中學(xué)物理中“質(zhì)量為零”類問(wèn)題賞析

李俊永 王長(zhǎng)江

摘 要：在中學(xué)物理力學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到一些理想化條件下的試題，文章就“質(zhì)量為零”類問(wèn)題進(jìn)行了分析與梳理，從解題認(rèn)識(shí)論的角度進(jìn)行探討賞析.

關(guān)鍵詞：“質(zhì)量為零”類問(wèn)題;中學(xué)物理;力學(xué)教學(xué)

中學(xué)物理力學(xué)習(xí)題課中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一類習(xí)題，該種類型的習(xí)題往往會(huì)刻意提示某種力學(xué)桿件為輕質(zhì)桿件，或者提示力學(xué)系統(tǒng)中某裝置或某部分裝置的質(zhì)量忽略不計(jì)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生處理這類問(wèn)題困難較大，既然發(fā)現(xiàn)了這樣的現(xiàn)象，筆者覺(jué)得很有必要對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行整理歸類、分析，學(xué)海探玉以饗同行.

1 了解“質(zhì)量為零”及“質(zhì)量為零”類問(wèn)題

將客觀的物理世界或研究對(duì)象進(jìn)行理想化處理是物理學(xué)研究經(jīng)常采用的方法，可以說(shuō)沒(méi)有研究對(duì)象的理想化就沒(méi)有物理學(xué)，所謂質(zhì)量為零，并非指研究對(duì)象的質(zhì)量真的為零，而是相較于研究系統(tǒng)中的其它對(duì)象，該研究對(duì)象的質(zhì)量很小達(dá)到了可以被忽略不計(jì)的程度.因此“質(zhì)量為零”是比較法下的理想化處理，它是一種為簡(jiǎn)化問(wèn)題而特別引入的物理學(xué)術(shù)語(yǔ).比如，中學(xué)物理教材或教輔資料中提及的“輕繩”“輕桿”“輕環(huán)”“輕彈簧”等就屬于這種情形，圍繞這些理想化模型而設(shè)計(jì)的各種物理學(xué)問(wèn)題就屬于“質(zhì)量為零”類問(wèn)題.

“質(zhì)量為零”類問(wèn)題作為一類經(jīng)典，廣泛存在于各種試題當(dāng)中，關(guān)于它們的討論常見(jiàn)于中學(xué)物理教學(xué)研究期刊.之所以出現(xiàn)諸多討論，說(shuō)明中學(xué)物理界對(duì)該類問(wèn)題的認(rèn)識(shí)具有模糊性以及該類問(wèn)題在解決途徑上具有復(fù)雜性，筆者的教學(xué)實(shí)踐也證明了這一點(diǎn).當(dāng)學(xué)生在解決該類問(wèn)題時(shí)常常思維混亂，表現(xiàn)在各種認(rèn)識(shí)看似都對(duì)但卻不能拿出有效的證據(jù)進(jìn)行證明.為此筆者梳理了四類典型“質(zhì)量為零”問(wèn)題進(jìn)行研究賞析.

2 “質(zhì)量為零”類問(wèn)題分類研究與賞析

2.1 “質(zhì)量為零”——輕彈簧問(wèn)題

眾所周知，輕彈簧意指彈簧的質(zhì)量可以忽略不計(jì)，該類模型的典型性不言而喻，它常與牛頓第二定律的瞬時(shí)性問(wèn)題相伴相隨，由此也演變出了千變?nèi)f化的經(jīng)典試題，下面先從一道高考試題說(shuō)起.

例1 （1987，廣東卷）如圖1所示，一重物m懸掛在彈簧下，再用一細(xì)繩固定在天花板上，整個(gè)裝置平衡靜止后，用火焰燒斷細(xì)繩.在繩斷開的瞬間，m的加速度為a（忽略彈簧質(zhì)量和空氣阻力），則（ ）.

A.a

B.a=g，方向向下

C.a>g，方向向下

D.a

關(guān)于本題的解析有兩種說(shuō)法.

第一種，整體分析法，因?yàn)檩p彈簧無(wú)質(zhì)量，無(wú)慣性，當(dāng)把輕繩燒斷后將輕彈簧和重物看作整體，該整體僅受到重力，則重物部分的加速度等于整體加速度，即a=g，方向向下，B選項(xiàng)正確.

第二種，假設(shè)輕彈簧上下兩端所受之力分別為F1、F2，當(dāng)輕繩被剪斷之后，對(duì)彈簧而言可列出牛頓第二定律的表達(dá)式F1-F2=m0a，假設(shè)m0為彈簧的質(zhì)量，因?yàn)閺椈少|(zhì)量m0=0，可以得到F1=F2，因剪斷細(xì)繩之后彈簧上端的力F1變?yōu)?，則F2也變?yōu)?，由此得到彈簧和重物之間的力瞬間消失，重物僅受重力，則重物的加速度為g，方向向下，選B.

關(guān)于本題也有學(xué)生認(rèn)為重物的重力加速度應(yīng)為0，理由是在剪斷細(xì)繩的瞬間彈簧只能夠發(fā)生漸變不能發(fā)生突變，因而剪斷細(xì)繩前后重物的受力狀態(tài)沒(méi)有發(fā)生改變.

那么問(wèn)題來(lái)了，究竟那種解釋正確呢？作為教師需要對(duì)此進(jìn)行深入的研究，否則不可能幫助學(xué)生在這三種解釋中做出正確的判斷.王志成老師在相關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上[1-3]，對(duì)“輕彈簧彈性勢(shì)能憑空消失”作了深度分析，給出了重物重力加速度為0的完美解釋[4]，王老師認(rèn)為燒斷細(xì)繩的瞬間，彈簧上方的彈力突然消失，由于慣性導(dǎo)致組成彈簧的每一個(gè)小環(huán)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并不相同，上方彈簧會(huì)發(fā)生微小收縮，從而使整個(gè)彈簧的質(zhì)心有微小的下移，從而重物與彈簧形成的系統(tǒng)質(zhì)心也會(huì)下移，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，整體的質(zhì)心加速度為g，單就重物而言，由于慣性的存在，彈簧要發(fā)生漸變，則重物的重力加速度為0.

賞析 第一、二種解法錯(cuò)誤的根源在于未能注意到輕彈簧“質(zhì)量為零”成立的條件同時(shí)教材也沒(méi)有說(shuō)明這個(gè)成立條件是什么，卻在整體法、部分法的使用上無(wú)懈可擊，這是學(xué)生不能解釋的根本原因.上述文獻(xiàn)對(duì)該原因的重視，正確地解決了輕彈簧“質(zhì)量為零”成立的條件，也為本題背景下彈簧只能發(fā)生漸變不能突變的事實(shí)找到了理論根據(jù)，為重物的加速度為0找到了堅(jiān)實(shí)的證據(jù).就思維來(lái)講，錯(cuò)解在一定程度上發(fā)展了學(xué)生的發(fā)散思維，這并沒(méi)有什么壞處，更為重要的是通過(guò)兩種錯(cuò)解與正解的對(duì)比能夠讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)得到升華，會(huì)對(duì)該類問(wèn)題的解法產(chǎn)生較全面的理解，完整呈現(xiàn)這幾種解法會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，既有利于培養(yǎng)思維的深刻性，又發(fā)展了學(xué)生的對(duì)比思維與辯證思維.

2.2 “質(zhì)量為零”——輕滑輪問(wèn)題

輕滑輪類問(wèn)題，需要緊緊把握好輕滑輪質(zhì)量為零的特點(diǎn)，這種題型經(jīng)常表現(xiàn)出新、奇的特點(diǎn)，學(xué)生不易把握.

例2 物塊A和物塊B的質(zhì)量分別為4m和m，開始A、B均靜止，細(xì)繩拉直，在豎直向上拉力F=6mg作用下，動(dòng)滑輪豎直向上加速運(yùn)動(dòng).已知?jiǎng)踊嗁|(zhì)量忽略不計(jì)，動(dòng)滑輪半徑很小，不考慮繩與滑輪之間的摩擦，細(xì)繩足夠長(zhǎng).在滑輪向上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物塊A和B的加速度分別為（ ）.

A.aA=1 2g，aB=5g

B.aA=aB=1 5g

C.aA=1 4g，aB=3g

D.aA=0，aB=2g

關(guān)于此題，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生中出現(xiàn)了兩種典型的錯(cuò)誤.

錯(cuò)誤1 學(xué)生認(rèn)為滑輪向上加速運(yùn)動(dòng)，就順手寫出了F-mAg-mBg=（mA+mB）a.

錯(cuò)誤2 學(xué)生錯(cuò)誤地將地面對(duì)物塊的彈力也考慮進(jìn)了方程中，具體寫法是F-mAg+NA-mBg+NB=（mA+mB）a.

這兩種錯(cuò)誤都表明了學(xué)生思維品質(zhì)差，正是這樣的原因?qū)W生不能正確地判明每一個(gè)物塊具體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從而在解法上套用公式，誤把錯(cuò)解當(dāng)正解.

正解 設(shè)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，細(xì)繩的拉力為T，滑輪的質(zhì)量為m0，滑輪的加速度為a，則取滑輪為研究對(duì)象可得：F-2T=m0a，因m0=0，故可得2T=F，即T=3mg，取A為研究對(duì)象，因T=3mgGB=mg，根據(jù)牛頓第二定律可得：3mg-mg=maB解得：aB=2g，方向向上，故C正確.

賞析 錯(cuò)解1和錯(cuò)解2是常見(jiàn)的錯(cuò)誤類型，學(xué)生雖然使用了整體法，也看到了動(dòng)滑輪質(zhì)量為零的條件，但是并沒(méi)有抓住問(wèn)題的突破點(diǎn)——對(duì)動(dòng)滑輪運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析，從此也就失去了真正能夠解決問(wèn)題的線索，這表明該類學(xué)生物理分析能力弱，問(wèn)題解決能力不夠，僅看到了問(wèn)題的表象，卻從未深入到問(wèn)題的實(shí)質(zhì).從正解的解析過(guò)程看，以“質(zhì)量為零”的動(dòng)滑輪為突破點(diǎn)可以順利地找到問(wèn)題解決的線索，由此基于判斷的物理狀態(tài)分析，變得水到渠成.

2.3 “質(zhì)量為零”——輕繩問(wèn)題

輕繩模型是常見(jiàn)的模型，它是柔索的基本類型之一，是一個(gè)絕對(duì)柔體，拉力的方向沿著繩子并指向繩子收縮的方向，只能夠產(chǎn)生拉力不能產(chǎn)生壓力且勁度系數(shù)非常大，發(fā)生的形變極小，可認(rèn)為它不可伸長(zhǎng).關(guān)于輕繩的一些試題也具有典型性.

例3 如圖3左圖所示，長(zhǎng)L=1m，不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩拴住質(zhì)量m=0.2kg的小球懸掛在天花板上的O點(diǎn)，現(xiàn)將小球拿至與O點(diǎn)等高，距O點(diǎn)d=0.6m的A點(diǎn)由靜止釋放，求小球過(guò)最低點(diǎn)的速度及細(xì)繩對(duì)小球的拉力.

關(guān)于本題學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)如下的錯(cuò)誤解法.

錯(cuò)解 假設(shè)小球從最高點(diǎn)下落到最低點(diǎn)的速度為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律mgL=1 2mv2，可以得到v=2gL，據(jù)此求得，速度v=25m/s，結(jié)合牛頓第二定律T-mg=mv2 L，得到T=6N.

仔細(xì)分析該過(guò)程就可以清晰的看到，學(xué)生未能正確認(rèn)識(shí)輕繩受力可以發(fā)生突變的事實(shí).如圖3右圖所示，當(dāng)小球自由下落到B點(diǎn)時(shí)，繩子已經(jīng)繃直，將B點(diǎn)的速度沿著繩子與垂直于繩子進(jìn)行分解，沿著繩子方向的速度由于輕繩的原因立即減小到0，產(chǎn)生了能量損失.因此機(jī)械能并不守恒.

正解 圖3右圖中當(dāng)小球下落到B點(diǎn)時(shí)，據(jù)幾何關(guān)系可得到hAB=L2-d2=0.8m，且θ=53°，對(duì)此過(guò)程，據(jù)機(jī)械能守恒定律可得vB=2ghAB=4m/s，由于在B點(diǎn)的位置，速度的法向分量為0，則損失的動(dòng)能為ΔE損=1 2m（vBsinθ）2=1.024J.則對(duì)AC過(guò)程而言，采用能量守恒定律1 2mv2c=mgL-ΔE損，并結(jié)合T-mg=mv2c L，得到T=3.952N.

賞析 該題的錯(cuò)解代表了一批學(xué)生的解題思路.從正解的解題過(guò)程可以看出，在思維的提升上，應(yīng)當(dāng)分三步，即自由落體運(yùn)動(dòng)階段、輕繩張緊的階段、圓周運(yùn)動(dòng)階段，特別需關(guān)注的是當(dāng)輕繩張緊時(shí)小球?qū)?huì)損失機(jī)械能.應(yīng)該得到“質(zhì)量為零”——輕繩問(wèn)題中的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1）當(dāng)用輕繩連接的系統(tǒng)通過(guò)輕繩的碰撞、撞擊時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能將會(huì)損失;（2）輕繩上的彈力會(huì)發(fā)生突變.

2.4 “質(zhì)量為零”——輕管問(wèn)題

所謂輕管，一般指空心薄管，在中學(xué)物理教學(xué)中并不常見(jiàn)，但是該類問(wèn)題往往伴隨摩擦力的分析，題目的難度較大，對(duì)學(xué)生思維要求較高，能夠較好的區(qū)分和甄別學(xué)生思維能力的高低.

例4 如圖4所示，一直立的輕質(zhì)薄空心圓管長(zhǎng)為L(zhǎng)，在其上下端開口處安放有一個(gè)質(zhì)量分別為m和2m的圓柱形物塊A、B，A、B緊貼管的內(nèi)壁，厚度不計(jì).A、B與管內(nèi)壁間的最大靜摩擦力分別是f1=mg、 f2=2mg， 且設(shè)滑動(dòng)摩擦力與最大靜摩擦力大小相等.管下方存在這樣一個(gè)區(qū)域：當(dāng)物塊A進(jìn)入該區(qū)域時(shí)受到一個(gè)豎直向上的恒力F作用，而B在該區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)不受它的作用，PQ、MN是該區(qū)域上下水平邊界，高度差為H（L>2H）.現(xiàn)讓管的下端從距上邊界PQ高H處由靜止釋放，重力加速度為g.

（1）為使A、B間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，求F應(yīng)滿足的條件.

（2）若F=3mg，求物塊A到達(dá)下邊界MN時(shí)A、B間的距離.

通過(guò)第（1）問(wèn)的求解可得到為使A、B間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)應(yīng)滿足F≤3 2mg的條件.A到達(dá)上邊界PQ時(shí)的速度vA=2gH，當(dāng)F為3mg時(shí)，A相對(duì)圓管向上滑動(dòng)，設(shè)A的加速度為a1，則由mg+f1-F=ma1得a1=-g，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可以知道，將A向下減速運(yùn)動(dòng)t=2H g后速度減為零，運(yùn)動(dòng)位移將為H.此過(guò)程中對(duì)空心管而言f1+f ′2=m管a管，由于管的質(zhì)量不計(jì)，A對(duì)管的摩擦力與B對(duì)管的摩擦力方向相反、大小均為mg，f ′2=mg

賞析 該題中質(zhì)量為零的空心管在狀態(tài)分析中起到了重要橋梁的作用，但是從解題思維的角度看，空心管質(zhì)量為零這一條件比較隱蔽，需要解題者充分挖掘該條件，并明白該條件在題干中存在的價(jià)值是什么.就該題本身來(lái)講，它對(duì)初學(xué)者而言有極大的難度，理解試題所設(shè)定的關(guān)鍵條件更需要學(xué)習(xí)者具備將情景進(jìn)行理想化處理的思維方式.

3 “質(zhì)量為零”類問(wèn)題的研究意義與啟示

“質(zhì)量為零”類問(wèn)題共同的特征是相關(guān)研究對(duì)象為輕質(zhì)，“輕”是物理學(xué)上相對(duì)意義的概念，屬于典型的辯證思維，也許很多年之后學(xué)生把所學(xué)的物理學(xué)知識(shí)“都還給了老師”，但是物理學(xué)思想與方法卻將永遠(yuǎn)地沉淀在學(xué)生的頭腦當(dāng)中，通過(guò)上述四類的梳理分析發(fā)現(xiàn)，它們經(jīng)常與牛頓第二定律相綜合，借助被選定研究對(duì)象質(zhì)量為零的特征，問(wèn)題往往撥云見(jiàn)日.它的教學(xué)意義至少有以下幾點(diǎn).

（1）打破了學(xué)生慣有的思維方式，使得學(xué)生重新認(rèn)識(shí)牛頓第二定律中的“質(zhì)量”在解題技巧上的意義，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生經(jīng)常認(rèn)為牛頓第二定律中的質(zhì)量不可以為零，確實(shí)也不應(yīng)當(dāng)為零，但是基于比較法下的解題實(shí)踐啟示我們?cè)诰唧w的教學(xué)中需要滲透比較法下的辯證思維，在適當(dāng)?shù)臈l件下，質(zhì)量是可以為零的.

（2）幫助學(xué)生理解和建構(gòu)“質(zhì)量為零”的物理模型對(duì)于理解物理原理很有幫助.模型教學(xué)法就是基于對(duì)基本物理現(xiàn)象的深度思考透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，并將共性的聯(lián)系通過(guò)原型提煉應(yīng)用于課堂的教學(xué)法，不論學(xué)生怎么看待諸多具體的物理知識(shí)，在教師的觀念中應(yīng)當(dāng)樹立物理模型至上的認(rèn)識(shí)，因?yàn)椤胺椒ā笨偺N(yùn)藏在物理模型當(dāng)中，它給教學(xué)的啟發(fā)是教師應(yīng)當(dāng)不斷在課堂中幫助學(xué)生梳理這樣或那樣的物理模型，通過(guò)模型的建構(gòu)過(guò)程發(fā)展學(xué)生的高階思維.

（3）“質(zhì)量為零”類問(wèn)題不是什么新問(wèn)題，只是為方便物理教學(xué)研究而引入的名稱，它的引入解決了物理教學(xué)研究將該類問(wèn)題簡(jiǎn)單歸納為輕桿、輕繩、輕管等典型分類，該分類更具有統(tǒng)攝性，它給物理教師帶來(lái)的啟發(fā)是物理教師需要善于歸納總結(jié)基本物理問(wèn)題，并努力做好梳理工作，為后繼研究做好積累，服務(wù)物理教學(xué).

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（收稿日期：2020-02-27）