基于MATLAB鋼軌廓形法線值計(jì)算及現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用

黃佳樂(lè)，桂衛(wèi)東

（中國(guó)鐵路武漢局集團(tuán)有限公司武漢大型養(yǎng)路機(jī)械運(yùn)用檢修段，湖北武漢 430012）

線路鋼軌在使用過(guò)程中，受車(chē)輪與鋼軌之間的相互作用以及現(xiàn)場(chǎng)惡劣環(huán)境的影響，鋼軌表面會(huì)出現(xiàn)不同程度的傷損。鋼軌打磨作為維修鋼軌、延長(zhǎng)鋼軌使用壽命的一種重要手段，其科學(xué)性和有效性受到世界各國(guó)鐵路部門(mén)的廣泛認(rèn)可，并產(chǎn)生了巨大的經(jīng)濟(jì)效益［1］。廓形打磨作為提高鋼軌打磨質(zhì)量的有效方法之一，越來(lái)越受到現(xiàn)場(chǎng)專(zhuān)家的青睞。準(zhǔn)確求解實(shí)測(cè)廓形與目標(biāo)廓形之間的差異，是提高現(xiàn)場(chǎng)鋼軌打磨質(zhì)量的有效手段。

1 現(xiàn)狀分析

目前鋼軌廓形偏差檢測(cè)手段主要分為接觸式和非接觸式［2］?，F(xiàn)有的接觸式主要有機(jī)械廓形卡尺檢測(cè)、高精度鋼軌廓形儀檢測(cè)；非接觸式主要是運(yùn)用先進(jìn)的激光攝像機(jī)定位檢測(cè)。在現(xiàn)場(chǎng)施工過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，非接觸式檢測(cè)儀器在激光相機(jī)掃描成像時(shí)易受軌面光亮的接觸光帶反光影響。相對(duì)而言，接觸式鋼軌廓形測(cè)量?jī)x精度高、便攜，獲得現(xiàn)場(chǎng)作業(yè)人員青睞。

陳春雷等［3］提出一種基于迭代最近點(diǎn)的廓形對(duì)齊方法，在系統(tǒng)測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)模塊計(jì)量的廓形數(shù)據(jù)點(diǎn)集之間建立匹配關(guān)系，使用均方根誤差來(lái)衡量測(cè)量值與計(jì)量真值之間的偏差，以及使用系統(tǒng)多次測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述測(cè)量的離散程度，從而驗(yàn)證廓形測(cè)量系統(tǒng)的準(zhǔn)確度。余博［4］提出一種基于測(cè)量廓形與目標(biāo)廓形的側(cè)面和頂面區(qū)域面積信息的對(duì)齊方法，提高了對(duì)齊精度。王振陽(yáng)［5］根據(jù)打磨機(jī)的結(jié)構(gòu)，對(duì)砂輪打磨鋼軌的過(guò)程進(jìn)行幾何簡(jiǎn)化，以標(biāo)準(zhǔn)廓形為對(duì)象分析單個(gè)砂輪、多個(gè)砂輪的打磨深度、打磨面積的作用規(guī)律，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)完整的打磨模式設(shè)定算法，其中運(yùn)用了對(duì)齊算法和擬合處理算法結(jié)果。華長(zhǎng)權(quán)等［6］對(duì)幾種鋼軌磨損檢測(cè)方法和儀器進(jìn)行對(duì)比分析，比較了各檢測(cè)設(shè)備的優(yōu)缺點(diǎn)。

現(xiàn)場(chǎng)研究發(fā)現(xiàn)：在制定鋼軌打磨策略過(guò)程中，實(shí)測(cè)廓形與目標(biāo)廓形之間的差異是指導(dǎo)現(xiàn)場(chǎng)鋼軌打磨的一個(gè)重要參數(shù)?，F(xiàn)有方法是采用接觸式高精度鋼軌廓形測(cè)量?jī)x附帶軟件獲取實(shí)測(cè)與目標(biāo)廓形之間的差異，但現(xiàn)場(chǎng)鋼軌受車(chē)輪碾壓及軌道惡劣環(huán)境的影響，軌頭廓形曲線早已偏離標(biāo)準(zhǔn)廓形曲線。在現(xiàn)有設(shè)備條件下，利用廓形儀附帶軟件在處理廓形對(duì)齊、取值求差環(huán)節(jié)人為干預(yù)因素影響較大，計(jì)算效率低，不能滿(mǎn)足現(xiàn)場(chǎng)“快檢”需求。針對(duì)這一現(xiàn)狀，急需尋求一種數(shù)值編程求解方法滿(mǎn)足現(xiàn)場(chǎng)施工檢測(cè)需要。

2 計(jì)算方法

2.1 廓形預(yù)處理

定義目標(biāo)廓形內(nèi)側(cè)1∶20斜直線下端起點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)。因現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)廓形的位置相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)是隨機(jī)的，為了更快地搜索到實(shí)測(cè)廓形，需要對(duì)其進(jìn)行預(yù)處理，預(yù)處理過(guò)程見(jiàn)圖1。圖1（a）通過(guò)旋轉(zhuǎn)處理，使得AB//CD；圖1（b）中F為AB的中點(diǎn)，G為CD的中點(diǎn)，通過(guò)平移使得dx=0，dy=0，F(xiàn)與G點(diǎn)重合。預(yù)處理過(guò)程主要目的是將實(shí)測(cè)廓形幾何位置置于目標(biāo)廓形附近，便于后續(xù)數(shù)值計(jì)算。

2.2 平行處理

平行處理即將目標(biāo)廓形鎖定不變，實(shí)測(cè)廓形旋轉(zhuǎn)Δθ角度后，實(shí)測(cè)廓形內(nèi)（外）側(cè)與目標(biāo)廓形內(nèi)（外）側(cè)斜直線平行（見(jiàn)圖2）。

式中：kp、kq為任意點(diǎn)位置實(shí)測(cè)廓形與目標(biāo)廓形內(nèi)側(cè)斜直線斜率；α、β為實(shí)測(cè)廓形與目標(biāo)廓形內(nèi)側(cè)斜直線斜率傾角；△θ≥0，實(shí)測(cè)廓形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，反之逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

鋼軌廓形曲線是由有限個(gè)離散點(diǎn)坐標(biāo)順序連接而成。由于車(chē)輪與鋼軌之間的相互作用，鋼軌廓形曲線早已脫離標(biāo)準(zhǔn)廓形。因此，現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)廓形內(nèi)側(cè)1∶20斜直線（60 kg/m鋼軌）是一條近似“直線”的波浪線。為更準(zhǔn)確地獲取直線斜率，使用“穩(wěn)健擬合法”對(duì)內(nèi)側(cè)斜直線進(jìn)行擬合，相對(duì)于其他擬合法受異常值的影響較小。擬合過(guò)程中能夠自動(dòng)剔除異常值，得到更為穩(wěn)健的回歸系數(shù)［7］。該方法能夠較好地消除“異點(diǎn)”對(duì)斜率求解的影響，內(nèi)側(cè)斜直線擬合前后對(duì)比見(jiàn)圖3。

圖1 廓形預(yù)處理過(guò)程示意圖

圖2 內(nèi)側(cè)斜直線平行示意圖

2.3 橫向?qū)R

鎖定目標(biāo)廓形坐標(biāo)，通過(guò)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)幾何判斷實(shí)測(cè)廓形相對(duì)于目標(biāo)廓形的水平位置，采用最小面積法判斷內(nèi)側(cè)斜直線是否重合（見(jiàn)圖4），采用式（2）計(jì)算。

式中：Sk為陰影部分的面積，k為正整數(shù)且k≥1；?為閾值，取值0.005，滿(mǎn)足現(xiàn)場(chǎng)工程需要。

圖3 內(nèi)側(cè)斜直線穩(wěn)健擬合前后對(duì)比

圖4 斜直線對(duì)齊求解示意圖

設(shè)圖4中目標(biāo)廓形坐標(biāo)為Mi（hi，vi），實(shí)測(cè)廓形坐標(biāo)為Pj（hj，vj），i、j分別表示坐標(biāo)點(diǎn)個(gè)數(shù)。最小面積法內(nèi)側(cè)對(duì)齊流程見(jiàn)圖5，其中：μ為步長(zhǎng)因子（μ=0.001，取值以滿(mǎn)足現(xiàn)場(chǎng)工程需要），循環(huán)結(jié)束后得到新的實(shí)測(cè)廓形坐標(biāo)Pj

圖5 最小面積法內(nèi)側(cè)對(duì)齊流程

根據(jù)儀器設(shè)備出廠參數(shù)及現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)驗(yàn)證表明：高精度鋼軌廓形儀測(cè)量誤差在0.05 mm以?xún)?nèi)，GMC-96x型鋼軌打磨車(chē)作業(yè)精度為0.1 mm，閾值?和步長(zhǎng)因子μ的設(shè)定值遠(yuǎn)小于廓形儀精度和作業(yè)車(chē)打磨精度，同時(shí)從《高速鐵路鋼軌打磨管理辦法》（鐵總運(yùn)〔2014〕357號(hào)）和文獻(xiàn)［8］中規(guī)定的鋼軌打磨軌頭廓形驗(yàn)收標(biāo)準(zhǔn)，閾值?和步長(zhǎng)因子μ滿(mǎn)足現(xiàn)場(chǎng)工程需求。

2.4 頂面對(duì)齊

為更科學(xué)地指導(dǎo)現(xiàn)場(chǎng)鋼軌打磨，保證同線路、同行別及同股道鋼軌廓形具有可比性，同時(shí)降低實(shí)測(cè)廓形軌頭曲線“異點(diǎn)”對(duì)頂面對(duì)齊的影響，鎖定目標(biāo)廓形坐標(biāo)Pj（），通過(guò)三次樣條插值獲取x=36.43 mm（鋼軌軌頭最寬位置的一半）處縱坐標(biāo)y1、y2（見(jiàn)圖6），垂向位移△y按式（3）計(jì)算。

圖6 頂面對(duì)齊示意圖

式中：Δy＜0，實(shí)測(cè)廓形y軸正方向移動(dòng)，反之負(fù)方向移動(dòng)。

內(nèi)側(cè)斜直線重合的前提下，為保證內(nèi)側(cè)斜直線及x=36.43 mm處縱坐標(biāo)y1、y2重合，需將實(shí)測(cè)廓形沿著目標(biāo)廓形內(nèi)側(cè)1∶20斜直線方向進(jìn)行平移操作（橫向或垂向），鋼軌廓形內(nèi)側(cè)對(duì)齊示意見(jiàn)圖7。當(dāng)實(shí)測(cè)廓形上一點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)廓形上一點(diǎn)F'時(shí)，設(shè)垂向位移為Δy，橫向位移為Δx，則橫、垂向位移存在式（4）的比例關(guān)系。

通過(guò)上述過(guò)程的處理，實(shí)測(cè)廓形與目標(biāo)廓形內(nèi)側(cè)及頂面對(duì)齊示意見(jiàn)圖8（鋼軌外側(cè)及頂面對(duì)齊方法同理）。橫、垂向坐標(biāo)平移流程見(jiàn)圖9，其中m為實(shí)測(cè)廓形迭代次數(shù)（m≥1，取正整數(shù)）。

2.5 法線值計(jì)算

圖7 鋼軌橫向與垂向位移關(guān)系示意圖

圖8 鋼軌廓形內(nèi)側(cè)對(duì)齊示意圖

圖9 橫、垂向坐標(biāo)平移流程

鋼軌軌頭打磨區(qū)域角度A分布見(jiàn)圖10，打磨電機(jī)偏轉(zhuǎn)角度A打磨方向示意見(jiàn)圖11，角度A分布在打磨范圍內(nèi)任意點(diǎn)處切線的法線位置。為了更科學(xué)地指導(dǎo)現(xiàn)場(chǎng)制定鋼軌打磨策略，計(jì)算廓形法線值為任意打磨點(diǎn)處切線的法線方向。

圖10 鋼軌軌頭打磨區(qū)域角度A分步圖［9］

法線值定義為在同一坐標(biāo)系下，使用Miniprof軟件將實(shí)測(cè)廓形與目標(biāo)廓形的作用邊及頂面對(duì)齊。法線值計(jì)算點(diǎn)Pi處斜率φi示意見(jiàn)圖12，定義目標(biāo)廓形作用邊一側(cè)1∶20斜直線的下端起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，距離坐標(biāo)原點(diǎn)Si（i=1，2，3，…，m；m取決于計(jì)算位置的個(gè)數(shù)）處的垂線與目標(biāo)廓形的交點(diǎn)為Pi，Pi點(diǎn)所在圓弧的切線的法線與實(shí)測(cè)廓形的交點(diǎn)為Mi，PiMi即為法線值。

圖11 打磨電機(jī)偏轉(zhuǎn)角度A打磨方向示意圖［10］

圖12 法線值計(jì)算點(diǎn)Pi處斜率φi示意圖

在目標(biāo)廓形離散點(diǎn)（hn，vn）中通過(guò)三次樣條插值可得Pi點(diǎn)處的坐標(biāo)，Pi點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的切線與水平線的夾角為φi。將實(shí)測(cè)廓形與目標(biāo)廓形的坐標(biāo)原點(diǎn)移至Pi點(diǎn)，整體繞Pi點(diǎn)旋轉(zhuǎn)φi角后可以得到實(shí)測(cè)廓形的坐標(biāo)為。旋轉(zhuǎn)φi角的目的是為使法線值PiMi與當(dāng)前的橫坐標(biāo)x垂直。通過(guò)旋轉(zhuǎn)矩陣可得到實(shí)測(cè)廓形坐標(biāo)

通過(guò)對(duì)實(shí)測(cè)廓形在x=0 mm處插值求解即得到實(shí)測(cè)廓形與目標(biāo)廓形在Pi處的法線值Devi（見(jiàn)圖13）。定義實(shí)測(cè)廓形高于目標(biāo)廓形取正值，反之取負(fù)值。

圖13 鋼軌法線值Devi

將上述算法通過(guò)MATLAB數(shù)值編程即可快速獲取實(shí)測(cè)鋼軌上任意點(diǎn)處的法線值（見(jiàn)圖14）。以TB-60N鋼軌為基準(zhǔn)，計(jì)算了TB-60（60 kg/m）鋼軌廓形法線值。圖中x5，x10，…，x65分別表示作用邊一側(cè)距離坐標(biāo)原點(diǎn)5，10，…，65 mm處的法線值。

圖14 軟件計(jì)算結(jié)果

3 結(jié)果驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)值程序計(jì)算的準(zhǔn)確性，將TB-60與TB-60N廓形導(dǎo)入AutoCAD中，通過(guò)二維草圖處理即可獲取x5，x10，…，x65位置的鋼軌廓形法線值（見(jiàn)圖15）。

圖15 AutoCAD二維草圖獲取法線值

將AutoCAD與數(shù)值編程得到的2組結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析（見(jiàn)圖16），2種方法得到的法線值圖像基本重合，誤差線接近0，計(jì)算結(jié)果精確至0.01 mm，滿(mǎn)足現(xiàn)場(chǎng)施工精度要求，驗(yàn)證了數(shù)值編程計(jì)算方法的可行性與準(zhǔn)確性。

圖16 AutoCAD與程序計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

4 現(xiàn)場(chǎng)運(yùn)用及效率對(duì)比

將該計(jì)算程序運(yùn)用于現(xiàn)場(chǎng)鋼軌打磨，能夠快速獲取實(shí)測(cè)廓形與目標(biāo)廓形之間的差異（見(jiàn)圖17），紅色線為目標(biāo)廓形TB-60N，藍(lán)色線為Miniprof實(shí)測(cè)廓形。根據(jù)計(jì)算結(jié)果顯示可知：廓形差異主要表現(xiàn)在鋼軌內(nèi)側(cè)軌角位置，其中左股最大值在x=5 mm位置（2.04 mm），右股最大值在x=5 mm位置（1.43 mm）。鋼軌外側(cè)x=60 mm、x=65 mm處與車(chē)輪踏面接觸少，打磨作業(yè)后與目標(biāo)廓形的差異會(huì)相應(yīng)降低。

圖17 鋼軌打磨前廓形

相同檢測(cè)位置鋼軌打磨后廓形見(jiàn)圖18。鋼軌內(nèi)側(cè)打磨后，左股x=5 mm軌角處法線值由2.04 mm下降為0.30 mm；右股x=5 mm處由1.43 mm下降為0.36 mm。x5～x55區(qū)域法線值滿(mǎn)足既有線普速鋼軌廓形驗(yàn)收要求，實(shí)現(xiàn)了鋼軌打磨目的。

圖18 鋼軌打磨后廓形

通過(guò)計(jì)時(shí)統(tǒng)計(jì)表明：AutoCAD方法約35 min/個(gè)，手工軟件操作方法約5 min/個(gè)，使用數(shù)值程序方法約0.5 s/個(gè)。數(shù)值程序求解效率是手工軟件操作的600倍，是AutoCAD方法的4 200倍，程序求解效率明顯。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)方法檢測(cè)鋼軌廓形求解效率低、手工干擾因素多等缺點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)值編程手段獲得了一種計(jì)算效率高并滿(mǎn)足現(xiàn)場(chǎng)施工精度的求解方法，并運(yùn)用AutoCAD對(duì)求解結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證?，F(xiàn)場(chǎng)運(yùn)用發(fā)現(xiàn)，施工天窗點(diǎn)內(nèi)能夠滿(mǎn)足打磨前后質(zhì)量“快檢”需求，對(duì)大型養(yǎng)路機(jī)械鋼軌打磨現(xiàn)場(chǎng)作業(yè)具有重要的指導(dǎo)意義。