多時滯馬爾科夫跳變系統(tǒng)能量峰值控制方法研究＊

（江西理工大學，江西 贛州 341000）

1 引言

馬爾科夫跳變系統(tǒng)是一類特殊的跳變系統(tǒng)，該類系統(tǒng)中各個模態(tài)之間的隨機跳變符合一定的統(tǒng)計規(guī)律，即系統(tǒng)中各離散有限狀態(tài)空間中的不同模態(tài)之間的轉移服從馬爾科夫過程。由于隨機馬爾科夫跳變系統(tǒng)能很好地描述一些實際系統(tǒng)，因此自從其被提出后，該類系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制器綜合問題就成為了控制理論研究與應用的熱點之一。本文針對馬爾科夫跳變系統(tǒng)中存在的多時滯現(xiàn)象，基于李雅普洛夫穩(wěn)定理論研究該類系統(tǒng)的能量峰值穩(wěn)定性分析與控制器設計方法。得到的相關定理均采用線性矩陣不等式描述，可以方便地通過Matlab線性矩陣不等式工具箱進行求解。

2 模型描述

多時滯馬爾科夫跳變系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述如下：

式（1）中：x（t）、u（t）、ω（t）、z（t）分別為系統(tǒng)狀態(tài)、控制輸入、外部干擾信號輸入及被控輸出；A[r（t）]、Al[r（t）]、B[r（t）]、Bω[r（t）]及C[r（t）]為適當維數(shù)的已知矩陣；dl為系統(tǒng)時滯；r（t）為有限集合r（t）?{1，2，3，…，N}中隨機取值的馬爾科夫隨機過程，跳變轉移矩陣為∏={πij}{i，j∈S}。

轉移概率為：

式（2）中：h＞0且當j≠i時，表示從時間t的模態(tài)i到時間t+h的模態(tài)j的狀態(tài)轉移概率且有

定義1：對于ω（t）=0均有則馬爾科夫跳變系統(tǒng)被稱為均方漸進穩(wěn)定。

定義2：如果存在一個常數(shù)γ＞0使得系統(tǒng)在u（t）=0的情況下均方漸進穩(wěn)定，且在0初始條件x（t）=0，?t∈[-τ，0]下，對于任意ω（t）∈L2[0，∞），均有則系統(tǒng)為能量峰值穩(wěn)定。

定義3：如果存在控制器u（t）=K[r（t）]x（t）使得系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)下能量峰值穩(wěn)定，則系統(tǒng)為能量峰值可鎮(zhèn)定。

3 穩(wěn)定性分析與控制器設計

定理1：對于給定γ＞0，如果存在正定對稱矩陣Pi、Q1、U1，非奇異矩陣S，標量βi及γ1i＞0使得不等式成立，則系統(tǒng)為能量峰值穩(wěn)定。

定理2：對于給定γ＞0，如果存在正定對稱矩陣非奇異矩陣，標量βi及γ1i＞0使得不等式成立，則系統(tǒng)為能量峰值可鎮(zhèn)定。

4 實例

考慮如下雙模態(tài)跳變系統(tǒng)，系統(tǒng)包含兩個時滯項，且有d1=0.1，d2=0.2，C1=C2=[0.10.1]，B1=B2=[21]T，Bω1=Bω2=

圖1 來自EI Centro1940的地震激勵信號

經(jīng)計算機仿真可得開環(huán)狀態(tài)響應曲線如圖2所示。從圖2可知開環(huán)狀態(tài)下系統(tǒng)是發(fā)散的。

基于上文相關參數(shù)，現(xiàn)求解定理2可得不等式有解，且得到控制器增益矩陣：K1=[-1.3835-0.9067]，K2=[-1.5570-0.7945]

圖2 開環(huán)狀態(tài)下系統(tǒng)響應曲線

經(jīng)計算機仿真可得系統(tǒng)在該控制器作用下的狀態(tài)響應曲線如圖3所示。從圖3可知系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的，且有進而有即閉環(huán)系統(tǒng)滿足能量峰值條件。

圖3 閉環(huán)狀態(tài)下系統(tǒng)響應曲線

5 總結

本文基于李雅普洛夫穩(wěn)定理論及線性矩陣不等式技術研究了多時滯馬爾科夫跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制器設計問題，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定及鎮(zhèn)定控制器存在的充分條件，并通過實例驗證了相關理論的有效性。得到的相關定理均描述成了線性矩陣不等式形式，可以方便地通過Matlab軟件自帶的線性矩陣不等式工具箱進行求解。