基于Udwadia-Kalaba方法的柔性機(jī)械臂魯棒伺服約束控制

韓 江,張 凱,董方方

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

0 引 言

機(jī)械臂如今已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于工業(yè)實(shí)際中,可以快速精確地承擔(dān)一系列工作,如定位和軌跡跟蹤等。目前對機(jī)械臂的研究大多將其看作一個(gè)剛性系統(tǒng),但實(shí)際情況下機(jī)械臂不是完全剛性的,因此,柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂的研究也就尤為重要[1]。

過去的幾十年里已有許多用于穩(wěn)定性控制的方法,但當(dāng)系統(tǒng)受到約束特別是受到非完整約束時(shí),現(xiàn)有方法都存在一定的局限性。最小范數(shù)法[2]權(quán)值切換條件需要對關(guān)節(jié)速度進(jìn)行過零檢測,因而容易受到干擾而發(fā)生錯(cuò)誤,導(dǎo)致關(guān)節(jié)速度指令不連續(xù)；反步控制方法[3]需要足夠大的加速度,在實(shí)際工程中很難應(yīng)用;滑模控制方法[4]雖然具有很好的魯棒性,但在高速切換中會出現(xiàn)抖動現(xiàn)象。

實(shí)際情況中,約束主要分為被動約束和伺服約束2類[5]。

被動約束問題主要是環(huán)境約束,這些約束力與設(shè)計(jì)者沒有關(guān)系。目前關(guān)于被動約束問題已經(jīng)有了許多研究,但是伺服約束問題仍然沒有得到充分的研究。伺服約束是指由控制器按照約束的要求提供控制力,這些約束具有不同的形式且這些形式有的是不完整的。

此外,柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)擁有比其自由度數(shù)目更少的輸入,也就是欠驅(qū)動,因此很難進(jìn)行約束力的精確描述[6]。文獻(xiàn)[7-8]的研究指出,可以采用廣義逆矩陣來研究約束力的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)而獲得約束力[9]，該方法可以相對簡單地建立完整約束和非完整約束下系統(tǒng)的運(yùn)動方程，利用該方程可以在不出現(xiàn)拉格朗日乘子的條件下,得到約束力的解析解。

柔性機(jī)械臂系統(tǒng)因快速時(shí)變不確定性,無法獲得系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確信息,本文通過估計(jì)不確定性的最大邊界值,考慮最極端情況下的系統(tǒng)穩(wěn)定性;構(gòu)造一個(gè)虛擬控制將系統(tǒng)分成了2個(gè)子系統(tǒng),通過控制2個(gè)子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的控制。

本文控制方法包括了Udwadia-Kalaba控制部分和魯棒控制部分,使得連桿角度近似地跟隨給定的約束,同時(shí)保證整個(gè)系統(tǒng)的一致有界性和一致最終有界性。

1 柔性機(jī)械臂的系統(tǒng)約束力

包含不確定性的柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的描述方程[10]為:

(1)

對于一個(gè)柔性關(guān)節(jié),其簡化模型如圖1所示。

圖1 簡化柔性關(guān)節(jié)

(1)式的第1部分可以變形為:

K(σ1)q1=K(σ1)(q2-u1)+K(σ1)u1

(2)

(3)

其中

(3)式中第1式的子系統(tǒng)是虛擬控制部分,第2個(gè)子系統(tǒng)u是實(shí)際的控制部分。

根據(jù)Udwadia-Kalaba的研究,可以假設(shè)系統(tǒng)所受約束為:

(4)

其中,A=[Ali]m×n;c=[c1c2…cm]T。該約束是主動的,由系統(tǒng)控制輸入提供的力來滿足約束。把一階形式轉(zhuǎn)化為二階形式[11],并且對約束方程關(guān)于t進(jìn)行微分可得:

二階形式的約束可以重新寫為:

寫成矩陣形式為:

(5)

其中,b=[b1b2…bm]T。

假設(shè)1 每一個(gè)(q,t)∈Rn×R,σ∈Σ,M(q,σ,t)>0。

根據(jù)假設(shè)1與(5)式,提出約束力為:

Qc=M1/2(q,σ,t)[A(q,t)M-1/2(q,σ,t)]+×

G(q,σ,t)]}

(6)

其中,“+”表示廣義逆矩陣。該約束力服從達(dá)朗貝爾原理的拉格朗日形式,且使系統(tǒng)滿足約束。

2 魯棒伺服控制器設(shè)計(jì)

(7)

(8)

假設(shè)2 對于任意q1∈Rn,若A(q1,t)滿秩,則A(q1,t)AT(q1,t)可逆。對于給定的P∈Rm×m,P>0,令

W(q1,σ1,t)=PA(q1,t)D(q1)E(q1,σ1)×

存在一個(gè)常量(不確定性的邊界)ρE>-1,使得對于所有的(q1,t)∈Rn×R,有

(9)

為使控制能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),令

(10)

選擇一個(gè)標(biāo)量函數(shù)ρ1:Rn×Rn→R+,對于所有的σ1∈Σ1有:

(11)

其中

(12)

考慮系統(tǒng)具有不確定性,令

(13)

其中

對于一個(gè)給定的正定標(biāo)量ε1>0,根據(jù)(9)式、(10)式、(13)式,引入的虛擬控制u1可以表示為:

u1=p11+p12+p13

(14)

在給定S=diag[Si]n×n(Si>0,i=1,2,…,n)的情況下給出控制轉(zhuǎn)矩u的表達(dá)式。首先選擇一個(gè)標(biāo)量函數(shù)ρ2:Rn×Rn×Rn×Rn→R+,有

(15)

其中

ΔK(σ2)q1+ΔJ(σ2)Sx3-

(16)

對于一個(gè)正定標(biāo)量ε2>0,提出的實(shí)際輸入轉(zhuǎn)矩u的表達(dá)式為:

(17)

其中,Kp、Kd為帶有對應(yīng)維數(shù)的對角正定增益矩陣;p2為:

3 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

選擇的李雅普諾夫函數(shù)如下:

V(X)=V1(x1)+V2(x2,x3),

(18)

(19)

(20)

根據(jù)(19)式可以得到:

其中

由于Ω1是正定的,V2(x2,x3)也是正定的。類似地,對于V2的上界,有

(21)

其中

因此,根據(jù)(20)式、(21)式有:

κ1‖X‖2≤V≤κ2‖X‖2，

這表明V是正定的。對于給定的不確定性σ1、σ2和控制系統(tǒng)相應(yīng)的軌跡X(t),V1的導(dǎo)數(shù)如下：

利用(8)式的分解可得：

(22)

根據(jù)(10)式中給定的p12計(jì)算可得:

-γ1‖x1‖2

(23)

根據(jù)給定的p13和ΔD=DE計(jì)算可得:

-(x1ρ1)Tφ1μ1=-φ1‖μ1‖2

(24)

-φ1ρE‖μ1‖2

(25)

結(jié)合(24)式、(25)式可得：

(26)

根據(jù)(11)式、(12)式可得：

(27)

(28)

結(jié)合(22)～(23)式、(26)～(28)式，當(dāng)‖μ1‖>ε1時(shí)有：

當(dāng)‖μ1‖≤ε1時(shí)有：

φ1(1+ρE)‖μ1‖2+‖x1‖(1+ρE)ρ1+

對于所有的ε1>0有：

(29)

V2的導(dǎo)數(shù)表示如下：

根據(jù)(8)式中J-1、K的分解，得到：

根據(jù)(16)式、(17)式有：

λKp‖x2‖2-λKd‖x3‖2，

其中，λKp=min{λ(SKp)};λKd=min{λ(Kd)}。

當(dāng)‖μ1‖>ε2時(shí)有：

(x3+Sx2)TΦ2+(x3+Sx2)Tp2≤

‖x3+Sx2‖ρ2-‖x3+Sx2‖ρ2=0；

當(dāng)‖μ1‖≤ε2時(shí)有：

(x3+Sx2)TΦ2+(x3+Sx2)Tp2≤

對于所有的ε2>0有:

(30)

結(jié)合(29)式、(30)式可得：

其中，λ1=γ1-λAω/2;λ2=λKp-λAω-1/2。由于Kd是正定的，如果選擇合適的γ1、S、Kp來滿足λ1>0與λ2>0，那么可以得到：

(31)

文獻(xiàn)[13]中的一致有界性能表示如下：

一致最終有界的性能如下：

4 仿真研究

本文提出一個(gè)如圖1所示的兩連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂來驗(yàn)證所提控制方法的有效性。連桿角度q1=[q(2),q(4)]T,關(guān)節(jié)角q2=[q(1),q(3)]T;m1、m2為連桿的質(zhì)量;l1為第1個(gè)連桿的長度;lc1、lc2為連桿的中心位置(假設(shè)質(zhì)量在連接體上均勻分布);g為重力加速度常量。

各參數(shù)數(shù)值如下:

s1=s2=1,ω=1,P=2,

ε1=ε2=0.1,kd1=kd2=2,kp1=kp2=4。

系統(tǒng)模型如下：

G(q1)=

其中

d21=d12;

要求系統(tǒng)滿足的約束條件如下：

c=0,b=0。

利用Matlab軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2所示為采用(17)式約束后約束系統(tǒng)的性能,顯示了實(shí)際控制下的性能與不加約束性能的比較。使用本文的約束控制方法,在2 s左右的一個(gè)確定時(shí)刻,系統(tǒng)的性能滿足約束要求,而實(shí)際常規(guī)控制不能收斂到0附近的區(qū)域。

圖2 控制性能比較

圖3 連桿角速度及其約束

控制輸入的比較如圖4所示。由圖4可以看出，不同控制方法下輸入‖u‖的相關(guān)項(xiàng)在系統(tǒng)性能結(jié)果中有很大不同,常規(guī)控制要比魯棒控制花費(fèi)的代價(jià)大得多。

圖4 控制輸入的比較

關(guān)節(jié)角的加速度曲線如圖5所示。從圖5可以看出,在經(jīng)過最初的波動后關(guān)節(jié)角加速度趨于穩(wěn)定。

圖5 關(guān)節(jié)角加速度曲線

5 結(jié) 論

(1) 不確定性的柔性機(jī)械臂系統(tǒng)具有不完整約束,本文設(shè)計(jì)的控制驅(qū)動系統(tǒng)可以近似地跟蹤給定的約束。

(2) 本文控制方法基于可能的邊界不確定性,引入了一個(gè)虛擬控制,將系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)?個(gè)子系統(tǒng)，即連桿角度子系統(tǒng)和關(guān)節(jié)角度子系統(tǒng)。

(3) 通過Udwadia-Kalaba方程獲得了約束力的解析解形式,并將該形式應(yīng)用到控制設(shè)計(jì)中。本文提出的控制方法能使連桿角度子系統(tǒng)滿足約束要求,同時(shí)使系統(tǒng)狀態(tài)一致有界和一致最終有界。

(4) 由理論分析與仿真結(jié)果可知,本文魯棒伺服約束控制可以完成機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制任務(wù)。在實(shí)際應(yīng)用中可以使用該伺服控制器來完成控制計(jì)算任務(wù)。