新冠肺炎疫情傳播的一般增長模型擬合與預(yù)測

張 琳

(北京郵電大學(xué)理學(xué)院 北京 海淀區(qū) 100876)

2020 年1 月31 日，世界衛(wèi)生組織宣布，新冠肺炎疫情構(gòu)成全球突發(fā)公共衛(wèi)生事件。在病毒傳播過程中，挖掘疫情發(fā)展數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律，結(jié)合合理的理論模型進(jìn)行預(yù)測，能夠?yàn)橐咔榉揽靥峁┯袃r(jià)值的參考。

本文基于病毒傳播初期過后的次指數(shù)增長現(xiàn)象[1]，在指數(shù)增長微分方程的基礎(chǔ)上，采用了一般形式的微分方程，并根據(jù)該一般方程的顯式解，對疫情發(fā)展數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。本文擬合的疫情發(fā)展數(shù)據(jù)來自國家衛(wèi)生健康委員會的公開數(shù)據(jù)，包括2020 年1 月15 日?2 月15 日全國累計(jì)確診病例數(shù)、以及2020 年1 月23 日?2 月15 日全國累計(jì)疑似病例數(shù)和全國累計(jì)密切接觸人數(shù)。非線性擬合的結(jié)果與已發(fā)布數(shù)據(jù)高度吻合。在非線性擬合方程的基礎(chǔ)上，本文給出了此后10 日(2020 年2 月16 日?2 月25 日)的趨勢預(yù)測，為疫情防控提供參考。

1 模型與方法

理論上，在病毒傳播的初期，因資源不受限制，其增長方式呈指數(shù)函數(shù)，滿足：

式中， y(t)=y(0)ert， y(0)為 初始感染人數(shù)， r為增長速率。然而，在很多已經(jīng)爆發(fā)的傳染病中，相比于指數(shù)增長，次指數(shù)的增長趨勢在疫情傳播初期更為常見。如HIV/AIDS[2-4]、埃博拉[5]和手足口[6]等實(shí)證數(shù)據(jù)，都呈現(xiàn)了次指數(shù)的增長方式。

次指數(shù)增長方式的內(nèi)在機(jī)制，主要有如下幾方面解釋：空間異質(zhì)性、群聚感染[6-7]、以及感染參數(shù)的時(shí)間異質(zhì)性[4]等。在SIR 模型中，考慮空間異質(zhì)性[4,7-9]、傳染率的時(shí)變性[6-7,9-12]以及異質(zhì)混合模型[13-14]，都能夠呈現(xiàn)出次指數(shù)的增長方式?？紤]到2020 年1 月23 日武漢開始“封城”，加之全國各省市防疫工作的陸續(xù)開展，新冠肺炎傳播在時(shí)間、空間上異質(zhì)性明顯，且發(fā)病多呈現(xiàn)集聚感染的情況，都與次指數(shù)增長方式產(chǎn)生的機(jī)制吻合。

下文的擬合中，在次指數(shù)模型的基礎(chǔ)上，拓展模型參數(shù)范圍，使其不僅適用于疫情發(fā)展初期的指數(shù)增長和次指數(shù)增長，還適用于疫情發(fā)展到當(dāng)前階段，增長速度放慢情形的擬合，擬合結(jié)果與國家衛(wèi)生健康委員會每日發(fā)布的累計(jì)確診人數(shù)、累計(jì)疑似人數(shù)和累計(jì)密切接觸人數(shù)的公布數(shù)據(jù)高度契合。

本文在文獻(xiàn)[2, 7]給出的病毒傳播的一般增長(generalized-growth)模型基礎(chǔ)上，對尺度參數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展。首先，一般增長模型在式(1)的指數(shù)增長微分方程基礎(chǔ)上，引入可調(diào)參數(shù) p ∈[0,1]，稱為增長率的負(fù)加速度參數(shù)。一般增長模型刻畫的累計(jì)感染人數(shù) y(t)滿足：

y′(t)=ry(t)p(2)

式中， r>0表 示增長率； p ∈[0,1]為增長率的負(fù)加速度參數(shù)，當(dāng) p=0時(shí)，累計(jì)感染人數(shù)呈線性增長；當(dāng) p=1時(shí)，方程退化為式(1)。

微分方程(2)的精確解為：

式中， y(0)為 初值；當(dāng) 0

新冠肺炎疫情的發(fā)展經(jīng)歷了不同的增長模式。本文將確診數(shù)據(jù)的擬合分為三個階段：無障礙指數(shù)增長、次指數(shù)增長及次線性增長階段，反映了疫情防控工作的階段進(jìn)展，為新冠肺炎疫情的趨勢預(yù)測提供參考。

2 擬合結(jié)果

本文數(shù)據(jù)采集自國家衛(wèi)生健康委員會每日疫情通報(bào)。數(shù)據(jù)采用每天更新的前一天0～24 時(shí)全國病例更新數(shù)據(jù)，采集數(shù)據(jù)包括全國確診累計(jì)病例數(shù)、全國疑似累計(jì)病例數(shù)和全國密切接觸累計(jì)人數(shù)，數(shù)據(jù)截至2020 年2 月15 日24 時(shí)。

以式(3)對2020 年1 月15 日?2 月15 日全國新冠肺炎的累計(jì)確診人數(shù)、2020 年1 月23 日?2 月15 日的累計(jì)疑似人數(shù)和累計(jì)密切接觸人數(shù)，進(jìn)行非線性擬合，擬合參數(shù)包括r 、 p 和y (0)。

2.1 累計(jì)確診人數(shù)

參考疫情發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)間節(jié)點(diǎn)，全國新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)的擬合分三個階段，第一階段為2020 年1 月15 日?1 月27 日，本階段的疫情確診人數(shù)擬合參數(shù)為：

r=0.198 p=1.098 y(0)=43.2

從擬合參數(shù)看， p約為1，這一階段新冠肺炎確診人數(shù)呈指數(shù)增長，其原因是疫情發(fā)展初期，病毒廣泛傳播。

第二階段為2020 年1 月27 日?2 月6 日。本階段擬合參數(shù)為：

r=12.6 p=0.559 y(t0)=3167

此階段尺度參數(shù) p<1，增長呈現(xiàn)次指數(shù)的冪函數(shù)增長。經(jīng)過上一階段疫情的迅猛發(fā)展，人們防護(hù)意識增強(qiáng)，減少出行，主動隔離，疫情傳播得到一定程度的抑制，同時(shí)診斷能力有限。

第三階段為2020 年2 月6 日至本文數(shù)據(jù)截止時(shí)間2020 年2 月15 日。除去臨床確診病例數(shù)，本階段的擬合參數(shù)為：

r=9.6×109p=?1.434 y(t1)=2.8×104

這一階段， p<0，式(3)的增速小于線性?！胺獬恰?4 日后，第一個隔離期結(jié)束，火神山醫(yī)院啟用，全國各地醫(yī)護(hù)人員馳援疫情發(fā)源地，疫情得到有效控制。在這一階段，控制成效顯著。

2020 年2 月12 日?2 月15 日發(fā)布了含臨床診斷的確診病例數(shù)。采用這4 日的數(shù)據(jù)，得到如下擬合參數(shù)：

r=4.2×106p=?0.659 y(t2)=5.7×104

盡管4 天的數(shù)據(jù)量少，仍能為疫情發(fā)展趨勢提供參考。實(shí)證數(shù)據(jù)與擬合曲線如圖1 所示。

圖1 新冠肺炎全國累計(jì)確診人數(shù)及其三階段擬合曲線

在圖1 中，2020 年1 月27 日?2 月6 日的次指數(shù)擬合曲線(圖中點(diǎn)劃線)，其預(yù)測值與2 月12 日公布的含臨床確診病例數(shù)據(jù)非常接近；2 月12 日?2 月15 日含臨床診斷的確診病例數(shù)據(jù)的次線性擬合曲線(圖中實(shí)線)向前追溯11 日，與2 月1 日公布的確診病例數(shù)據(jù)接近。盡管這兩條曲線無法得知2 月12 日之前含臨床診斷的確診數(shù)據(jù)的演化方式，仍能為認(rèn)識該階段疫情發(fā)展提供參考。

2020 年2 月12 日?2 月15 日含臨床診斷的累計(jì)確診病例數(shù)呈次線性增長，擬合參數(shù)為 p=?0.659。結(jié)合下文累計(jì)疑似病例數(shù)與累計(jì)密切接觸人數(shù)的增長趨勢，次線性增長方式將在一定時(shí)間段內(nèi)持續(xù)，其次線性的參數(shù) p將進(jìn)一步減小，增速會放緩。疫情目前處于膠著對峙階段。

2.2 累計(jì)疑似人數(shù)與累計(jì)密切接觸人數(shù)

新冠肺炎累計(jì)疑似病例數(shù)擬合的分為兩個階段。第一階段為2020 年1 月23 日?2 月3 日，擬合參數(shù)為：

r=75.8 p=0.409 y(0)=?0.004 3

這一階段為次指數(shù)增長， p=0.409。武漢“封城”后，人們對防控疫情的重視程度提升，疫情得到了一定程度的控制，疫情發(fā)展呈現(xiàn)次指數(shù)。

第二階段為2020 年2 月3 日至本文數(shù)據(jù)截止時(shí)間2 月15 日。擬合參數(shù)為：

r=9.4×108p=?1.126 y(t1)=3.6×104

疑似人數(shù)隨著醫(yī)療資源的配置得到快速診斷，疑似人數(shù)次線性指數(shù) p=?1.126，累計(jì)疑似人數(shù)增長呈次線性，且次線性程度較大。實(shí)證數(shù)據(jù)與擬合曲線如圖2 所示。

圖2 新冠肺炎全國累計(jì)疑似人數(shù)及其兩階段曲線擬合

新冠肺炎疫情累計(jì)密切接觸人數(shù)的擬合與疑似人數(shù)類似。同樣分為兩個階段，第一階段為2020年1 月23 日?2 月3 日，擬合參數(shù)為：

r=97.1 p=0.472 y(0)=1 531

第二階段為2020 年2 月3 日?2 月15 日，擬合參數(shù)為：

r=1.4×108p=?0.666 y(t1)=1.8×105

從兩階段的參數(shù)看，疑似與接觸在次指數(shù)增長階段的參數(shù)較為相似，但在次線性階段的參數(shù)反映了累計(jì)密切接觸人數(shù)的下降幅度并沒有預(yù)期的快，其原因或與確診后的追蹤滯后有關(guān)。累計(jì)密切接觸人數(shù)的實(shí)證數(shù)據(jù)與擬合曲線如圖3 所示。

圖3 新冠肺炎全國累計(jì)密切接觸人數(shù)及其兩階段曲線擬合

3 結(jié) 束 語

本文借助一般增長模型，對新冠肺炎疫情的確診、疑似和密切接觸人數(shù)進(jìn)行分階段非線性擬合。擬合結(jié)合疫情發(fā)展過程，進(jìn)行合理分段，擬合結(jié)果與實(shí)證數(shù)據(jù)高度吻合，能夠?yàn)橐咔榈姆揽匦Ч约鞍l(fā)展趨勢提供參考。

指數(shù)、次指數(shù)、次線性函數(shù)的增長方式均由式(3)給出，其背后的產(chǎn)生機(jī)制可從非時(shí)齊隨機(jī)過程和隨機(jī)環(huán)境中的隨機(jī)過程的理論中得到啟示。新冠疫情的發(fā)展過程可用年齡依賴的分枝過程刻畫，其中年齡用來刻畫每位患者從感染到確診并隔離住院的這段時(shí)間，在此期間，新冠肺炎病毒攜帶者具有傳染性，并能夠感染給更多與之接觸的人，可建模為該患者的“后代”。結(jié)合新冠肺炎疫情傳播的實(shí)際情況，該年齡依賴分枝過程的年齡分布、后代分布隨疫情防控的進(jìn)展，均呈現(xiàn)非時(shí)齊的特點(diǎn)。文獻(xiàn)[15]也指出，疾病傳播過程可由非時(shí)齊分枝過程相對應(yīng)。盡管關(guān)于非時(shí)齊年齡依賴分枝過程已有相關(guān)研究[16-17]，但與新冠肺炎疫情發(fā)展一致的非時(shí)齊模型并未得到深入研究，這也將是接下來的研究工作，借助非時(shí)齊的年齡依賴分枝過程，從仿真和理論兩方面，揭示新冠疫情傳播的內(nèi)在機(jī)制。

致謝 感謝北京師范大學(xué)新聞傳播學(xué)院吳曄教授的交流與討論。