經(jīng)歷建模過程感悟模型思想

鄭圣發(fā)

基于小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求，小學(xué)的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)應(yīng)從實(shí)際生活原型或現(xiàn)實(shí)背景出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷觀察、操作、比較、分析、概括等思維活動(dòng)，嘗試用代數(shù)式、關(guān)系式等數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)表征數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解釋和解決相應(yīng)的實(shí)際問題，初步形成模型思想，幫助學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。

一、激活生活經(jīng)驗(yàn)，整體感知數(shù)學(xué)模型

教學(xué)要選取學(xué)生熟悉的生活素材，創(chuàng)設(shè)具有現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)情境，激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生抽象形成數(shù)學(xué)問題，多維度驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)學(xué)生整體感知數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)數(shù)學(xué)建模搭建拾級(jí)而上的階梯。如在教學(xué)“植樹問題”這節(jié)課時(shí)，有如下片斷——

師：知道這節(jié)課我們要研究什么嗎？

生：植樹問題。

師：看到這個(gè)課題你想到了什么？植樹問題是不是植樹的問題？認(rèn)為植樹問題就是植樹的問題的請(qǐng)舉手，認(rèn)為植樹問題不是植樹的問題的請(qǐng)舉手，還有兩次都沒舉手的同學(xué)，是不是不太確定？

師：到底植樹問題是不是植樹的問題呢？隨著我們的探究，相信同學(xué)們會(huì)有更全面、更深刻的認(rèn)識(shí)。

開門見山，直奔主題的教學(xué)導(dǎo)入，看似簡(jiǎn)單實(shí)則富有辯證意味的“植樹問題是不是植樹的問題”的問題，引發(fā)了學(xué)生的思辨活動(dòng)。不僅把學(xué)生的注意力快速聚焦到了學(xué)習(xí)活動(dòng)中，還營(yíng)造了輕松愉悅的課堂氛圍，讓學(xué)生自由表達(dá)對(duì)“植樹問題”的理解，培養(yǎng)了學(xué)生的思辨能力。

師：學(xué)校為了美化校園，向全校師生發(fā)出了一個(gè)方案征集啟事，我們來看一看。

方案征集啟事

學(xué)校為了美化校園，決定對(duì)校園東側(cè)進(jìn)一步綠化，誠(chéng)邀同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)植樹方案（要求附后），擇優(yōu)采用。

××學(xué)校后勤處

××年×月×日

要求：請(qǐng)?jiān)谛@東側(cè)全長(zhǎng)300米的小路一邊，每隔5米種一棵柳樹，設(shè)計(jì)一份植樹方案。

師：從這份要求上，你能獲得哪些數(shù)學(xué)信息？

生：小路的全長(zhǎng)300米，在路的一邊植樹，每隔5米種一棵。

師：每隔5米種一棵什么意思呢？請(qǐng)用你喜歡的方法說明你的理解。

師：你準(zhǔn)備如何設(shè)計(jì)植樹的方案呢？先獨(dú)立思考，想一想、畫一畫，再跟你小組的同學(xué)議一議，看看能否設(shè)計(jì)出不同的方案。

師：請(qǐng)小組派出代表展示設(shè)計(jì)方案。

方案1：兩端都種 ;方案2：頭種尾不種;

方案3：尾種頭不種;方案4：兩端都不種。

師：比較上面的四個(gè)方案，你還有什么補(bǔ)充的？

生：頭種尾不種和尾種頭不種，可以看作只種一端。

基于現(xiàn)實(shí)背景的方案征集活動(dòng)，喚醒了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生直面數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)，思考方案中可能有幾種情形，每種情形如何表征，這些情形可以分為幾種不同類型等。有的學(xué)生想到一種，有的想到兩種或更多，在小組討論和集體評(píng)議中形成了兩端都種、只種一端、兩端都不種三種不同情形的共識(shí)。讓學(xué)生自主根據(jù)問題可能的類型分門別類地思考并解決了問題，從整體入手，結(jié)構(gòu)化感知植樹問題的數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)數(shù)學(xué)建模夯實(shí)基礎(chǔ)。

二、聚焦 “種子” 模型，數(shù)形結(jié)合初建模型

如果把棵數(shù)看作點(diǎn)的個(gè)數(shù)，間隔數(shù)看作線段的條數(shù)，植樹問題的三種不同情形，本質(zhì)上都可以抽象成“點(diǎn)與段”的對(duì)應(yīng)關(guān)系：只種一端時(shí)，點(diǎn)與段一一對(duì)應(yīng);兩端都種時(shí)點(diǎn)比段多1;兩端都不種時(shí)點(diǎn)比段少1。一一對(duì)應(yīng)思想學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已有多次的感悟，只種一端的情形，點(diǎn)與段正好一一對(duì)應(yīng)，無疑為“種子”模型，抓住主干，著力構(gòu)建。如在教學(xué)“植樹問題”這節(jié)課時(shí)，有如下片斷——

師：這三種方案分別要準(zhǔn)備多少棵樹苗呢？我們先重點(diǎn)研究只種一端的情形。

師：全長(zhǎng)300米的小路一邊，按照每隔5米種一棵柳樹，只種一端，一共要多少棵樹苗？大膽地猜一猜。

生：60棵，61棵，62棵，59棵。

師：有不同的猜測(cè)，說明有不同的理解，那么到底是多少棵呢？可以用什么方法來驗(yàn)證？

生：畫圖，我們用一條線段表示300米的小路，每隔5米栽一棵，每隔5米栽一棵，照這樣一棵一棵栽下去，很麻煩。

師：那怎么辦呢？

生：從300米中選擇一小段來研究，看看有沒有規(guī)律。

師：是的，從簡(jiǎn)單情形入手尋找規(guī)律來解決問題，就把一個(gè)復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單了。請(qǐng)自由選擇一小段進(jìn)行研究吧。

師：觀察比較我們研究出的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：雖然小路的長(zhǎng)度不一樣，種樹的棵數(shù)也不相同，但是每次種數(shù)的棵樹和間隔數(shù)相同。

師：通過這些數(shù)據(jù)能確定得出的結(jié)論是正確的嗎？是不是要舉出更多的例子？你能解釋為什么棵數(shù)剛好等于間隔數(shù)嗎？

生：不用舉更多的例子也能說明只種一端時(shí)棵數(shù)和間隔數(shù)肯定相等。請(qǐng)看這個(gè)圖，一棵樹一個(gè)間隔，一棵樹一個(gè)間隔，如此下去，剛好一一對(duì)應(yīng)，最后還是一棵樹一個(gè)間隔，所以只種一端時(shí)，棵數(shù)和間隔數(shù)是相等的。

師：一棵樹對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，像這樣數(shù)的方法在數(shù)學(xué)上叫作一一對(duì)應(yīng)。你們能用“一一對(duì)應(yīng)”的方法向你的同桌說一說嗎？

師：我們用一一對(duì)應(yīng)的方法數(shù)出30米的小路一共栽了6棵樹。你能用算式把想法表示出來嗎？

生：30÷5=6（棵），30米長(zhǎng)的小路，每5米種一棵，一共有6個(gè)間隔，只種一端，一個(gè)間隔對(duì)應(yīng)一棵樹，6個(gè)間隔就是種6棵樹。

師：結(jié)合線段圖想一想，在只種一端的情況下，棵數(shù)與間隔數(shù)之間有什么關(guān)系？

生：在只種一端的情況下，棵數(shù)等于間隔數(shù)。

以“只種一端”作為切入點(diǎn)，避免了“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”不一致的干擾，學(xué)生的思維自然聚焦到“點(diǎn)與段”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系上，這樣就順應(yīng)了學(xué)生已有的思維經(jīng)驗(yàn)，使他們借助數(shù)形結(jié)合建立起了“棵數(shù)=間隔數(shù)”的數(shù)學(xué)模型。

三、應(yīng)用數(shù)學(xué)推理，類推完善數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)是推理，推理應(yīng)貫徹于教學(xué)的始終?？梢岳谩胺N子”模型的生長(zhǎng)力，類推出另外兩個(gè)模型，以完善數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力。如在教學(xué)“植樹問題”這節(jié)課時(shí)，有如下片斷——

師：通過前面的研究，我們知道了只栽一端時(shí)棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系可以用關(guān)系式“棵數(shù)=間隔數(shù)”表示。想一想，另外的兩種情況，棵數(shù)和間隔數(shù)之間有什么關(guān)系呢？

生：兩端都種，棵數(shù)=間隔數(shù)+1;兩端都不種，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

師：能說說你是怎么想的嗎？

生：兩端都種時(shí)，一棵樹對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，如此下去，最后一棵樹沒有間隔可以對(duì)應(yīng)了，這樣就多了一棵樹。所以兩端都種，棵樹=間隔數(shù)+1。

生：兩端都不種時(shí)，一個(gè)間隔對(duì)應(yīng)一棵樹，如此下去，最后一個(gè)間隔沒有樹可以對(duì)應(yīng)了，這樣就多了一個(gè)間隔。所以兩端都不種，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

以只種一端“棵數(shù)=間隔數(shù)”為“種子”模型，引導(dǎo)學(xué)生類推構(gòu)建兩端都種，棵數(shù)比間隔數(shù)多1，兩端都不種，棵數(shù)比間隔數(shù)少1，自然地生長(zhǎng)出了“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”和“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”兩種模型。這樣就從整體架構(gòu)入手，打破了教材分散安排的三種模型逐一學(xué)習(xí)的形式，以結(jié)構(gòu)化的思想建構(gòu)了植樹模型，有利于學(xué)生更深刻地理解植樹問題的本質(zhì)。

四、回歸實(shí)際生活，解釋應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型不是最終目的，學(xué)會(huì)解釋、應(yīng)用模型才是真正目的。因此，教學(xué)中要重視設(shè)計(jì)與相應(yīng)模型同構(gòu)的問題情境，讓學(xué)生嘗試應(yīng)用模型分析和解決實(shí)際生活問題，以促進(jìn)同一類數(shù)學(xué)問題之間的模型融通。如在教學(xué)“植樹問題”這節(jié)課時(shí)，我先出示了兩道例題：

1.學(xué)校兩座教學(xué)樓之間的距離是40米，如果每隔5米種一棵樹，一共要種多少棵樹？

2.馬拉松比賽全程約42千米，平均每3千米設(shè)置一處飲水點(diǎn)（起點(diǎn)不設(shè)，終點(diǎn)設(shè)）。全程一共有多少處這樣的服務(wù)點(diǎn)？

接下來的教學(xué)中，有如下片段——

師：第2題還是植樹的問題嗎？怎么解決？

生：可以看作植樹問題，用兩端都不種的植樹問題關(guān)系式就能解答。

師：請(qǐng)問你眼中的樹是指什么？

生：飲水點(diǎn)可以看作樹，兩個(gè)飲水點(diǎn)之間是一個(gè)間隔。

師：今天學(xué)的是“植樹問題”，做完這道題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我感覺植樹問題不一定只和植樹有關(guān)。

師：看來，植樹問題并不只是植樹的問題，生活中還有很多問題和植樹問題相似，請(qǐng)大家找找下面圖片中的 “樹”分別在哪里？

（課件逐一呈現(xiàn)：盧溝橋的獅子，地鐵運(yùn)營(yíng)?？柯肪€圖，男生襯衣的紐扣，一條打了結(jié)的繩子。）

生：橋上的獅子可以看作“樹”;地鐵站可以看作“樹”;襯衣的紐扣可以看作“樹”;繩子上的結(jié)可以看作“樹”。

師：你們都有一雙慧眼，現(xiàn)在請(qǐng)聽播放鬧鐘敲鐘的聲音，你還能找到“樹”嗎？

生：每一個(gè)鐘聲都可以看作“樹”。

然后，我又出示了第三道例題：

3.植樹節(jié)到了，學(xué)校計(jì)劃組織五年級(jí)4個(gè)班的同學(xué)參加植樹活動(dòng)，每個(gè)班分到50棵樹苗，買樹苗共用了5000元，請(qǐng)問每棵樹苗多少元？

師：做完這道題，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生：這道題其實(shí)不是今天學(xué)的植樹問題，雖然跟植樹有關(guān)，但數(shù)量關(guān)系不同。

師：看來有關(guān)植樹的問題不一定就是植樹問題。

通過設(shè)置富有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)問題，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)植樹問題數(shù)學(xué)模型的理解和感悟。第1題是植樹模型在實(shí)際生活中的直接應(yīng)用，起到了鞏固新知的作用;第2題雖然沒有講植樹，但與植樹問題有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以抽象成點(diǎn)與段之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立“點(diǎn)與段”的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的變通能力。通過生動(dòng)的畫面重現(xiàn)，從真實(shí)的樹到虛擬的樹，從看得見的樹到看不見的樹，把植樹問題拓展到相應(yīng)的一類問題，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)“植樹問題不只是植樹的問題”，培養(yǎng)了學(xué)生透過現(xiàn)象揭示本質(zhì)的洞察能力，使他們體會(huì)到了模型思想的應(yīng)用價(jià)值。第3題，意在讓學(xué)生體會(huì)“并非有關(guān)植樹的問題都是植樹問題”，注重引導(dǎo)學(xué)生感悟并判斷：數(shù)學(xué)問題的模型，不是看內(nèi)容情境，而是看數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。

課題項(xiàng)目：本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年立項(xiàng)課題“核心素養(yǎng)背景下小學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的研究”相關(guān)成果。課題號(hào)FJJKGG19-080。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）