構(gòu)造(2+1)維擴展淺水波方程的新奇精確解

劉卿君，查石友

(1.曲靖師范學(xué)院經(jīng)濟與管理學(xué)院，云南曲靖 655011；2.尋甸縣第一中學(xué)，云南尋甸 655200)

近幾十年來，各種非線性偏微分方程的孤子解受到了不同自然科學(xué)領(lǐng)域的廣泛關(guān)注，特別是孤子解可以提供一些有價值的信息來理解非線性物理現(xiàn)象及相應(yīng)的實驗結(jié)果.在孤子理論中，水波方程可以描述流體動力學(xué)、彈性介質(zhì)和等離子體中的一些現(xiàn)象.因此，很多學(xué)者對研究水波方程表現(xiàn)出極大的興趣.一般而言，直接求解諸如孤子方程的非線性偏微分方程的精確解是非常困難的.然而一些強有力的方法已經(jīng)被提出來尋找水波方程的精確解，目前主要有backlund變換[1]，Darboux變換[2]，Wronskian技巧[3]，Hirota直接方法[4-6]等.Hirota直接方法[6]是導(dǎo)出可積方程孤子解的一種有效方法.一旦一個可積方程可以轉(zhuǎn)換成雙線性形式，則可以成功考慮這個方程的可積性、N孤子解、backlund變換、拉克對和準周期波解.由Ryogo Hirota教授提出的“直接方法”[6]可以統(tǒng)一的用來解決各種各樣的非線性偏微分方程，該“直接方法”簡潔有效.為紀念 Ryogo Hirota教授的這項發(fā)明，該方法用作者的名字命名為“廣田方法”[6].近年來，利用 Hirota“直接方法”研究了一些孤子方程如下形式的lump解和線孤子解的相互作用[7-10]：

在海洋學(xué)和大氣科學(xué)中，淺水波方程用來描述水波傳播的模型.考慮(2+1)維擴展水波方程[11]：

這里， u =u(x,y,t )是 x,y,t的實函數(shù)，α是任意的實數(shù).當(dāng) α = 0時，方程（4）即是 Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程.通過Cole-Hopf變換獲得了方程（4）的多孤子解[11]，通過 ( G'/G)方法得到了行波解[12]，通過雙Bell多項式研究了Lax對、無窮守恒律[13].此外，利用Hirota雙線性方法得到了方程（4）含有任意函數(shù)φ( y )的Wronskian解、Pfaffian解、周期波解[14].本文借助符號計算軟件maple也獲得了方程（4）的一類含有任意函數(shù) (y φ)新奇精確解.

1 方程（4）的雙線性方程

通過相關(guān)變量變換[15]：

這里 f (x,y,t)是 x,y,t的實函數(shù)，φ ( y )是y任意實函數(shù).方程（4）變成雙線性方程：

這里雙線性導(dǎo)數(shù)D定義參見文獻[4].方程（6）等價于：

2 方程（4）的新奇精確解

條件1 選取測試函數(shù)：

代入（7）式得到：

（9）式代入（8）式得到：

（10）式代入（5）式得到方程（4）的第一類新奇精確解：

（11）式中取不同的任意函數(shù)(yφ)得到如圖1所示的三維動態(tài)圖.

圖1 方程（11）取不同的φ(y)和α=a1=a2=a4=t=1得到不同的三維動態(tài)圖

條件2選取測試函數(shù)：

代入（7）式得到：

（13）式代入（12）式得到：

（14）式代入（5）式得到方程（4）的第二類新奇精確解：

（15）式中取不同的任意函數(shù)(yφ)得到如圖2所示的三維動態(tài)圖.

圖2 方程（15）中取不同的φ (y)和α1==a2==a=a5==t=1,a4==a8==2得到不同類型的三維動態(tài)圖

條件3 選取測試函數(shù)：

代入（7）式得到：

（17）式代入（16）式和（5）式，得到方程（4）的第三類新奇解：

（18）式中取不同的任意函數(shù)(yφ) 得到如圖3所示的三維動態(tài)圖.

圖3 方程（18）中取不同的φ(y)和α1=a8=a=a9=t=1,a2=a4=a5=2得到不同類型的三維動態(tài)圖

條件4 選取測試函數(shù)：

代入（7）式得到：

（20）式代入（19）式得到：

（21）式代入（5）式得到方程（4）的第四類新奇精確解：

（22）式中取不同的任意函數(shù)(yφ)得到如圖4所示的三維動態(tài)圖.

3 結(jié) 論

圖4 方程（22）中取不同的φ(y)和得到不同類型的三維動態(tài)圖

本文基于雙線性方法，選取了幾個特殊的測試函數(shù)，得到(2+1)維擴展淺水波方程一類新解，這些解包含一個任意實函數(shù)φ ( y )，選擇特殊的函數(shù)φ ( y )得到了這些解的有趣的動態(tài)圖，特別地，從這些三維圖中可以看出圖1（a）、圖2（a）、圖3（a）、圖4（a）明顯受正弦周期函數(shù)sin(y )的的周期影響.此外，還可以選取與條件1 - 4不同的測試數(shù)會得到一類更豐富的解，有待進一步研究.