九宮格解的一般結(jié)構(gòu)?

趙世恩 劉效麗

(首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院，北京 100048)

0 引 言

對(duì)于經(jīng)典的九宮格，要求將1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字填入下面的九宮格，并且滿足縱向、橫向、斜向3個(gè)數(shù)的和均等于15.

對(duì)于九宮格，主要涉及以下2個(gè)問(wèn)題:

問(wèn)題1給定9個(gè)數(shù)，如何將其填入九宮格.

問(wèn)題2如何構(gòu)造縱向、橫向、斜向3個(gè)數(shù)的和皆相等的9個(gè)數(shù).

本文利用高等代數(shù)中的線性方程組理論[1]，明確的給出了上面2個(gè)問(wèn)題的答案.具體地說(shuō)，討論的前提是去掉“填入 1，2，3，4，5，6，7，8，9 這 9 個(gè)數(shù)”以及“3個(gè)數(shù)的和皆等于15”的限制，只要求縱向、橫向、斜向3個(gè)數(shù)的和相等.在這個(gè)條件下，首先給出九宮格解的定義并建立九宮格解的2個(gè)必要條件；其次，根據(jù)這2個(gè)必要條件，討論九宮格的一般填法；最后，利用線性方程組理論給出九宮格解的一般表達(dá)式.

首先介紹一些基本概念.

定義 0.1設(shè)x1，x2，...，x9，k∈R，將x1，x2，…，x99個(gè)數(shù)依次填入如下九宮格當(dāng)中:

如果滿足每行元素之和、每列元素之和以及2條對(duì)角線元素之和都等于k，則稱x1，x2，…，x9滿足Δ(k)條件，也稱x1，x2，…，x9，k為九宮格的1個(gè)解.

例1對(duì)于熟知的九宮格，

根據(jù)定義0.1，稱8，1，6，3，5，7，4，9，2滿足Δ(15)條件，或稱8，1，6，3，5，7，4，9，2，15是九宮格的1個(gè)解.

定義0.2若將x1，x2，…，x99個(gè)數(shù)依次填入九宮格，如定義1所示，稱:

(1)x1，x3，x7，x9所在位置為九宮格的角；

(2)x2，x4，x6，x8所在位置為九宮格的邊；

(3)x5所在位置為九宮格的中心，x5為中心元；

(4)x1和x3所在位置為鄰角，x1和x9所在位置為對(duì)角；

(5)x2和x4所在位置為鄰邊，x2和x8所在位置為對(duì)邊；

(6)x1，x2，…，x99個(gè)數(shù)中最大的元素和最小的元素分別為九宮格的最大元和最小元.

本文的框架如下:第1節(jié)，討論了九宮格解的2個(gè)必要條件；第2節(jié)，在得到必要條件的基礎(chǔ)上，討論了九宮格的一般填法；第3節(jié)，給出了九宮格解的一般表達(dá)式.

1 九宮格解的2個(gè)必要條件

命題 1.1設(shè)x1，x2，…，x9滿足Δ(k)條件，l∈R.則:

(1)lx1，lx2，…，lx9滿足Δ(lk)條件；

(2)x1+l，x2+l，…，x9+l滿足Δ(k+3l)條件.

事實(shí)上，如果x1，x2，…，x9滿足Δ(k)條件，則它們滿足如下齊次線性方程組:

令A(yù)為上述方程組的系數(shù)矩陣，x=(x1x2x3x4x5x6x7x8x9k)′，則上述方程組可以寫作:Ax=0.令ai表示矩陣A的第i列，i=1，2，…，9，容易看到ai就是xi的系數(shù)構(gòu)成的列向量.

下面計(jì)算矩陣A的秩.利用Matlab軟件[2]，將A化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣:

得到A的秩為7.由線性方程組理論，可以得到如下定理:

定理1.1方程組(1)的自由變量個(gè)數(shù)為3，即九宮格的解構(gòu)成了10維線性空間中的一個(gè)3維子空間.

另外，從矩陣(3)的第5行，得到:

定理1.2如果x1，x2，…，x9滿足Δ(k)條件.則3x5=k.

此結(jié)論給出了九宮格解的一個(gè)必要條件.

注1.1根據(jù)命題 1.1，對(duì)于九宮格的一個(gè)解，對(duì)其進(jìn)行平移之后仍是九宮格的解，因此不妨設(shè)k=0.本文，在沒(méi)有特別強(qiáng)調(diào)的情況下，均假設(shè)k=0.此時(shí)，根據(jù)定理1.1和1.2，由于k和x5已知，方程組(1)的自由變量個(gè)數(shù)為2，即九宮格的解構(gòu)成了8維線性空間中的一個(gè)2維子空間.

通過(guò)觀察例1可以看出，相鄰兩邊上的元素之和等于它們所對(duì)的角上元素的2倍.下面只證明2x1=x6+x8，令其中m=(-1-1-1-1-1-1-1-1)′為k的系數(shù).利用Matlab軟件，將B化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣如下:

根據(jù)矩陣(4)中的第7行，可以得到九宮格解的另一個(gè)必要條件:

定理 1.3如果x1，x2，…，x9滿足Δ(k)條件，則2x1=x6+x8.進(jìn)一步，根據(jù)九宮格的對(duì)稱性，有2x3=x4+x8，2x7=x2+x6以及2x9=x2+x4.

注1.2由必要條件定理1.2和1.3，可以得出很多有用的結(jié)論.為了第2節(jié)討論的方便，這里先給出2個(gè)推論，由于證明很簡(jiǎn)單，這里不再贅述.

推論1.1若九宮格中有1組對(duì)邊或1組對(duì)角上的元素都是最大元，則九宮格上的所有元素都是最大元.

推論1.2若九宮格中角上的元素是最大元，當(dāng)且僅當(dāng)與其不相鄰的2個(gè)邊上的元素也是最大元.

注1.3根據(jù)上面的2個(gè)推論，不難看出最小元也有類似的結(jié)論.

2 九宮格的一般填法

事實(shí)上，可以從九宮格的最大元開始填起.設(shè)Λ表示y1，y2，…，y9中最大元構(gòu)成的集合.

首先，由于考慮的數(shù)域是實(shí)數(shù)，因此Λ不是空集；

其次，對(duì)于集合Λ，有如下3個(gè)斷言.

斷言2.1Λ中不可能只有2個(gè)元素.由推論1.1和1.2便可得知.

斷言2.2若Λ中含有3個(gè)元素，根據(jù)推論1.1和1.2以及注1.3，該九宮格一定有如下形式

斷言2.3若Λ中元素的個(gè)數(shù)大于3，則y1=y2=…=y9.

不妨設(shè)y6，y7，y8以及y9均屬于Λ，下面分如下2種情形來(lái)討論:

情形1，九宮格角上沒(méi)有y6，y7，y8以及y9這4個(gè)數(shù)，即這4個(gè)元都在邊上，

則根據(jù)推論1.1，有y1=y2=…=y9；

情形2，若九宮格角上至少有y6，y7，y8以及y9中的一個(gè)元，則根據(jù)定理1.3，可以得到如下形式

此時(shí)y9無(wú)論在什么位置，由推論1.1，有y1=y2=…=y9.

注2.1根據(jù)上面的討論，集合Λ中含有元素的個(gè)數(shù)只有1，3或9這3種可能，而且只須討論Λ中只含有1個(gè)元素的填法.

下面，給出九宮格具體的填法.

設(shè)y1，y2，…，y9是任意給定的9個(gè)實(shí)數(shù)，滿足Δ(k)條件且Λ={y9}.

第一步:根據(jù)定理 1.2，y1，y2，…，y9中一定存在一個(gè)元等于這9個(gè)數(shù)的算術(shù)平均，不妨設(shè)為y?.所在的位置一定是九宮格的中心.此時(shí)，九宮格如下:

第二步:根據(jù)推論1.2，最大元y9不可能在角的位置.因此y9所在的位置一定是邊，不妨設(shè)九宮格如下:

第三步:假設(shè)剩下元素中的最大元有y8，

(1)如果y8在如下位置，

則y8+y?+y9＞3y?，根據(jù)定理1.2這是不可能的；

(2)由定理1.3，y8和y9不能在相鄰的邊；

(3)y8和y9不能相鄰，不妨設(shè)九宮格如下:

觀察下面的形式

其中y′和y″是y1，y2，…，y7中的2個(gè)元.根據(jù)九宮格解的定義，可以得到

這與y8和y9為y1，y2，…，y9中最大和次大的2個(gè)數(shù)矛盾；

因此y8的位置只能是如下2種可能:

第四步:根據(jù)定理1.2和1.3，可以通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，將y1，y2，…，y9剩下的元素填入九宮格.

注2.2經(jīng)過(guò)上面的討論，完全回答了引言中的問(wèn)題1.事實(shí)上，還可以從最小元構(gòu)成的集合開始討論.由于方法是一樣的，因此這里不再論述.

3 九宮格解的一般結(jié)構(gòu)

在已知k=0的情況下討論.根據(jù)線性方程組(1)，系數(shù)矩陣A可以簡(jiǎn)化為

利用Matlab軟件，將D化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣如下:

容易得到如下定理:

定理3.1九宮格相鄰的角和邊上的元素可以作為自由變量，若分別令

其中k1，k2為任意實(shí)數(shù).如果將上面解的結(jié)構(gòu)和九宮格每個(gè)元素的位置對(duì)應(yīng)起來(lái)，則得到如下形式:

注3.1容易看到，式(6)右邊的2個(gè)3×3矩陣是分別關(guān)于主對(duì)角線和副對(duì)角線反對(duì)稱的形式，也恰恰是k=0時(shí)九宮格解空間的一組基底；進(jìn)一步，對(duì)于k≠0的情況，將方程組(1)寫成如下非齊次線性方程組的形式:

根據(jù)線性方程組理論，只需式(7)的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系加上它的一個(gè)特解，便可得到所有滿足Δ(k)條件的解，即九宮格解的一般結(jié)構(gòu)為:

其中k1，k2為任意實(shí)數(shù).

由此，只要確定上面的k1，k2以及k，就能夠構(gòu)造出九宮格所有的解，這也就解決了引言中的問(wèn)題2.事實(shí)上，對(duì)于例1中的九宮格，有如下表示形式: