數(shù)學(xué)單元結(jié)構(gòu)教學(xué)的四種模式①

喻 平

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 210046)

雖然單元教學(xué)并不是一個新概念，但近年來，單元教學(xué)的文章不斷涌出，可謂是單元教學(xué)的時代復(fù)興.因為，它與發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教育旨趣有千絲萬縷的聯(lián)系，因而它必然會走到教學(xué)改革的前臺.

為什么指向發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)提倡單元教學(xué)？崔允漷教授說得比較直觀：學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)科教育之“家”，指學(xué)生學(xué)了本學(xué)科之后逐步形成的關(guān)鍵能力、必備品格與價值觀念.它意味著教學(xué)目標(biāo)的升級，而“逐個”知識點(diǎn)的“了解”“識記”“理解”等目標(biāo)從此退出歷史舞臺.新的教學(xué)目標(biāo)關(guān)注學(xué)生運(yùn)用知識做事、持續(xù)地做事、正確地做事，強(qiáng)調(diào)知識點(diǎn)從理解到應(yīng)用，重視知識點(diǎn)之間的聯(lián)結(jié)及其運(yùn)用.由此看來，學(xué)科核心素養(yǎng)的出臺倒逼教學(xué)設(shè)計的變革，教學(xué)設(shè)計要從設(shè)計一個知識點(diǎn)或課時轉(zhuǎn)變?yōu)樵O(shè)計一個大單元[1].

事實上，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成分難以在單個的知識點(diǎn)上表現(xiàn)出來，它往往隱藏在知識體系、知識結(jié)構(gòu)之中.例如，數(shù)學(xué)抽象是一個對象在另一個對象屬性基礎(chǔ)上的抽象過程，也就是說，只有在知識的聯(lián)系中才能有數(shù)學(xué)抽象過程，無他也無我，顯然，數(shù)學(xué)抽象離不開知識之間的聯(lián)系，離不開知識的體系.因此，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，就應(yīng)當(dāng)著眼于知識結(jié)構(gòu)的教學(xué)，這樣才利于素養(yǎng)的生成、發(fā)育和成長，其中，單元教學(xué)就應(yīng)當(dāng)是一種有效的教學(xué)方式，因為一個單元就是一個思想體系、方法體系、知識體系.

就數(shù)學(xué)單元教學(xué)而言，對發(fā)表的而且比較有代表性的文章作梳理，可以看到研究者主要關(guān)注幾個方面：(1)學(xué)理層面.單元教學(xué)設(shè)計的依據(jù)[2]、設(shè)計的策略[3]，單元教學(xué)設(shè)計的價值指向[4]，單元教學(xué)設(shè)計的路徑[5]，等等.單元教學(xué)設(shè)計層面的學(xué)理分析往往與當(dāng)下時髦的口號“核心素養(yǎng)”“深度學(xué)習(xí)”等密切相聯(lián).(2)概念層面.何為單元？何為單元知識結(jié)構(gòu)？[6]何為數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計的內(nèi)涵?[7]，事實上，幾乎每一篇單元教學(xué)的文章都會涉及這些問題，顯得討論有點(diǎn)喋喋不休.(3)設(shè)計層面.單元教學(xué)的結(jié)構(gòu)、操作流程等[7][8].(4)應(yīng)用層面.這類文章主要是針對具體的教學(xué)內(nèi)容來論述單元教學(xué)的具體設(shè)計和操作，作者多是來自中小學(xué)教師群體.

本文不論及單元教學(xué)形而上的宏觀層面問題，直接提出數(shù)學(xué)單元教學(xué)的四種模式，關(guān)注單元教學(xué)的可操作性，當(dāng)屬上述的“設(shè)計層面”和“應(yīng)用層面”之列.

1 以問題解決過程線索為主題的單元教學(xué)模式

1.1 基本結(jié)構(gòu)

以問題解決過程線索為主題組織單元，是指在解決問題的過程中可能會出現(xiàn)許多新問題，然后以這些新問題串為主線展開研究進(jìn)而產(chǎn)生新知識學(xué)習(xí)的單元教學(xué)設(shè)計.這種設(shè)計一般用于新授課的教學(xué).

數(shù)學(xué)中的許多概念、命題是由于解決問題的需要而產(chǎn)生和發(fā)展的.但是，教材的編寫往往考慮從知識的邏輯結(jié)構(gòu)來組織內(nèi)容，教材中的知識都是以結(jié)果的形式陳述，并不反映這個知識的產(chǎn)生過程.這樣的處理方式，往往使教材中知識展示的順序與歷史上產(chǎn)生這個知識的過程是相反的.以問題解決過程作為單元教學(xué)的主題，就是將其倒過來，從解決問題入手，分析可能產(chǎn)生的概念和命題，厘清知識產(chǎn)生緣由，還原知識形成的過程.

以問題解決過程線索組織單元的基本結(jié)構(gòu)見圖1.

圖1 以問題解決過程線索組織單元的教學(xué)程序

其教學(xué)過程是：①教師提出問題，也可以是教師引導(dǎo)學(xué)生提出問題.②在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生解決問題.③在解決問題的過程中，可能會分解出一系列新的子問題，而這些新問題是學(xué)生已具備的知識基礎(chǔ)無法解決的，于是引發(fā)出一些新的知識點(diǎn).教師梳理出新的知識點(diǎn)，設(shè)計學(xué)習(xí)序列.④分別學(xué)習(xí)新知識，這些新知識有先后順序，前面的知識是后面的基礎(chǔ).在新知識的學(xué)習(xí)過程中，會用到單元外學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的舊知識.⑤各個新知識學(xué)完之后，形成本單元的知識體系，并用新知識去解決原始問題和新的問題.

1.2 教學(xué)案例

案例1二次函數(shù)的單元教學(xué)設(shè)計

在《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)九年級(下)》[8]中.二次函數(shù)的內(nèi)容由二次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程、二次函數(shù)的應(yīng)用、數(shù)學(xué)活動等4個部分組成，并由這個順序展開.

如果采用單元設(shè)計，那么可以考慮以問題解決過程為主線來組織單元內(nèi)容.

首先，給出3個問題.

問題1：如圖，用20米的籬笆靠墻圍矩形菜地，當(dāng)矩形的長與寬各是多少米時其面積恰好為18m2.

問題2：如圖，用20米的籬笆靠墻圍矩形菜地，當(dāng)矩形的長與寬各是多少米時其矩形的面積最大？這個最大面積為多少平方米？

問題3：如圖，用20米的籬笆靠墻(限長8米)圍矩形菜地，當(dāng)矩形的長與寬各是多少米時其矩形的面積最大？這個最大面積為多少平方米？

籬笆問題

通常這一問題是在本單元的知識學(xué)習(xí)完后，放到二次函數(shù)的應(yīng)用一節(jié)中出示，因為這個問題的解決會用到二次函數(shù)的許多重要知識：配方法求最值、利用性質(zhì)求最值、求最值要考慮自變量的取值范圍、二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系等.現(xiàn)在把教學(xué)內(nèi)容的次序倒過來，先讓學(xué)生去解決這個問題，然后再引入知識.

問題1是一元二次方程應(yīng)用題，設(shè)籬笆的一條邊長為xm，得到(20-2x)x=18，解得x=9或x=1.這是一個二次方程問題，學(xué)生容易解決.

對于問題2，學(xué)生可能會嘗試用不同的方法解決.例如，可用枚舉法求解二元不定方程，設(shè)矩形面積為y，則y=(20-2x)x=20x-2x2.當(dāng)x=5時，矩形的面積最大為50m2.通過枚舉，還會發(fā)現(xiàn)在x=5兩邊取對稱值，y的值都相等(對研究函數(shù)的圖象有暗示作用).也可以通過列代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)它與二次方程很相似，于是試用二次方程配方求公式的方法來求得出答案.y=-2x2+20x=-2(x2-10x)=-2[(x-5)2-25]=-2(x-5)2+50，當(dāng)x=5時，最大面積為50.

對于問題3，用同樣的方法就不能解決問題了，因為籬笆靠墻的一邊有了長度不超過8m的限制，于是對x的取值范圍有了限制，要滿足0<20-2x≤8，即6≤x<10，因此x不能取5.此時，可以借助表格作取值分析，看到在x的取值范圍內(nèi)，y隨著x取值的變小而變大，于是，確定當(dāng)x=6時，面積y達(dá)到最大值為48m2.

在解決這個問題的過程中，出現(xiàn)了一系列要思考的問題：①遇到了一個以前沒有見過的函數(shù)y=-2x2+20x，這種函數(shù)與解決現(xiàn)實問題有關(guān)系，因此，我們應(yīng)當(dāng)研究這種函數(shù)；②與一次函數(shù)類比，這個新的函數(shù)會有什么性質(zhì)呢？這些性質(zhì)可能與解決上面的問題有關(guān)系；③與一次函數(shù)類比，這個新函數(shù)的圖象是什么樣子？函數(shù)的圖象可能與解決上面的問題有關(guān)系；④這種函數(shù)與一元二次方程太相似了，它們之間有什么關(guān)系？于是，以解決這個問題為主線，展開了研究這個單元知識的思路.

1.3 教學(xué)策略

(1)問題設(shè)計合理

問題應(yīng)當(dāng)盡量體現(xiàn)貫穿于整個單元的知識內(nèi)容.一個好的問題要能夠產(chǎn)生與將要學(xué)習(xí)的知識之間內(nèi)在的聯(lián)系，形成串聯(lián)單元知識的經(jīng)脈.同時，在問題的解決的過程中要能夠引發(fā)學(xué)生的思考，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī).

(2)明示單元內(nèi)容

單元教學(xué)的第一節(jié)課，通過問題引入和問題解決，教師要對產(chǎn)生的子問題進(jìn)行歸類，并指出要解決這些子問題可能涉及到的新知識，可以用有向概念圖給學(xué)生展示本單元的知識學(xué)習(xí)路徑，使學(xué)生對本單元的學(xué)習(xí)有一個明確的大目標(biāo).先有全景再學(xué)細(xì)節(jié)，先觀森林再見樹木，這種方式利于知識的同化和順應(yīng).

(3)不忘回溯起點(diǎn)

單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)源于問題，學(xué)習(xí)完單元的內(nèi)容之后，應(yīng)當(dāng)有一個回溯本源的環(huán)節(jié)，即回頭解決當(dāng)初的問題，并由這個問題引發(fā)出更加一般、更加廣泛的新的問題，運(yùn)用習(xí)得的系統(tǒng)單元知識去解決這些問題，這是一個前后照應(yīng)又不斷深化的教學(xué)過程.

2 以建立個體CPFS結(jié)構(gòu)為主題的單元教學(xué)模式

本文不對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論作詳細(xì)介紹，讀者可以參閱《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論與實踐》[10]，這里只是作一個簡單介紹.

個體的CPFS結(jié)構(gòu)是指數(shù)學(xué)知識在頭腦中的表征形式，分為概念域、概念系、命題域、命題系四種形式.具體地說，①如果個體頭腦中形成了關(guān)于某個概念C的所有等價定義結(jié)構(gòu)(稱這個結(jié)構(gòu)為圖式)，那么就稱這個個體形成了概念C的概念域(concept field).②如果個體頭腦中形成了關(guān)于某個概念C的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(網(wǎng)絡(luò)中概念之間存在強(qiáng)抽象、弱抽象、廣義抽象關(guān)系之一)，那么就稱這個個體形成了概念C的概念系(concept system).③如果個體頭腦中形成了關(guān)于某個命題P的所有等價命題圖式，那么就稱這個個體形成了命題P的命題域(proposition field)；④如果個體頭腦中形成了關(guān)于某個命題P的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(網(wǎng)絡(luò)中命題之間存在推出關(guān)系)；那么就稱這個個體形成了命題P的命題系(proposition system).將概念、命題、域、系四個英文單詞的第一個字母取出組成CPFS.

2.1 基本結(jié)構(gòu)

以建立CPFS為主題的單元教學(xué)設(shè)計，是指以某個概念為中心，探究并得到與這個概念等價或有抽象關(guān)系(強(qiáng)抽象、弱抽象、廣義抽象)的概念，或以某個命題為中心，探究并得到與這個命題等價或有推出關(guān)系的命題，并將這一組概念或命題用于解決一類問題的教學(xué)設(shè)計.這種設(shè)計一般用于復(fù)習(xí)課的單元教學(xué).

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成不能脫離數(shù)學(xué)問題解決，邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析都與解決數(shù)學(xué)問題息息相關(guān)、密不可分.基于此，以建立個體CPFS結(jié)構(gòu)為主題的單元教學(xué)應(yīng)當(dāng)是一種發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效教學(xué)模式.

以建立個體CPFS結(jié)構(gòu)為主題的單元教學(xué)設(shè)計，往往是突破了章節(jié)的限制，是對不同章節(jié)內(nèi)容的一種整合，這樣可以貫通知識之間的聯(lián)系，塑造學(xué)生完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

以建立個體CPFS結(jié)構(gòu)為主題的單元教學(xué)結(jié)構(gòu)1見圖2.

圖2

教學(xué)過程為：①某一章節(jié)的內(nèi)容學(xué)完后，或不同章節(jié)但內(nèi)容相近的學(xué)習(xí)結(jié)束后，由教師列出這些內(nèi)容中的相關(guān)概念或命題或典型的習(xí)題，這些概念、命題、習(xí)題之間有推出關(guān)系.②教師引導(dǎo)學(xué)生用推理的方法去尋找概念的等價定義、命題的等價命題.③師生共同梳理這些概念、命題、習(xí)題之間的關(guān)系，用有向圖表示出來，幫助學(xué)生形成完善的CPFS結(jié)構(gòu).

例如，平行線的判定與性質(zhì)學(xué)完后，可以組織一次單元教學(xué).三條性質(zhì)定理與三條判定定理分別互為逆命題，它們是滿足充要條件的，因此三條判定定理均可作為平行線的定義，它們之間是相互等價的，于是幫助學(xué)生形成平行線的概念域，同時三者又是等價命題，因而可形成命題域.

以建立個體CPFS結(jié)構(gòu)為主題的單元教學(xué)結(jié)構(gòu)2見圖3.

圖3 以建立CPFS結(jié)構(gòu)為主題的單元教學(xué)結(jié)構(gòu)2

教學(xué)過程為：①教師提出一個學(xué)習(xí)過的概念或命題，引導(dǎo)學(xué)生探究與這個概念或命題的等價概念或等價命題，再探討與這個概念存在強(qiáng)抽象、弱抽象、廣義抽象的概念，或探討與這個命題存在推出關(guān)系的命題，填寫知識結(jié)構(gòu)表.②教師展示事先設(shè)計好的、與學(xué)生要形成的CPFS結(jié)構(gòu)相關(guān)的一組問題.③師生共同解決問題.④教師引導(dǎo)學(xué)生反思，增補(bǔ)知識結(jié)構(gòu)表，促進(jìn)學(xué)生形成完善的CPFS結(jié)構(gòu).

在幾何學(xué)習(xí)中，可以按照問題的目標(biāo)進(jìn)行分類，這個目標(biāo)與一些概念或命題存在內(nèi)在聯(lián)系.例如，按照題目的結(jié)論可分為：證明線段相等問題，證明線段垂直問題，證明角相等問題，證明直線平行問題，證明異面直線垂直問題，證明平面平行問題，證明平面垂直問題……，然后圍繞與這些結(jié)論相關(guān)的概念和命題設(shè)計教學(xué).事實上，結(jié)果相同、條件各異的命題之間往往有內(nèi)在聯(lián)系，這種聯(lián)系體現(xiàn)在或者它們之間可以相互推出即等價關(guān)系，或者一個命題可以由其他命題推出，或者一個命題可以推出其他命題，如果學(xué)生形成了這一組命題的CPFS結(jié)構(gòu)，那么他們就能夠很快地在結(jié)果相同、條件各異的命題找到合適命題解決問題.

2.2 教學(xué)案例

案例2以“證明線段相等”為主題的單元教學(xué)設(shè)計.

這個問題的單元設(shè)計步驟：①組織學(xué)生回憶并梳理與證明線段相等的定理(包括定義)有哪些，用一個表格羅列出來.②建立這些知識點(diǎn)的概念圖.③教師精心設(shè)計題組進(jìn)行訓(xùn)練.

表1 平面幾何范圍內(nèi)與線段相等的部分命題

續(xù)表

事實上，這個例子反映的本質(zhì)也是培育學(xué)生頭腦中完整的CPFS結(jié)構(gòu)，即形成良好的概念域、概念系、命題域和命題系.個體的CPFS結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力生長的沃土，要保證沃土的優(yōu)良性，就應(yīng)當(dāng)不斷施肥，以問題解決的類型特質(zhì)作為單元主題教學(xué)，起到的就是施肥的功能和作用.

2.3 教學(xué)策略

(1)逐步完善結(jié)構(gòu)

開始列出的知識結(jié)構(gòu)表，不一定全面，可能是有遺漏的，目的是啟發(fā)學(xué)生來修補(bǔ)和完善，形成一個逐步生長的知識樹.同樣，方法表也采用逐步增添的方式，因為即使是問題目標(biāo)相同，解決問題的方法也可能大相庭徑.對知識結(jié)構(gòu)表的不斷完善，學(xué)生可以在“反思”階段進(jìn)行.

(2)精心設(shè)計題組

CPFS結(jié)構(gòu)形成涉及的概念或命題，它可能來自不同章節(jié)也可能涉及不同學(xué)段的內(nèi)容，因此，題目的選擇是綜合性、跨越性的問題.例如，與證明線段長度相等概念或命題可能來自平面幾何、立體幾何和解析幾何.教師在設(shè)計題目時，要眼界開闊，廣泛收集，精心組題.

(3)注重反思訓(xùn)練

教師要注意培養(yǎng)學(xué)生的反思意識，提高反思能力.反思包括對解決問題方法的反思，思考解題方法的合理性，思考是否還有更好的方法；對問題本身的反思，思考問題是否可以變式，是否可以推廣；對解決問題要用到的知識的反思，思考解決這個問題除了用知識點(diǎn)一，還能用知識點(diǎn)二嗎？等等.

3 以概念生長作為主題的單元教學(xué)模式

3.1 基本結(jié)構(gòu)

以概念生長作為主題的單元教學(xué)，是指由概念生長新的概念或命題為主線貫穿單元來組織知識學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計.這種設(shè)計可以用于新授課也可以用于復(fù)習(xí)課.有些概念的“出度”較大，可稱為核心概念，這種概念的基本性程度高，由它可以生長出其他概念.

核心概念的生長有兩層涵義.

第一，概念C本身是一個基本概念，它自身不具有生長性，但是，隨著情境的不同、研究對象所處的結(jié)構(gòu)不同，由概念C導(dǎo)出了更多的概念和命題，此時我們也將其理解為概念C是一種生長過程.例如，在幾何中“平行”和“相等”是兩個核心概念，如果討論平面上三條直線的位置關(guān)系，利用平行和相等概念可以刻畫平行線的判定和性質(zhì)定理.如果討論四條直線的位置關(guān)系，那么可以刻畫四邊形的相關(guān)性質(zhì)：兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形；有且只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形.而且，由平行和相等的概念，可以導(dǎo)出平行四邊形及梯形的若干性質(zhì)，再由此進(jìn)一步引申出菱形、矩形、正方形、等腰梯形等概念和命題.“平行”和“相等”是兩個基本概念，它本身沒有生長，但隨著圖形的生長體現(xiàn)出它們自身也在“生長”，它們往往是兩個存在數(shù)學(xué)抽象關(guān)系的概念之間的連接詞，是對數(shù)學(xué)抽象關(guān)系的具體刻畫.

第二，通過擴(kuò)大和縮小核心概念C的外延和內(nèi)涵，產(chǎn)生了一些與概念C密切相關(guān)的新的概念，此時我們說概念C得到了生長.也就是說，如果兩個概念之間是強(qiáng)抽象關(guān)系或弱抽象關(guān)系，那么后一個概念都是前一個概念的生長結(jié)果.其實，從這個意義上說，數(shù)學(xué)領(lǐng)域中研究的許多問題都是概念生長的問題.函數(shù)到連續(xù)函數(shù)到可微函數(shù)；平行四邊形到菱形到正方形；全等三角形到相似三角形到位似三角形等等，均是概念生長過程.

以概念生長為主題組織單元的教學(xué)結(jié)構(gòu)見圖4.

圖4 以核心概念發(fā)展為主題組織單元的教學(xué)結(jié)構(gòu)

教學(xué)過程為：①教師展示事先設(shè)計好的概念發(fā)展有向概念圖，給學(xué)生明示本單元要學(xué)習(xí)的內(nèi)容和路徑.②在概念圖中選擇路徑1，研究由路徑1產(chǎn)生的一組性質(zhì)(記為S1)，然后教師舉例，學(xué)生練習(xí)，教師小結(jié).③回到有向概念圖，選擇路徑2，研究由路徑2產(chǎn)生的一組性質(zhì)(S2)，在這個過程中，可能會用路徑2中的一些元素，得到性質(zhì)S2時也可能會用到性質(zhì)S1.然后教師舉例，學(xué)生練習(xí)，教師小結(jié).④回到有向概念圖，循環(huán)這個過程，直到把有向概念圖中的所有路徑都走完.完成單元學(xué)習(xí).

要說明兩點(diǎn)：

第一，路徑是指有向概念圖中起點(diǎn)到終點(diǎn)的所有路.例如，圖5是四邊形單元的概念圖，其路徑有4條：①四邊形→平行四邊形→矩形→正方形；②四邊形→平行四邊形→菱形→正方形；③四邊形→梯形→等腰梯形；④四邊形→梯形→直角梯形.

圖5 四邊形的單元有向概念圖

第二，在有向概念圖中，路徑的生成有兩種方式.一是由原始概念本身產(chǎn)生，即兩條路徑都起源于原始概念，例如圖5中的路徑①和路徑③.二是后一條路徑由前面某些路徑生成的概念而生成，或者由前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過的一組概念去生成，也包括原始概念.例如圖4中的路徑②，此時菱形的概念并不需要回到四邊形這個原始概念，只需從平行四邊形作為起點(diǎn)即可.

3.2 教學(xué)案例

案例3以“函數(shù)奇偶性的圖象對稱性概念”為主題的教學(xué)設(shè)計.

整個教學(xué)圍繞下面概念生長過程為主線展開.

定義：在定義域內(nèi)，如果f(-x)=f(x)，那么f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱；如果f(-x)=-f(x)，那么f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.

這是偶函數(shù)和奇函數(shù)的定義或性質(zhì)，現(xiàn)以這兩個性質(zhì)為生長點(diǎn)去引申出其他相關(guān)函數(shù)的性質(zhì).因為如果函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，那么將自變量x換成它的相反數(shù)，其函數(shù)值不變.所以f(x)的圖像必然關(guān)于y軸對稱.

思考：①y軸的方程應(yīng)當(dāng)怎么表達(dá)？ ②由偶函數(shù)的圖像關(guān)于x=0對稱，你能聯(lián)想到什么？是否存在圖像關(guān)于x=m(m∈R)對稱的函數(shù)？你能舉出這類函數(shù)的實例？

思考：除了二次函數(shù)之外，是否還有具有這一性質(zhì)的其他函數(shù)？

思考：這類函數(shù)的圖像存在共性，那么它們的函數(shù)表達(dá)式也必然有共性，你能否根據(jù)偶函數(shù)的定義去找出這種共性.

這里體現(xiàn)了一種類比引申，由f(-x)=f(x)?f(0-x)=f(0+x)，容易猜想出命題；學(xué)生也可以從具體的函數(shù)去觀察，歸納出命題.

命題1：如果在定義域內(nèi)，恒有f(m+x)=f(m-x)，那么函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=m對稱.

思考：你能證明這個命題嗎？

證明：設(shè)點(diǎn)P(x,f(x))是函數(shù)f(x)圖像上任意一點(diǎn)，則P關(guān)于直線x=m的對稱點(diǎn)為P′(2m-x,f(x)).由于f(2m-x)=f(m+(m-x))=f(m-(m-x))=f(x)，所以點(diǎn)P′也在函數(shù)f(x)的圖像上.因此，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=m對稱.

思考：在命題1中，函數(shù)f(x)滿足的方程為f(m+x)=f(m-x)，即左右兩邊均含同一個數(shù)m，你能否改變這一條件而得到一個更一般的結(jié)論嗎？

思考：能否參照命題1和命題2的產(chǎn)生過程，作為類比，奇函數(shù)的概念也能推廣嗎？

由學(xué)生去探索，發(fā)現(xiàn)并證明下面兩個命題.

命題3：在定義域內(nèi)，如果對任意的x，滿足f(m+x)=-f(m-x)，那么函數(shù)f(x)在圖像關(guān)于點(diǎn)M(m,0)成中心對稱.

在此基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步去探討與兩個函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)，得到如下若干命題：

命題5：函數(shù)y=f(m+x)與函數(shù)y=f(m-x)的圖像關(guān)于直線x=0對稱.

命題7：函數(shù)y=f(m+x)與函數(shù)y=-f(m-x)的圖像關(guān)于直線原點(diǎn)成中心對稱.

有了上面命題之后，可以組織一組題目進(jìn)行練習(xí).

這個例子充分體現(xiàn)出奇函數(shù)和偶函數(shù)概念的生長過程，表現(xiàn)出整個教學(xué)的探究過程，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理能力.

3.3 教學(xué)策略

(1)分支推進(jìn)策略

分支推進(jìn)的意思是在概念圖中，從一級概念開始，選擇每一條路徑依次教學(xué)，例如，圖5中，依次選擇路徑①、②、③、④進(jìn)行教學(xué).如果路徑有重復(fù)部分，就不用再回到路徑的起點(diǎn)，從重復(fù)部分的末點(diǎn)作為教學(xué)的起點(diǎn).在圖5中，路徑①走完之后，路徑②就以“平行四邊形”為起點(diǎn).

分支推進(jìn)策略與奧蘇伯爾提出的“不斷分化”教學(xué)原則是一致和同含義的.

(2)橫向貫通策略

概念圖一般是一種樹狀結(jié)構(gòu)，但知識點(diǎn)之間往往有縱向關(guān)系，概念圖很少揭示知識之間的橫向關(guān)系，因此，在教學(xué)中要認(rèn)真分析，如果兩個概念有橫向聯(lián)系，就應(yīng)當(dāng)將其聯(lián)系起來.橫向聯(lián)系有的可能是直接的，有的可能是間接的，如果間接關(guān)系，就可考慮用知識點(diǎn)將兩個概念聯(lián)系起來，這個知識點(diǎn)往往是兩個對象所共同具有的性質(zhì).例如，圖5中.平行四邊形與梯形之間，可以用中位線定理聯(lián)系兩者；矩形和菱形有共同的性質(zhì)：中心對稱圖形；矩形和等腰梯形有共同性質(zhì)：對角線相等.

橫向貫通可以使知識結(jié)構(gòu)更加完善，這一策略與奧蘇伯爾提出的“綜合貫通”教學(xué)原則殊途同歸.

4 以數(shù)學(xué)思想方法解決問題為主題的單元教學(xué)模式

4.1 基本結(jié)構(gòu)

以數(shù)學(xué)思想方法解決問題作為主題組織單元，是指以解決問題的某種思想方法為主線來組織單元內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計.其實與我們平時所說的“多題一解”如出一轍，即用一種方法解決不同類型的問題.這種單元設(shè)計適合于復(fù)習(xí)課.

波利亞構(gòu)建的幾個典型解題模型：雙軌跡模式、笛卡爾模式、遞歸模式、疊加模式[11]，其實就是以數(shù)學(xué)方法為骨架來建構(gòu)的，可以為單元教學(xué)設(shè)計提供參考.

以數(shù)學(xué)思想方法解決問題為主題組織單元的教學(xué)結(jié)構(gòu)如圖6.

圖6 以數(shù)學(xué)思想方法解決問題為主題組織單元的教學(xué)結(jié)構(gòu)

教學(xué)過程為：①對所學(xué)過的內(nèi)容，綜合考慮，選擇可以貫穿這些學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)思想方法作為單元設(shè)計的骨架.②圍繞選定的思想方法，精心設(shè)計一組題目，題目可以是不同章節(jié)、不同領(lǐng)域的問題.③教師出示問題，并組織學(xué)生采用獨(dú)立方式或合作討論方式去解決問題，教師再作歸納、提煉、小結(jié).接著提出第二個問題，采用相同程序解決問題.④一組題目解決結(jié)束后，組織學(xué)生對這一組問題的解決過程進(jìn)行反思，總結(jié)這類問題解決的共同規(guī)律，加深對數(shù)學(xué)思想方法的理解.

4.2 教學(xué)案例

案例4以“方程思想方法解決問題”為主題的單元設(shè)計.

這個設(shè)計的關(guān)鍵是要組織一組題目，它們都可以用方程思想來思考，用方程方法解決問題.下面是一組這類題目.

題1：設(shè)a，b，c為實數(shù).求證：(b-2a+c)2≥3(a-2b+c)(a-c).

分析：觀察要證明的結(jié)論，它的結(jié)構(gòu)有點(diǎn)像一元二次方程類別式.嘗試構(gòu)造如下方程：

(a-2b+c)x2-2(b-2a+c)x+3(a-c)

=0,

當(dāng)a-2b+c≠0時，這是一個一元二次方程，易見x=-1是它的一個實數(shù)根，所以判別式Δ≥0，故結(jié)論成立.當(dāng)a-2b+c=0時，結(jié)論顯然成立.

分析：已知條件可改寫為

稍作變形，已知條件又可改寫為

由韋達(dá)定理的逆定理知道a，b，c是方程x3-x2+mx-m=0的三個根.而x=1顯然是其中一個根，故知a，b，c中至少有一個是1.

題3：已知一等差數(shù)列前k，l，m項的和分別是Sk，St，Sm.求證：

分析：把已知條件按等差數(shù)列求和公式寫出，可以得到

其中a1，d分別為等差數(shù)列的首項和公差.

聯(lián)想到線性方程組，可以看出2a1，d，-2是齊次線性方程組

的一個非零解，由齊次線性方程組的性質(zhì)立即可得結(jié)論.

圖7

題4：如圖7，已知P是正方形ABCD外接圓上任意一點(diǎn).求證：

(2)PA·PC=PB2-AB2.

觀察發(fā)現(xiàn)待證明的兩個式子的左邊與韋達(dá)定理的形式相近，那么是否可以構(gòu)造出這樣的一元二次方程呢？

注意到∠APB=45°，在△APB中，由余弦定理，得

AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos45°，

①

在△PBC中，也有

BC2=PC2+PB2-2PC·PBcos45°，

由BC=AB，得

②

①和②說明，當(dāng)PA≠PC時，PA，PC是方程

的兩個根，

當(dāng)PA=PC時(即P點(diǎn)與D點(diǎn)重合)，

可知PA=PC=AB，結(jié)論也成立.

題5：在△ABC中.求證：cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.

分析：此題若用三角公式變形，運(yùn)算會比較復(fù)雜.構(gòu)造一個方程

x2+2xcosBcosC+cos2B+cos2C-1=0，

①

則根的判別式

Δ=4cos2Bcos2C-4(cos2B+cos2C-1)

=4(1-cos2B)(1-cos2C)=4sin2Bsin2C

因此方程①的根為

x=-cosBcosC±sinBsinC=-cos(B±C).

取其中的一個根x=-cos(B+C)=cosA代入，既得cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.

上面5道題目，以方程思想方法為主線，組成一個單元教學(xué)，把代數(shù)、幾何、三角等不同領(lǐng)域的問題用方程思想方法串聯(lián)起來，可以起到完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

4.3 教學(xué)策略

(1)鼓勵學(xué)生講解

教師給出任務(wù)，學(xué)生完成任務(wù)，選擇解答問題出現(xiàn)錯誤的學(xué)生和解答問題優(yōu)秀的學(xué)生上講臺，講解自己的解題過程，教師和同學(xué)共同評判，讓大家共同分析產(chǎn)生錯誤的原因，學(xué)習(xí)優(yōu)異的解題思路，同時可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流的能力.

(2)形成方法體系

在“回顧反思總結(jié)規(guī)律”環(huán)節(jié)，教師要分析這組題目的共性，為什么它們能夠被統(tǒng)攝在一種思想方法之下，其特點(diǎn)和規(guī)律是什么，突出數(shù)學(xué)思想方法的價值與功能，讓數(shù)學(xué)思想方法深入學(xué)生心靈，而不僅僅是為了掌握一些知識.要強(qiáng)調(diào)的是，思想方法也包括一些解題的技巧，但解題技巧不是主流，思想方法層面更高、更普適，它與發(fā)展核心素養(yǎng)密切相關(guān).