基于SEIR 的新冠肺炎傳播模型及拐點預(yù)測分析

范如國，王奕博*，羅 明，張應(yīng)青，朱超平

(1. 武漢大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院 武漢 430072；2. 廣西師范大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院 廣西 桂林 541001；3. 貴州財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院 貴陽 550025)

新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生后，如何有效應(yīng)對、疫情何時出現(xiàn)拐點、何時能被有效控制等，已成為全中國乃至全球共同關(guān)注的重大問題。

1 問題提出與文獻回顧

本次疫情傳播呈現(xiàn)出典型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特征，可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)疾病傳播模型進行有效分析。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)經(jīng)典的疾病傳播模型包括SI 模型、SIR 模型、SIS 模型、SEIR 模型等[1]，在疾病傳播分析中起到了重要作用。最基礎(chǔ)的SI 模型將人群劃分易感狀態(tài)(S)和感染狀態(tài)(I)兩類。易感人群以單位時間傳染概率 β被感染人群感染，人群規(guī)模為易感人群與感染人群的總和，該模型沒有考慮疾病被治愈或死亡的情況，在現(xiàn)實中較少能找到相應(yīng)情景。SIR 模型[2]在SI 模型基礎(chǔ)考慮了移出狀態(tài)(R)，對應(yīng)疾病被治愈或死亡的狀態(tài)，感染人群以單位時間傳染概率γ 由感染狀態(tài)轉(zhuǎn)移至移除狀態(tài)。SIS 模型[3]考慮了重復(fù)傳染的情況，經(jīng)歷了完整感染周期后，感染人群以單位時間傳染概率 σ由感染狀態(tài)轉(zhuǎn)移至易感狀態(tài)。SEIR 模型在SIR 模型基礎(chǔ)考慮了潛伏狀態(tài)(E)，易感狀態(tài)以單位時間傳染概率β 轉(zhuǎn)移至潛伏狀態(tài)，潛伏狀態(tài)以位時間傳染概率 γ轉(zhuǎn)移至感染狀態(tài)。在疾病傳播分析領(lǐng)域，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳播模型的應(yīng)用較為廣泛，眾多學(xué)者對SARS[4-9]、中東呼吸綜合征(MERS)[10-11]、HIV[12-14]等傳染疾病展開建模分析。

本文基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，建立了帶有潛伏期的COVID-19 流行病SEIR 傳播動力學(xué)模型，對新型冠狀病毒的傳播及其拐點進行預(yù)測分析，試圖為疫情防控提供理論支持和實踐指導(dǎo)。

2 疫情發(fā)展現(xiàn)狀及其特點

從全國、湖北和武漢市的疫情數(shù)據(jù)來看[15-17]，新冠肺炎每日新增確診病例雖略有波動，但總體呈現(xiàn)明顯的上升趨勢，且累計確診病例上升趨勢均較為明顯(見圖1)。從圖1 可觀測到2020 年1 月27日每日新增確診病例數(shù)有明顯提高，經(jīng)推測與病毒檢測試劑盒的充足供給有關(guān)。2020 年2 月4 日后全國新增病例數(shù)波動幅度明顯減小，推測疫情已達到增速拐點附近。

圖1 我國當(dāng)前新冠肺炎確診人數(shù)發(fā)展趨勢

進一步地，從新增病例的增速來看(見圖2)，近幾日來，武漢市新增確診病例增速均超過湖北省和全國的增速，表明在各地政府相應(yīng)政策措施下，全國總體疫情正在得到有效控制，但湖北特別是武漢，其疫情發(fā)展及防控形勢依然比其他地區(qū)嚴峻。

圖2 確診病例增速趨勢

從除湖北省以外全國新增確診病例的情況來看(見圖3)，盡管連續(xù)兩日(2020 年1 月31 日和2 月1 日)出現(xiàn)總體下降的趨勢，但隨著全國各地復(fù)工和返程乘客的增加，2 月2 日和2 月3 日，湖北省外全國新增確診病例呈現(xiàn)不降反升的趨勢，表明隨著人口流動和各地人員的聚集，加大了疫情傳播的風(fēng)險，也增大了各地疫情防控的難度。

圖3 除湖北省外全國新增確診人數(shù)發(fā)展趨勢

由此可見，截至2020 年2 月8 日，全國疫情基本得到穩(wěn)定控制，但是湖北特別是武漢，未來趨勢依然嚴峻，疫情拐點依然不明朗。因此，針對武漢的特殊情況，結(jié)合本次新冠肺炎的傳播特點，本文采用SEIR 模型對新冠肺炎的傳播進行研究。

3 基于SEIR 模型的武漢市新冠肺炎疫情傳播動力學(xué)分析

從目前病例的觀察來看，此次武漢疫情的特點主要是病毒具有潛伏期。截至目前，國家衛(wèi)健委專家表示病毒的平均潛伏期大約在7 天左右，最長14 天，且在潛伏期也有傳染性。而傳統(tǒng)的SIR 疾病傳播模型，缺少對潛伏期的刻畫，因此本文選擇包含4 種狀態(tài)(易感狀態(tài)-潛伏狀態(tài)-感染狀態(tài)-移出狀態(tài))的SEIR 模型[4]來對此次武漢市疫情的動力學(xué)過程進行分析。

SEIR 模型將研究對象分為S、E、I、R 4 種類型：

1) S 為易感狀態(tài)(susceptible)，表示潛在的可感染人群，個體在感染之前是處于易感狀態(tài)的，即該個體有可能被鄰居個體感染。對應(yīng)本次疫情，S 并不是指城市人口總數(shù)，因為并不是所有人都有接觸到感染者的機會，在SEIR 模型中只有患病群體直接接觸到的人才處于易感狀態(tài)。

2) E 為潛伏狀態(tài)(exposed)，表示已經(jīng)被感染但沒有表現(xiàn)出感染癥狀來的群體。

3) I 為感染狀態(tài)(infected)，表示表現(xiàn)出感染癥狀的人，該個體還會以一定的概率感染其能接觸到的易感個體。

4) R 為移出狀態(tài)(removed)，表示脫離系統(tǒng)不再受到傳染病影響的人(痊愈、死亡或被有效隔離的人)。

記 S(t)、E(t)、I(t)、R(t)分別為時刻t 的易感人群數(shù)、潛伏人群數(shù)、感染人群數(shù)、移出人群數(shù)，顯然有 S(t)+E(t)+I(t)+R(t)≡N，其中N 為種群的個體數(shù)。

假設(shè)一個易感狀態(tài)在單位時間 τ里與感染個體接觸并被傳染的概率為β。由于易感個體的比例為S/N，時刻t 網(wǎng)絡(luò)中總共有I(t)個感染個體，所以易感個體的數(shù)目按照如下變化率減?。?/p>

相應(yīng)地，潛伏個體的數(shù)目按照如下變化率增加，并且整體以單位時間概率 γ1轉(zhuǎn)化為感染個體：

感染個體數(shù)目由潛伏群體提供，個體同時以單位時間概率 γ2轉(zhuǎn)化為移除狀態(tài)：

相應(yīng)地移除個體以概率 γ2由感染群體往移除個體轉(zhuǎn)化：

4 武漢市疫情傳播仿真及拐點預(yù)測分析

SEIR 模型對于參數(shù)設(shè)置的敏感度較高，參數(shù)設(shè)置不合理將會使預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生較大誤差。根據(jù)上文構(gòu)建的模型，從2019 年12 月8 日我國第一個不明原因肺炎發(fā)現(xiàn)者的報道時間作為第一天。國家衛(wèi)健委專家組成員于2020 年1 月21 號接受采訪表示新型冠狀病毒肺炎的潛伏期在7 天左右，本次新冠肺炎的潛伏期的均值假定為7 天。根據(jù)文獻[8]的研究表明，可設(shè)定 γ1為 潛伏期的倒數(shù)γ1=1/7 =0.142 9。

對于參數(shù) β 、 γ2和 N的設(shè)定，本文采用啟發(fā)式算法[18]，由于參數(shù) β表示的是易感個體單位時間里與感染個體接觸并被傳染的概率，參數(shù) γ2表示的是感染個體單位時間里轉(zhuǎn)移為移出群體的概率，故β,γ2∈[0,1]，本文對該范圍進行隨機采樣，粒度為1×10?4。同時對N 也進行隨機采樣，粒度為1 000，單位為人。把對 β 、 γ2和 N的采樣過程進行迭代，設(shè)置迭代次數(shù)，不斷對 β 、 γ2和 N進行隨機采樣并代入上一章節(jié)的微分方程求解，并通過均方根誤差(RMSE)最小的約束原則與真實數(shù)據(jù)進行比對，優(yōu)化得到該粒度下的最優(yōu)解參數(shù)。

本文將研究群體總數(shù)定義為 N=S+E+I+R。基于此，運用Python 仿真平臺進行模擬，可得新型冠狀病毒傳播過程中各群體隨時間的演化結(jié)果，如圖4 所示。

圖4 基于SEIR 模型的仿真結(jié)果(潛伏期7 天)

從圖4 可以看到，無論是E 型(暴露者)還是I 型(感染者)，在初期都呈現(xiàn)上升趨勢，但增長相對緩慢，在第40 天?第50 天(2020 年1 月16 日?1 月26 日)左右開始加速增長，在第75 天?第85 天(2020 年2 月20 日?3 月1 日)達到高峰，之后開始下降直至消失。

本文將武漢的確診人數(shù)變化趨勢與圖中的I 型人群進行擬合。當(dāng)前(2020 年2 月8 號)為新冠肺炎爆發(fā)的第63 天，官方公布的確診人數(shù)為14 982人[2]。

1) 若按照上述給定的潛伏期(即7 天)進行仿真，可得到I 型群體(即感染群體)人數(shù)的動力學(xué)演化結(jié)果如圖5 所示。從圖5 可知，當(dāng)前武漢的感染群體演變階段處于該曲線的上升部分，且研究對象的總?cè)藬?shù)N 為189 000 人左右，即武漢市接觸新冠肺炎患者的總?cè)藬?shù)約為189 000 人。根據(jù)I 型曲線的發(fā)展趨勢可預(yù)測該群體的近期發(fā)展趨勢，I 型群體人數(shù)將在一段時間的上升后達到高峰，武漢的新冠肺炎感染人數(shù)的峰值可達到約31 500人，可以看到此次疫情傳播大約在第74 天(即2020 年2 月19 日)出現(xiàn)拐點，即疫情控制效果開始顯現(xiàn)。

圖5 基于SEIR 模型的武漢市疫情預(yù)測結(jié)果(潛伏期7 天)

2) 由于對于疾病的統(tǒng)計研究尚處于初期階段，關(guān)于疾病的統(tǒng)計學(xué)指標(biāo)還沒有公認結(jié)論，根據(jù)文獻[19]的最新研究表明，平均潛伏期為5.2 天。本文假定潛伏期為5 天，經(jīng)過仿真可得到I 型群體(即感染群體)人數(shù)的動力學(xué)演化結(jié)果如圖6 所示。從圖6 可知，當(dāng)前武漢的感染群體演變階段處于該曲線的上升部分，且研究對象的總?cè)藬?shù)N 為141 000人左右，即武漢市接觸新冠肺炎患者的總?cè)藬?shù)約為141 000 人。根據(jù)I 型曲線的發(fā)展趨勢可預(yù)測該群體的近期發(fā)展趨勢，I 型群體人數(shù)將在一段時間的上升后達到高峰，武漢的新冠肺炎感染人數(shù)的峰值可達到約29 000 人，可以看到此次疫情傳播大約在第71 天(即2020 年2 月16 日)出現(xiàn)拐點，即疫情控制效果開始顯現(xiàn)。

3) 若假定潛伏期為10 天，可得到I 型群體(即感染群體)人數(shù)的動力學(xué)演化結(jié)果如圖7 所示。從圖7 可知，當(dāng)前武漢的感染群體演變階段處于該曲線的上升部分，且研究對象的總?cè)藬?shù)N 為215 000人左右，即武漢市接觸新冠肺炎患者的總?cè)藬?shù)約為215 000 人。根據(jù)I 型曲線的發(fā)展趨勢可預(yù)測該群體的近期發(fā)展趨勢，I 型群體人數(shù)將在一段時間的上升后達到高峰，武漢的新冠肺炎感染人數(shù)的峰值可達到約34 100 人，可以看到此次疫情傳播大約在第78 天(即2020 年2 月23 日)出現(xiàn)拐點，即疫情得到有效控制。

圖6 基于SEIR 模型的武漢市疫情預(yù)測結(jié)果(潛伏期5 天)

圖7 基于SEIR 模型的武漢市疫情預(yù)測結(jié)果(潛伏期10 天)

圖8 基于SEIR 模型的武漢市疫情預(yù)測結(jié)果對比(潛伏期7 天)

4) 基于潛伏期為7 天的情景，為檢驗易感人群規(guī)模對預(yù)測結(jié)果的影響程度，本文將易感人群的初始值N 人工設(shè)置為原參數(shù)的兩倍，可得到同情景不同易感人口設(shè)置的情況下，I 型群體(即感染群體)人數(shù)的動力學(xué)演化結(jié)果，如圖8 所示?？梢钥吹剑芯繉ο蟮目?cè)藬?shù)設(shè)定至原數(shù)值兩倍時，新型肺炎感染人數(shù)的新峰值由31 500 人升高至61 700 人，約為原感染人數(shù)的兩倍，響應(yīng)較為敏感。而疫情傳播人數(shù)的拐點由第74 天延后至第78 天，疫情得到有效控制的日期有少許延后，但響應(yīng)度一般。

5 結(jié)論與防控對策分析

從上述分析可以得出以下結(jié)論：

1) 除湖北之外全國疫情基本得到有效控制。無論從全國、湖北還是武漢來看，確診人數(shù)雖然依然呈現(xiàn)上升趨勢，但除湖北外全國新增確診人數(shù)開始出現(xiàn)拐點，表明全國疫情控制效果明顯。但湖北特別是武漢，增速仍然比除湖北外其他地區(qū)高，其疫情發(fā)展和防控形勢依然嚴峻。

2) 隨著全國各地復(fù)工和返程乘客的增加，疫情傳播的風(fēng)險加大，各地疫情防控的難度也增大。從SEIR 模型擬合的結(jié)果來看，武漢當(dāng)前處于上升的中間階段，并且在未來一段時間感染患者的數(shù)量依然保持上升。隨著春節(jié)假期結(jié)束，越來越多的人返回武漢，在公眾場合暴露的人員(易感人群)增加，人們將有更大概率接觸到感染者，當(dāng)疾病傳播概率等條件不變的條件下，易感人群增加將會使疫情拐點向后延遲，并使感染總?cè)丝跀?shù)增加。

3) 武漢疫情拐點出現(xiàn)時間在2020 年2 月20 日至25 日之間。在保持當(dāng)前的治愈率水平的基礎(chǔ)上，在3 種潛伏期的條件下，I 型群體的演變均呈現(xiàn)先上升后下降的變化趨勢，且其變化過程存在拐點。當(dāng)平均潛伏期分別為5 天、7 天與10 天的條件下，武漢市的感染患者數(shù)量達到的峰值分別為29 000 人、31 500 人與34 100 人，且疫情傳播的拐點分別為第71 天(2020 年2 月16 日)、第74 天(2020 年2 月19 日)與 第78 天(2020 年2 月23日)。武漢感染患者的數(shù)量依然持續(xù)保持上升。武漢當(dāng)前處于上升的中間階段，并且在未來一段時間感染患者的數(shù)量依然保持上升。

4) 易感人群數(shù)量增加將會提升感染人群的峰值，并且使疫情傳播人數(shù)的拐點后移，可能使得疫情的增速出現(xiàn)多個峰值。春運返程將會向城市輸送數(shù)量龐大的人口，人員聚集在高鐵站、地鐵站、飛機場等公共場所。當(dāng)人群中存在潛伏病例或感染病例時，將會大幅度提高易感人群的數(shù)量。

在此基礎(chǔ)上，本文給出以下防控措施：

1) 建議武漢市大中小學(xué)開學(xué)時間延遲到3 月后，確保學(xué)校安全。此次疫情的萬幸之地是高?；旧蠜]有被感染。2) 隨著全國各個地方復(fù)工和返程乘客的增加，一定要做好返鄉(xiāng)人員的排查、隔離工作，防止疫情反彈。3) 需要盡快對存在確診或疑似病例患者的樓棟和小區(qū)進行全面消毒，斬斷這些樓棟和小區(qū)的后續(xù)傳染能力。對主要街道進行統(tǒng)一消毒。4) 組織傳染病專家在電視和微信上開辟專題或公眾號，介紹流行病防治的經(jīng)驗、故事和防護知識，進行公共衛(wèi)生知識、良好衛(wèi)生習(xí)慣的宣傳普及。5) 組織高校心理學(xué)教師和社會組織心理服務(wù)團隊，通過電視、微信、網(wǎng)絡(luò)等方式，介紹隔離期間心理疏導(dǎo)的有效方法，舒緩焦慮和恐慌心理。6) 利用中小學(xué)生隔離在家的機會，教育部門統(tǒng)籌布置各個學(xué)校加強對學(xué)生進行公共衛(wèi)生知識、公共衛(wèi)生習(xí)慣的普及教育，而不是著急網(wǎng)絡(luò)課程學(xué)習(xí)。