*(t)≡0.即x(t)=x*(t),y(t)=y*(t),?t∈R.

    因此,系統(tǒng)(3)的每一個殼方程都有唯一的嚴(yán)格正解.根據(jù)引理9,系統(tǒng)(3)有唯一全局漸進穩(wěn)定的正概周期解.

    由定理2和引理10,可得如下結(jié)論.

    定理3假設(shè)(H1)-(H3)成立,則系統(tǒng)(3)有唯一全局漸進穩(wěn)定的正概周期解.

    注1 定理3給出了系統(tǒng)(3)的全局漸進穩(wěn)定的正概周期解的充分條件.因此,定理3推廣了文獻[8]的相應(yīng)結(jié)論.

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