基于證據(jù)理論的彈上設(shè)備可靠性評(píng)估?

賀志遠(yuǎn) 胡文林 趙新超

（1.海軍航空大學(xué) 煙臺(tái) 264001）（2.中國(guó)人民解放軍91873部隊(duì) 葫蘆島 125200）

1 引言

在工程實(shí)踐中，絕大多數(shù)產(chǎn)品的健康狀態(tài)同時(shí)由多種失效機(jī)理、多個(gè)關(guān)鍵性能特征參數(shù)一起決定。尤其是某些彈上部件，內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，其退化過程明顯呈現(xiàn)出多性能特征。

目前，對(duì)多性能退化的可靠性評(píng)估，主要有兩種解決方案：一是充分考慮各個(gè)性能參數(shù)之間相關(guān)性[1～3]，例如晁代宏[1]等提出一種聯(lián)合概率密度法對(duì)光纖陀螺儀的可靠性進(jìn)行了評(píng)估，在參數(shù)較多的情況下，這種方法存在計(jì)算量大、建模困難等問題；二是提取產(chǎn)品多性能參數(shù)退化特征量的方法，例如運(yùn)用距離分析、相對(duì)貼近度函數(shù)對(duì)產(chǎn)品的多個(gè)性能參數(shù)進(jìn)行處理，進(jìn)而得到相應(yīng)的退化特征量[4～5]，但由于產(chǎn)品各個(gè)性能參數(shù)的重要程度各不相同，導(dǎo)致提取特征量的失效閾值不再是一個(gè)常數(shù)值，影響了評(píng)估結(jié)果的準(zhǔn)確性。

針對(duì)以上問題，本文提出一種基于證據(jù)理論的可靠性評(píng)估方法。同時(shí)，考慮到各性能之間的相關(guān)性問題，提出一種基于Copula函數(shù)的改進(jìn)證據(jù)合成規(guī)則，并對(duì)某彈上部件的性能進(jìn)行了可靠性評(píng)估。

2 基本概念和相關(guān)理論

2.1 D-S證據(jù)理論

D-S證據(jù)理論最早由Dempster和他的學(xué)生Shafer提出，也稱Dempster-Shafer理論，是一種解決不確定性推理問題的數(shù)學(xué)方法[6]。其主要概念如下。

1）識(shí)別框架

對(duì)于一個(gè)可靠性評(píng)估問題，由于不確定性的存在，會(huì)產(chǎn)生多種評(píng)估結(jié)果，所有可能的評(píng)估結(jié)果的集合稱為識(shí)別框架，用集合Θ表示。Θ ={x1，x2，...，xi，...，xn}，其中xi表示識(shí)別框架 Θ 中的一個(gè)元素。識(shí)別框架Θ通常是一個(gè)有限非空集合，由識(shí)別框架Θ所有子集組成的集合稱為Θ的冪集，記作2Θ，即表示任何可能的命題集。當(dāng)Θ中有n個(gè)元素時(shí)，冪集2Θ中就有2n個(gè)元素。

2）基本信度分配（BPA）

設(shè)Θ為識(shí)別框架，如果映射函數(shù)m:2Θ→[0，1]滿足：

則稱函數(shù)m為識(shí)別框架Θ上的基本信度分配函數(shù)（BPA）。?A∈2Θ，m(A)為集合A的基本可信度，反映了證據(jù)對(duì)A的支持程度，其中滿足m(A)>0的集合A被稱為m的焦元。

3）信度函數(shù)Bel和似然函數(shù)Pl

設(shè)Θ為識(shí)別框架，如果函數(shù)Bel:2Θ→[0，1]滿足：

則稱函數(shù)Bel為集合A的信度函數(shù)，表示證據(jù)對(duì)A為真的支持程度。

基本信度分配函數(shù)m(A)與信度函數(shù)Bel(A)的區(qū)別在于，m(A)僅反映集合A自身信度的大小，不涉及集合A的任何子集，而Bel(A)集合A包括其所有子集的信度之和。

設(shè)Θ為識(shí)別框架，如果函數(shù)Pl:2Θ→[0，1]滿足：

則稱函數(shù)Pl為集合A的似然函數(shù)，表示證據(jù)對(duì)A為非假的支持程度。

4）Dempster合成規(guī)則

假設(shè)m1和m2是同一識(shí)別框架Θ下的兩條證據(jù)的基本信度分配函數(shù)（m1和m2之間的聯(lián)合作用如圖1所示），B1，B2，...，Bi，...，Bk和C1，C2，...，Cj，...，Cs分別為相對(duì)應(yīng)的焦元，則Demp?ster合成規(guī)則可以描述為

其中，m(A)為聯(lián)合信度分配函數(shù)；，表示證據(jù)間沖突程度的一種度量，稱為沖突量參數(shù)，K越大，表明證據(jù)間越?jīng)_突。

圖1 Dempster合成規(guī)則的空間表示

2.2 Copula函數(shù)

Copula函數(shù)是將多個(gè)一維邊緣分布函數(shù)連接或耦合到它們的多維聯(lián)合分布函數(shù)的函數(shù)。對(duì)于具有一定相關(guān)性的問題，其聯(lián)合分布可以通過Cop?ula函數(shù)連接多個(gè)邊緣分布得出，從而極大降低了聯(lián)合概率分布的求取難度[7]。其中，二元Copula函數(shù)作為Copula函數(shù)的特殊情況，是研究Copula函數(shù)的基礎(chǔ)。

二元Copula函數(shù)的核心思想通過Sklar定理實(shí)現(xiàn)[8]，該定理指出，若HX，Y(x，y)為聯(lián)合分布函數(shù)，則存在一個(gè)Copula函數(shù)C(u，v)，對(duì)于x，y∈(-∞，∞)，滿足

其中，F(xiàn)X(x)，F(xiàn)Y(y)分別為X和Y的邊緣分布。

二元Copula的概念也可以用另一種方式表達(dá)，設(shè)X和Y分別是具有FX（x）和FY（y）的累積分布函數(shù)（CDF）的一對(duì)隨機(jī)變量，HX，Y(x，y)為聯(lián)合CDF。在定義域 [0，1]×[0，1]中，每組隨機(jī)變量（x，y）的真值都生成一個(gè)（FX，F(xiàn)Y），（FX，F(xiàn)Y）依次對(duì)應(yīng)于值域在 [0，1]中的HX，Y(x，y)，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為Copula函數(shù)。

Copula具有多種構(gòu)造形式，包括代數(shù)方法、幾何方法以及Archimedean族[9]生成元構(gòu)造法。本文主要對(duì)比研究Clayton Copula，F(xiàn)rank Copula和Gum?bel Copula。

Clayton：

其中，θ∈(0，∞)。當(dāng)θ→∞時(shí)，u，v→完全相關(guān)。

Frank：

其中，θ∈(-∞，0)∪(0，+∞)。當(dāng)θ>0時(shí)，u，v→ 正相關(guān)；當(dāng)θ<0時(shí)，u，v→負(fù)相關(guān)。

Gumbel：

其中，θ∈[1，∞)。當(dāng)θ→∞時(shí)，u，v→完全相關(guān)。

3 改進(jìn)的證據(jù)理論模型

3.1 基于Copula函數(shù)的證據(jù)合成規(guī)則

在D-S證據(jù)理論中，大多采用Dempster合成規(guī)則，通常假設(shè)各證據(jù)之間是相互獨(dú)立的。因此，聯(lián)合BPA的構(gòu)造相對(duì)簡(jiǎn)單，即對(duì)于多維證據(jù)，可以通過直接乘以各個(gè)焦元的BPA來(lái)獲得聯(lián)合BPA值?？紤]到存在證據(jù)間互相相關(guān)并且相關(guān)性會(huì)顯著影響可靠性評(píng)估結(jié)果的情況，基于獨(dú)立性假設(shè)的D-S證據(jù)理論方法可能產(chǎn)生較大的分析誤差。在本節(jié)中，我們將提出一個(gè)改進(jìn)的證據(jù)理論模型，合成規(guī)則基于Copula函數(shù)[10]，該模型可以對(duì)具有相關(guān)性的證據(jù)變量進(jìn)行融合計(jì)算。

對(duì)于多維證據(jù)變量e1，e2，...，en，可以使用各證據(jù)的邊際BPA函數(shù)和聯(lián)合分布函數(shù)C(F1(e1)，F(xiàn)2(e2)，...，F(xiàn)n(en))獲得聯(lián)合BPA。

首先以二維問題為例說(shuō)明聯(lián)合BPA的構(gòu)造。設(shè)E1和E2分別為識(shí)別框架Θ下的兩個(gè)證據(jù)，相對(duì)應(yīng)的BPA函數(shù)分別為e1和e2，相對(duì)應(yīng)的焦元BPA分別為e11，e12和e21，e22。dk表示二維聯(lián)合BPA上的任一焦元，在幾何描繪上由證據(jù)焦元e11，e12，e21，e22四條線包圍的矩形區(qū)域表示，如圖 2所示。

圖2 dk的基本信度分配

圖中陰影部分表示兩個(gè)證據(jù)的聯(lián)合作用，由于假設(shè)了各證據(jù)焦元之間存在相關(guān)性，各證據(jù)焦元的合成通過Copula函數(shù)實(shí)現(xiàn)，例如，圖中焦元BPAe11和e22及坐標(biāo)軸圍成區(qū)域的累計(jì)概率表示為C(F1(e11)，F(xiàn)2(e22))。通過此規(guī)則計(jì)算出各區(qū)域的累計(jì)概率后，聯(lián)合BPA的焦元可表示為

對(duì)于基于Copula函數(shù)規(guī)則合成后證據(jù)中的每個(gè)焦點(diǎn)元素，使用式（9）計(jì)算出BPA值，并最終獲得這兩個(gè)證據(jù)變量的聯(lián)合BPA函數(shù)。同樣，這種證據(jù)合成規(guī)則也可推廣到多維證據(jù)的情況。

3.2 基于Wiener過程的性能退化模型

性能退化數(shù)據(jù)是彈上部件可靠性評(píng)估的重要信息來(lái)源，也是獲取各證據(jù)體函數(shù)的基礎(chǔ)。由于彈上部件產(chǎn)品結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，其性能退化過程往往具有隨機(jī)性的特點(diǎn)，同時(shí)其退化量的軌跡又具有不確定性的特點(diǎn)，因此利用隨機(jī)過程[11]對(duì)性能退化數(shù)據(jù)建模的方法，對(duì)這類產(chǎn)品的退化數(shù)據(jù)分析處理具有很好的適用性。

設(shè)t時(shí)刻產(chǎn)品性能參數(shù)的退化量為X(t)，則性能退化模型可表示為

式中，μ為漂移系數(shù)；σ為擴(kuò)散系數(shù)；B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

一元Wiener過程滿足以下性質(zhì)：

1）X(0)=0并且X(t)在t=0處連續(xù)；

2）退化增量?X(t)服從正態(tài)分布；

3）退化增量互相獨(dú)立。

3.3 可靠性分析

對(duì)于基于證據(jù)理論的可靠性分析，應(yīng)類比式（5），構(gòu)建多維證據(jù)變量的聯(lián)合BPA函數(shù)。根據(jù)這一模型，本節(jié)提出一種可靠性評(píng)估方法，通過信度函數(shù)Bel和似然函數(shù)Pl，確定可靠性結(jié)果的概率分布區(qū)間[12]。

設(shè)多維證據(jù)作用下的可靠性區(qū)域?yàn)镽，其定義如下：

其中，X(t)表示性能退化函數(shù)；ξ表示允許閾值。

根據(jù)2.1節(jié)證據(jù)理論相關(guān)知識(shí)，可用信度函數(shù)Bel來(lái)表示可靠性區(qū)間的下界，似然函數(shù)Pl表示可靠性區(qū)間的下界。即：

設(shè)聯(lián)合BPA函數(shù)為mk(dk) ，根據(jù)式（2）、（3）可得：

為了計(jì)算可靠度區(qū)間的上下界，需要分析焦元dk與可靠性區(qū)域R的關(guān)系，即dk完全位于R內(nèi)（dk?R）和dk部分位于R內(nèi)（dk∩R≠?）。因此，我們需要計(jì)算每個(gè)焦元dk上性能函數(shù)的極值。采用一維搜索算法尋找最優(yōu)極值點(diǎn)，該方法通過計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，且結(jié)果較為精確。首先確定搜索區(qū)間，然后進(jìn)行區(qū)間消去逐步縮短搜索區(qū)間，進(jìn)而找到極小值點(diǎn)Xmin；對(duì)性能函數(shù)符號(hào)取反，同樣搜索得到極大值點(diǎn)Xmax。當(dāng)Xmax≤ω時(shí)，焦元dk完全位于可靠性區(qū)域R內(nèi)；當(dāng)Xmin≤ω

4 實(shí)例分析

選取某彈上設(shè)備進(jìn)行加速試驗(yàn)，試驗(yàn)選取零偏、零偏穩(wěn)定性與標(biāo)度因數(shù)等性能作為測(cè)量指標(biāo)，并記錄試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

結(jié)合3.2節(jié)，建立基于Wiener的性能退化模型。根據(jù)式（9），對(duì)各退化模型的未知參數(shù)μ和σ2進(jìn)行極大似然估計(jì)，結(jié)果如表1所示。求得未知參數(shù)后，通過Copula函數(shù)建立多維證據(jù)變量的聯(lián)合BPA函數(shù)。Copula函數(shù)的選取遵循AIC準(zhǔn)則，即AIC值越小，函數(shù)擬合效果越好。如表2所示，本文選取Gumbel Copula函數(shù)。

表1 退化模型未知參數(shù)

表2 最優(yōu)Copula函數(shù)的選擇

最后，根據(jù)改進(jìn)后的合成規(guī)則進(jìn)行證據(jù)的合成，計(jì)算得到可靠性結(jié)果的區(qū)間分布概率，如表3所示。

從上表可以看出，相比于傳統(tǒng)證據(jù)理論方法，本文方法很好地解決了證據(jù)相互沖突的問題。同時(shí)考慮了證據(jù)之間的相關(guān)性，使評(píng)估結(jié)果更加精確。

表3 可靠性評(píng)估結(jié)果

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于改進(jìn)證據(jù)理論的可靠度評(píng)估方法，使用Copula函數(shù)對(duì)證據(jù)理論模型的合成規(guī)則進(jìn)行改進(jìn)，解決了傳統(tǒng)證據(jù)理論方法中證據(jù)沖突以及證據(jù)相關(guān)的問題，大大提高了可靠性評(píng)估的準(zhǔn)確性。相較于聯(lián)合概率密度等方法，本文的評(píng)估方法提高了計(jì)算效率，更加適用于多性能退化等復(fù)雜問題，為可靠性評(píng)估技術(shù)提供了一種新思路。