基于Lyapunov穩(wěn)定性的帶式輸送機(jī)張緊系統(tǒng)研究

牛世杰，熊曉燕

(太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，山西 太原 030024)

長(zhǎng)距離、大運(yùn)量、高速度的帶式輸送機(jī)作為散裝物料的重要運(yùn)輸設(shè)備在工業(yè)領(lǐng)域扮演著愈加重要的角色，被廣泛應(yīng)用在煤炭運(yùn)輸、金屬冶煉等領(lǐng)域。在輸送帶啟動(dòng)、制動(dòng)等過程中，都伴隨著張力的變化。張力過大，會(huì)造成斷帶；張力過小時(shí)，會(huì)造成輸送帶打滑、托輥間輸送帶張力不滿足垂度條件，導(dǎo)致事故發(fā)生。因此對(duì)輸送機(jī)的張緊系統(tǒng)進(jìn)行有效控制顯得尤為重要，不僅能夠提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可以延長(zhǎng)整機(jī)的使用壽命。

眾多學(xué)者針對(duì)此進(jìn)行了深入的研究。宋偉剛、李玉瑾等從理論角度對(duì)輸送帶進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析[1，2]；李軍霞研究分析了下運(yùn)帶式輸送機(jī)的制動(dòng)過程[3]；宰守香、廉自生等建立了帶張緊系統(tǒng)的模型，進(jìn)行仿真分析[4，5]；劉點(diǎn)點(diǎn)結(jié)合波動(dòng)理論，對(duì)輸送帶上張力分布規(guī)律進(jìn)行了解釋說明[6]；汪亮培等提出了單神經(jīng)元與PID相結(jié)合的調(diào)高控制策略[7]；揭施軍提出了將動(dòng)態(tài)矩陣與PID串行的控制策略[8]；雷汝海等采用模糊PID控制張緊系統(tǒng)[9]；吳虎城針對(duì)液壓張緊系統(tǒng)的壓力超調(diào)問題，提出了分段控制策略[10]。

針對(duì)液壓張緊系統(tǒng)具有明顯的非線性特征，本文提出了一種基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的自適應(yīng)控制策略，推導(dǎo)出自適應(yīng)控制律，能夠準(zhǔn)確跟蹤力信號(hào)，將其應(yīng)用在帶式輸送機(jī)多點(diǎn)張緊系統(tǒng)中，并提出了頭中尾三點(diǎn)張緊控制策略，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，達(dá)到了降低張力波動(dòng)的目的。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 輸送帶模型

為了研究長(zhǎng)距離帶式輸送機(jī)在不同工況下的動(dòng)態(tài)特性，建立輸送帶的數(shù)學(xué)模型，帶式輸送機(jī)的工作原理如圖1所示。

圖1 帶式輸送機(jī)工作原理圖

在建立動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，作以下3個(gè)假設(shè)：①在輸送機(jī)運(yùn)行過程中，輸送帶的橫向振動(dòng)對(duì)縱向振動(dòng)影響很小，可忽略不計(jì)；②輸送帶縱向力學(xué)性能相同；③物料在輸送機(jī)承載段上分布是均勻的。因此輸送帶可以被看作是沿縱向可幾何變形的一維桿件。

輸送帶是由帶芯骨架(長(zhǎng)距離輸送多為鋼絲繩芯)和覆蓋層(多為橡膠材料)組成。本文采用傳統(tǒng)的Kelvin-Voigt兩原件模型，通過線性彈簧和阻尼并聯(lián)再串聯(lián)質(zhì)量塊作為一個(gè)輸送帶單元，由有限個(gè)輸送帶單元構(gòu)成整條輸送帶[11-15]。本構(gòu)方程為：

式中，σ為總應(yīng)力，Pa；ε為總應(yīng)變；E為彈性模量，Pa ；η為粘性系數(shù)，Pa·s。

輸送帶的離散動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示，箭頭方向表示輸送帶的運(yùn)行方向。其數(shù)學(xué)方程為：

圖2 帶式輸送機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

1.2 張緊裝置數(shù)學(xué)模型

液壓張緊系統(tǒng)如圖3所示，通過輸入電信號(hào)控制三位四通電液比例閥的開度，從而控制液壓缸的位置和速度，實(shí)現(xiàn)對(duì)輸送機(jī)運(yùn)行時(shí)張緊力的實(shí)時(shí)調(diào)控。為了簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)分析，作如下假設(shè)：①閥與液壓缸直接的連接均采用粗短管，這樣可以忽略沿程損失和管路的動(dòng)態(tài)影響；②電液比例閥在工作過程中，4個(gè)節(jié)流閥口處于紊流狀態(tài)；③供油壓力ps恒定，回油壓力pr為零；④油液的密度和溫度均被視為是常數(shù)。

圖3 液壓伺服張緊系統(tǒng)

1.2.1 數(shù)學(xué)模型

1)伺服閥的線性化流量方程為：

因?yàn)榧僭O(shè)③，供油壓力ps為恒值，回油壓力pr為零，式(3)可簡(jiǎn)化為：

負(fù)載流量為：

當(dāng)n=1時(shí)，液壓缸為對(duì)稱缸。代入式(5)中得：

2)流進(jìn)液壓缸左腔的流量等于活塞運(yùn)動(dòng)所需的流量，液體壓縮流量和泄露流量之和。故液壓缸流量連續(xù)性方程為：

式中，Ct為液壓缸內(nèi)泄露系數(shù)，m3·(s·Pa)-1；Cec為液壓缸的外泄露系數(shù)，m3·(s·Pa)-1；A1、A2分別為為液壓缸左右腔活塞的有效面積，m2；x為活塞桿的位移，m；V1、V2分別為液壓缸左腔和右腔容積，m3；V01、V02分別為液壓缸左腔和右腔初始容積，m3；βe為有效體積彈性模量，Pa。

設(shè)活塞兩腔的初始容積為V01=V02=Vt/2，Vt為液壓缸的總?cè)莘e，m3；且作微小運(yùn)動(dòng)則有A1x<

負(fù)載壓力：

當(dāng)n=1時(shí)，A1=A2=A化簡(jiǎn)得：

3)液壓缸和負(fù)載的力平衡方程：

式中，F(xiàn)為液壓缸的輸出力，N；m為活塞和負(fù)載的總質(zhì)量，kg；Bl為活塞和負(fù)載的粘性阻尼系數(shù)，N·s/m；Kl為活塞和負(fù)載的彈簧剛度，N/m。

1.2.2 開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程

2 控制策略

2.1 單點(diǎn)液壓張緊系統(tǒng)控制策略

設(shè)x3d為目標(biāo)負(fù)載壓力和x4d為目標(biāo)閥芯位移，則其誤差分別為：

e3=x3-x3d，e4=x4-x4d

(14)

設(shè)Lyapunov函數(shù)：

將式(15)求導(dǎo)得：

V1=e3(f3+g3x4-x3d)+e4(f4+g4u-x4d)

(16)

將x4=x4d+e4代入式(16)得：

令：

將式(18)代入式(17)中得：

令：

將式(20)代入式(19)中得：

V1為負(fù)定，當(dāng)t→∞時(shí)，e3、e4均收斂于0。

綜上所述，最終得到的自適應(yīng)控制律為：

2.2 輸送帶三點(diǎn)張緊控制策略

在長(zhǎng)距離的輸送帶上，采用三點(diǎn)張緊方式，目的是為了減小輸送帶在運(yùn)行過程中的張力波動(dòng)，延長(zhǎng)輸送帶的使用壽命，提高帶式輸送機(jī)的動(dòng)態(tài)性能。具體細(xì)節(jié)見表1。

表1 三點(diǎn)張緊控制策略

表1中，F(xiàn)f，max為驅(qū)動(dòng)滾筒所能夠提供的最大的驅(qū)動(dòng)力，N；T2為松邊拉力，N；μ為摩擦系數(shù)；α為驅(qū)動(dòng)滾筒的包角，rad；d為兩組托輥間距，m；Δhz為輸送帶重載段最大允許垂懸度，m。

3 仿真分析

本文研究的對(duì)象是采用液壓系統(tǒng)張緊的3000m帶式輸送機(jī)，輸送帶型號(hào)為ST2000。啟動(dòng)曲線采用Harrison正弦加速度曲線。具體的仿真參數(shù)見表2。

表2 帶式輸送機(jī)詳細(xì)技術(shù)參數(shù)

為了驗(yàn)證本文所提出的基于Lyapunov穩(wěn)定性的力跟蹤控制器的有效性，以及采用三點(diǎn)張緊的控制方式是否能夠降低輸送帶張力波動(dòng)值，將對(duì)電液伺服系統(tǒng)的力軌跡跟蹤性能和輸送帶上的張力變化進(jìn)行仿真分析。根據(jù)某液壓設(shè)備選型手冊(cè)，確定液壓張緊系統(tǒng)的仿真參數(shù)，油缸內(nèi)徑D=110mm，活塞桿直徑d=55mm。閥控液壓缸模型部分參數(shù)見表3。

表3 電液伺服系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)定

根據(jù)構(gòu)建的液壓張緊系統(tǒng)和推導(dǎo)的自適應(yīng)控制律，在MATLAB/Simulink中搭建液壓張緊系統(tǒng)仿真模型，如圖4所示。

圖4 電液伺服系統(tǒng)仿真框圖

啟動(dòng)仿真得到該系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，并且根據(jù)響應(yīng)曲線不斷的調(diào)整增益系數(shù)k3、k4，使響應(yīng)曲線達(dá)到穩(wěn)定，最終得到系統(tǒng)的實(shí)際張緊力和期望張緊力如圖5所示，力信號(hào)跟蹤誤差如圖6所示。從圖5、圖6中可以看出，此系統(tǒng)的跟蹤性能良好，沒有出現(xiàn)嚴(yán)重的超調(diào)現(xiàn)象，平穩(wěn)性較佳，張緊力追蹤誤差在1kN(0.33%)范圍內(nèi)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度較快，基本可以達(dá)到輸送機(jī)平穩(wěn)運(yùn)行的張緊要求。

圖5 力信號(hào)跟蹤效果

圖6 力信號(hào)跟蹤誤差

將AMESim中搭建的輸送帶模型和Simulink中搭建的電液伺服系統(tǒng)，進(jìn)行聯(lián)合仿真。AMESim為電液伺服系統(tǒng)提供負(fù)載的信息，Simulink為輸送帶提供所需要的張緊力。所搭建的模型如圖7所示。從圖7中可以看出，橢圓框內(nèi)的就是一個(gè)張緊系統(tǒng)，Simulink中輸入的張緊力通過張緊滾筒傳遞到輸送帶上，輸送機(jī)是由頭、中、尾部三點(diǎn)進(jìn)行張緊，張緊控制策略按照表1進(jìn)行計(jì)算設(shè)定。

圖7 AMESim搭建的輸送帶的模型

輸送帶上各個(gè)輸送帶單元不同時(shí)間點(diǎn)的速度如圖8所示，輸送帶上各個(gè)單元的速度從機(jī)頭到機(jī)尾相繼達(dá)到4m/s，這是由于輸送帶的粘彈性導(dǎo)致力傳遞的滯后性，速度波動(dòng)幅度較小，從機(jī)頭到機(jī)尾速度誤差最大為0.04m/s。圖8中前端的速度是因?yàn)轭A(yù)張緊過程使輸送帶變形引起的，此過程結(jié)束時(shí)，速度又回到零。各個(gè)輸送單元的張力圖單點(diǎn)張緊和多點(diǎn)張緊分別如圖9和圖10所示。通過圖9單點(diǎn)張緊與圖10多點(diǎn)張緊的張力分布對(duì)比，可以得出多點(diǎn)張緊的最大張力值增加了32.28kN，但是張力波動(dòng)范圍由82.47kN降低到54.35kN，降低了循環(huán)應(yīng)力對(duì)輸送帶的損傷，張力波動(dòng)值明顯減小，張力曲線也更加平穩(wěn)，達(dá)到了預(yù)期的控制效果。

圖8 輸送帶上各個(gè)輸送帶單元不同時(shí)間點(diǎn)的速度

圖9 各個(gè)輸送帶單元的張力圖(單點(diǎn)張緊)

圖10 各個(gè)輸送帶單元的張力圖(多點(diǎn)張緊)

4 結(jié) 論

本文在充分分析了電液伺服系統(tǒng)內(nèi)部特性規(guī)律的基礎(chǔ)上，建立該系統(tǒng)非線性數(shù)學(xué)模型，針對(duì)輸送機(jī)液壓張緊系統(tǒng)的非線性問題，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論構(gòu)建了力追蹤自適應(yīng)控制器。在MATLAB/Simulink軟件搭建了系統(tǒng)仿真模型。仿真結(jié)果表明，該系統(tǒng)能夠良好地跟蹤力信號(hào)，力追蹤誤差在0.33%以內(nèi)，沒有較大的震蕩和超調(diào)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度較快，滿足性能要求。隨后將上述的電液伺服系統(tǒng)以三點(diǎn)布置的方式應(yīng)用在帶式輸送機(jī)的張緊系統(tǒng)中，旨在減小輸送帶在運(yùn)行過程中的張力波動(dòng)。在AMESim中搭建輸送帶模型，通過Simulink與AMESim聯(lián)合仿真，結(jié)果表明，輸送帶的張力波動(dòng)值明顯減小。