四階橢圓奇異擾動問題混合有限元方法

劉 凱，黃學(xué)海，王文慶

(1.溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035；2.溫州商學(xué)院，浙江溫州 325035)

對于四階橢圓奇異擾動問題，常用的方法是采用非協(xié)調(diào)有限元來近似求解[1-2]，而本文是選用混合有限元方法[3]來求解該類四階橢圓問題.在二十世紀(jì)七十年代，混合有限元方法是由Babuska和 Brezzi等[4-5]提出的，其基本思想是為了降低有限元空間光滑性，把高階方程通過引入中間變量降為低階的方程組.

我們首先建立了連續(xù) inf-sup條件，由此得到了四階橢圓奇異擾動問題混合變分形式的適定性.然后定義網(wǎng)格依賴范數(shù)，建立了離散 inf-sup條件，從而證明了四階橢圓奇異擾動問題Hellan-Herrmann-Johnson（HHJ）混合有限元方法解的存在唯一性.最后，對HHJ混合有限元方法進(jìn)行了誤差分析.

1 預(yù)備知識

設(shè)Ω??2為有界的多邊形區(qū)域，并記?Ω為邊界.本文討論具下列形式的四階橢圓奇異擾動問題[6-7]：

使得

混合有限元方法通常涉及兩個(gè)不同的空間，但這兩個(gè)空間并非任意選取，而需滿足一定的條件，即inf-sup條件.

證明：由文獻(xiàn)[8]中的定理2.6知，混合元方法的適定性等價(jià)于下列inf-sup條件：

2 離散問題

定義有限元空間[9-11]：

當(dāng) k ≥1, K ∈Th，空間Σh的局部自由度為：

空間Vh的局部自由度為：

對于混合變分形式（3） - （4），四階橢圓奇異擾動問題HHJ混合元方法為了

應(yīng)用分部積分，則有

定義網(wǎng)格依賴范數(shù)

下面證明離散inf-sup條件.為了證明離散inf-sup條件，作引理1與引理2的證明，進(jìn)而證得引理3，最后由文獻(xiàn)[8]中的定理2.6，證得離散inf-sup條件.

由

有

結(jié)合（8）式證得（7）式.

證明：由逆不等式得

由（9） - （10）式得證.

證明：由

得

結(jié)合引理1和引理2，引理3得證.

然后由文獻(xiàn)[8]中的定理2.6，有下列inf-sup條件：

3 誤差估計(jì)

為了求得HHJ混合元方法的誤差估計(jì)，定義下列幾個(gè)插值算子.

證明：運(yùn)用分部積分，得

最后應(yīng)用引理4得證.