基于VMD與Bayesian-LSSVM的滾動(dòng)軸承故障診斷方法

付藝華 李 亞 朱建府

（昆明理工大學(xué)信息工程與自動(dòng)化學(xué)院）

隨著我國高鐵技術(shù)的快速發(fā)展，大型軌道維護(hù)機(jī)械設(shè)備必須建立完善的故障診斷系統(tǒng)，才能達(dá)到國家鐵路裝備更新發(fā)展的整體要求。 滾動(dòng)軸承作為大型軌道維護(hù)機(jī)械設(shè)備的精密元件，對(duì)其振動(dòng)信號(hào)的故障診斷研究具有重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

在故障診斷應(yīng)用中，人工智能的全面發(fā)展突飛猛進(jìn)，其中包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等算法。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相較于支持向量機(jī)存在收斂速度慢、計(jì)算復(fù)雜等問題，而支持向量機(jī)中，核函數(shù)的選擇、正則化因子和模型參數(shù)的選擇十分困難，需要人為地不斷嘗試，影響了故障診斷的性能。 由于貝葉斯推斷方法在解決參數(shù)問題上具有一定的優(yōu)勢(shì)， 因此采用貝葉斯3層推斷選擇最小二乘支持向量機(jī) （Least Squares Support Vector Machine，LSSVM）參數(shù)（γ，σ），可以獲得最優(yōu)參數(shù)模型［1］。

在此，筆者以滾動(dòng)軸承作為研究對(duì)象，采用變分模態(tài)分解 （Variational Mode Decomposition，VMD）方式進(jìn)行故障信號(hào)的特征提取，通過貝葉斯3層推斷理論方法獲得貝葉斯算法優(yōu)化的最小二乘支持向量機(jī)（Bayesian-LSSVM）參數(shù)（γ，σ），從而得到最優(yōu)故障類型模式識(shí)別模型［2］，最終找到最適合滾動(dòng)軸承故障診斷的方法。

1 變分模態(tài)分解

2014年，Dragomiretskiy K和Zosso D首次提出了VMD［3］，VMD是一種非遞歸模式信號(hào)分解方法［4］。 該方法可有效尋找變分模型最優(yōu)解從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分解，同時(shí)為了實(shí)現(xiàn)各個(gè)變量的有效分離和信號(hào)的時(shí)域、頻域剖分，可以通過獲得的最優(yōu)解確定每個(gè)分量的頻率中心和帶寬［5］。

1.1 變分模態(tài)分解原理

實(shí)際上，解決變分問題的過程就是變分模態(tài)的分解過程，能夠?qū)π盘?hào)完全分解，不存在模態(tài)混疊現(xiàn)象。 而解決變分問題過程又包含了變分問題的構(gòu)造和求解兩部分［6］。

1.1.1 變分問題的構(gòu)造

假設(shè)限制條件為每種模態(tài)的總和等于原始信號(hào)f， 變分問題描述為獲得K個(gè)模態(tài)分量uk（t）（k=1，2，…，K），達(dá)到每個(gè)模態(tài)的估計(jì)帶寬之和最小，即具有中心頻率的有限帶寬之和最小。 構(gòu)造過程分為3個(gè)步驟［2］。

第1步，為了獲得每個(gè)模態(tài)分量uk（t）的解析信號(hào)， 運(yùn)用希爾伯特變換計(jì)算相關(guān)的振動(dòng)信號(hào)，得到模態(tài)分量uk（t）的單邊頻譜：

其中，δ（t）為沖激函數(shù)，t為時(shí)間。

第2步， 每個(gè)模態(tài)分量的解析信號(hào)通過混合指數(shù)調(diào)制到預(yù)估的中心頻率上，然后計(jì)算頻譜調(diào)制相應(yīng)的基頻帶：

其中，ωk表示第k個(gè)模態(tài)分量的中心頻率。

第3步，對(duì)調(diào)解信號(hào)進(jìn)行H1高斯平滑，估計(jì)出各個(gè)模態(tài)信號(hào)帶寬，則變分約束模型為：

1.1.2 變分問題的求解

變分問題的求解主要分為兩個(gè)步驟。

第1步，通過引入二次懲罰函數(shù)因子α和拉格朗日算子λ（t），確保信號(hào)重構(gòu)的準(zhǔn)確性，同時(shí)拉格朗日算子可以保持約束性，從而得到變分問題約束模型的最優(yōu)解。 在存在高斯噪聲的情況下，擴(kuò)展后的表達(dá)式為：

同理，通過將中心頻率的取值問題轉(zhuǎn)換到頻域，得到中心頻率的更新過程為：

1.2 變分模態(tài)分解算法

VMD算法中的拉格朗日算子主要用來增強(qiáng)約束性，二次懲罰項(xiàng)主要用來提高收斂性［8］。在頻域的連續(xù)更新中，通過傅里葉變換將每個(gè)模態(tài)逆變換到時(shí)域，通過連續(xù)變換重新估計(jì)中心頻率并周期性地更新每個(gè)模態(tài)的功率譜中心［9］。 具體步驟如下：

b. 令k=0、k=k+1，當(dāng)k＜K時(shí)執(zhí)行循環(huán)，更新uk和ωk；

2 故障診斷模型與算法

2.1 最小二乘支持向量機(jī)

LSSVM擴(kuò)展于支持向量機(jī)（SVM），其主要思想是將二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程的問題，并用等式約束條件代替標(biāo)準(zhǔn)SVM的不等式約束條件，降低計(jì)算的復(fù)雜度［10］。 線性可分情況下的分類超平面如圖1所示。

由圖1可知，LSSVM就是將兩種不同類型的滾動(dòng)軸承故障數(shù)據(jù)分離并遠(yuǎn)離這個(gè)超平面，以獲得更好的分類效果， 從而提高準(zhǔn)確率和效率，獲得故障分類結(jié)果。 假設(shè)給定一個(gè)有n個(gè)數(shù)據(jù)的訓(xùn)練樣本{xi，yi}（i=1，2，…，n），其中輸入數(shù)據(jù)xi∈Rm（m為R空間的維數(shù)），輸出數(shù)據(jù)yi∈R。則最優(yōu)線性回歸函數(shù)可代表函數(shù)擬合問題：

其中，w∈Rm為權(quán)向量，φ（x）為非線性函數(shù)，b為常數(shù)且b∈R。

圖1 線性可分情況下的分類超平面

最小二乘向量機(jī)采用ξi平方項(xiàng)方法來優(yōu)化指標(biāo)，所以優(yōu)化指標(biāo)和約束條件分別為：

其中，ξi≥0為松弛因子，c>0為懲罰參數(shù)。

根據(jù)式（9）、（10）將模型進(jìn)行變換，引入拉格朗日函數(shù)L：

其中，ai為拉格朗日乘子。

為使得實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)最小，得到如下等式約束條件：

根據(jù)KKT最優(yōu)條件，消去w和ξ后整理可得：

其中，a=［a1，a2，…，an］T，y=［y1，y2，…，yn］T，e為元素為1的n×1向量，I為n×n的單位陣，G=［φ（x1）T，φ（x2）T，…，φ（xn）T］T。

通過最小二乘法求解方程（13）即可得到a和b的值，則LSSVM的擬合模型為：

其中K（x，xi）為核函數(shù)。

2.2 基于貝葉斯優(yōu)化參數(shù)的LSSVM

由軸承故障診斷的特點(diǎn)可知，決定LSSVM學(xué)習(xí)精度和泛化能力的重要參數(shù)是超參數(shù)，一般采用交叉驗(yàn)證方法確定傳統(tǒng)LSSVM超參數(shù)（γ，σ），但此方法耗時(shí)久，且不適用于大樣本建模。 故筆者提出采用貝葉斯優(yōu)化參數(shù)算法來優(yōu)化估計(jì)超參數(shù)（γ，σ），其基本思想是在最大化參數(shù)分布的后驗(yàn)概率時(shí)獲得最優(yōu)的參數(shù)值。 貝葉斯優(yōu)化參數(shù)算法主要包括以下3層推斷。

第1層，模型參數(shù)的推理，即w和b的推斷。給定訓(xùn)練集D={xk，yk}Nk=1（其中N為維數(shù)空間）和模型H中的正則化參數(shù)γ，則由貝葉斯準(zhǔn)則可以得到：

其中，證據(jù)概率分布P（D|lgμ，lgξ，H）為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化的常數(shù)，P（w，b|lgμ，lgξ，H）為先驗(yàn)概率，P（D｜w，b，lgμ，lgξ，H）為相似度。

第2層，正規(guī)化參數(shù)的推理，即參數(shù)μ、ξ和γ的推斷。 假設(shè)P（lgμ，lgξ｜H）=P（lgξ｜H）P（lgμ｜H），利用貝葉斯法則可以由訓(xùn)練集D推斷出：

第3層，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的推理，即核函數(shù)的推斷。通過選擇不同的核函數(shù)，可獲得不同模型的后驗(yàn)概率，將貝葉斯法則應(yīng)用到Hj可以推斷出：

通過最大化P（D|Hj）即可求得最優(yōu)的核函數(shù)系數(shù)。

3 故障診斷流程

基于VMD與Bayesian-LSSVM的滾動(dòng)軸承故障診斷方法流程如圖2所示。

圖2 基于VMD與Bayesian-LSSVM的滾動(dòng)軸承故障診斷方法流程

基于VMD與Bayesian-LSSVM模型對(duì)滾動(dòng)軸承故障診斷的識(shí)別過程如下：

a. 處理滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)。對(duì)滾動(dòng)軸承的外圈故障信號(hào)、內(nèi)圈故障信號(hào)和滾動(dòng)體故障信號(hào)進(jìn)行數(shù)字化處理。

b. 初始化相關(guān)參數(shù)。對(duì)變分模態(tài)分解在處理滾動(dòng)軸承外圈故障信號(hào)、內(nèi)圈故障信號(hào)和滾動(dòng)體故障信號(hào)時(shí)的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

c. 獲得模態(tài)函數(shù)。 對(duì)外圈故障信號(hào)、內(nèi)圈故障信號(hào)和滾動(dòng)體故障信號(hào)進(jìn)行簡單的特征值濾波處理，利用優(yōu)化參數(shù)的變分模態(tài)分解方法對(duì)濾波處理過的故障信號(hào)進(jìn)行分解，得到模態(tài)函數(shù)。

d. 故障判別。 利用貝葉斯優(yōu)化的LSSVM模型進(jìn)行模式識(shí)別，獲得模式識(shí)別準(zhǔn)確率。

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了保證實(shí)驗(yàn)的真實(shí)性，筆者選用美國凱斯西儲(chǔ)大學(xué)的滾動(dòng)軸承實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，采用變分模態(tài)分解方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行特征提取，最終獲得相應(yīng)的正常、外圈故障、內(nèi)圈故障和滾動(dòng)體故障信號(hào)特征向量。 選用采樣頻率為12kHz、故障直徑為0.007英寸（1英寸=2.54cm）、轉(zhuǎn)速為1 797r/min的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)作為數(shù)據(jù)樣本集。

實(shí)驗(yàn)后，提取前6個(gè)IMF作為診斷模型的輸入特征向量。 結(jié)果表明，變分模態(tài)分解不僅能夠分析特定的頻段，還能對(duì)滾動(dòng)軸承故障頻率進(jìn)行特征提取，有效分離出故障信息，因此變分模態(tài)分解在故障診斷的特征提取方面有著實(shí)質(zhì)性意義。

為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)的Bayesian-LSSVM診斷算法的有效性，將變分模態(tài)分解后提取的特征向量經(jīng)過重構(gòu)，選取其中部分信號(hào)作為訓(xùn)練樣本和測試樣本，然后代入Bayesian-LSSVM診斷模型中，得到4種信號(hào)的故障分類結(jié)果，如圖3所示。

圖3 基于Bayesian-LSSVM的4種信號(hào)故障分類結(jié)果

同時(shí)， 為了驗(yàn)證Bayesian-LSSVM診斷算法比SVM、LSSVM和PSO-LSSVM的診斷效果更好、診斷時(shí)間更短、效率更高，選用相同的訓(xùn)練樣本和測試樣本，分別進(jìn)行診斷實(shí)驗(yàn)，訓(xùn)練時(shí)間與測試時(shí) 間 比 較 如 圖4、5 所 示。 可 以 看 出，Bayesian-LSSVM在滾動(dòng)軸承故障診斷中訓(xùn)練時(shí)間和測試時(shí)間都比其他算法更快、效率更高。

圖4 4種方法訓(xùn)練時(shí)間比較

圖5 4種方法測試時(shí)間比較

4種故障模型的診斷準(zhǔn)確率見表1。 可以看出， 相較于其他3種模型，Bayesian-LSSVM診斷模型的診斷準(zhǔn)確率最高， 因此Bayesian-LSSVM故障診斷方法具有更好的實(shí)用性。

表1 4種故障模型的診斷準(zhǔn)確率

5 結(jié)束語

為了提高鐵路大型機(jī)械設(shè)備滾動(dòng)軸承故障診斷識(shí)別的準(zhǔn)確率，筆者提出了一種貝葉斯優(yōu)化的LSSVM故障模式識(shí)別模型。 該模型先通過VMD對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行特征提取，得到模態(tài)函數(shù)，然后引用最小二乘支持向量機(jī)，并利用貝葉斯算法優(yōu)化最小二乘支持向量機(jī)的參數(shù)，構(gòu)造貝葉斯優(yōu)化的LSSVM分類模型。 通過數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)對(duì)模型進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證， 結(jié)果表明， 基于VMD 與Bayesian-LSSVM的方法在滾動(dòng)軸承故障診斷上具有較高的準(zhǔn)確率和可研究的價(jià)值。 下一步工作將研究VMD算法的參數(shù)優(yōu)化問題，以進(jìn)一步提高滾動(dòng)軸承故障診斷的準(zhǔn)確率。