一種群稀疏限制的消除條帶噪聲變分模型

陳 柳, 陳明舉,2*, 吳 浩, 薛智爽

(1.四川輕化工大學(xué) 人工智能四川省重點實驗室，四川 自貢643000；2.西南科技大學(xué) 特殊環(huán)境機(jī)器人技術(shù)四川省重點實驗室, 四川 綿陽 621000)

1 引 言

由于平面陣列中不同探測單元本身的差異以及外界的電磁與溫度等因素的影響，導(dǎo)致不同探測單元具有不同的響應(yīng)函數(shù)，此外平面陣列在正反來回掃描中存在行間差異，因而使獲得的圖像出現(xiàn)與掃描方向相同的條帶噪聲[1-2]。條帶噪聲廣泛存在于紅外圖像與光譜遙感圖像中，造成圖像視覺質(zhì)量的下降，不利于對圖像進(jìn)行分析、識別等后續(xù)處理。因此，采用有效的方法去除條帶噪聲，提高圖像的清晰度是圖像處理中一個熱門課題。

目前，條帶噪聲去除主要分為頻域濾波方法和空域統(tǒng)計特征方法。頻域濾波方法主要利用條帶噪聲具有周期性的特點，通過頻譜分析確定條帶噪聲所處頻域區(qū)域以實現(xiàn)噪聲的消除[3-4]。由于圖像部分信息與條帶噪聲處于同一個頻段，頻域法在去除噪聲的同時不可避免地會消除部分圖像信息，從而導(dǎo)致去噪后圖像細(xì)節(jié)模糊與階梯效應(yīng)?；趫D像空域統(tǒng)計特征方法主要有匹配法、稀疏分解和變分法等方法。匹配法以圖像像素值的統(tǒng)計特性為前提，去噪效果依賴于統(tǒng)計的準(zhǔn)確性，當(dāng)圖像像素較少或像素值不均勻分布時，其去噪性能變差[4-5]。稀疏表示(Sparse decomposition，SD)利用圖像空間上的冗余性與相似性，利用字典學(xué)習(xí)與稀疏系數(shù)重構(gòu)圖像，實現(xiàn)圖像與噪聲的分離[6]。Zhang等人[7]認(rèn)為原始圖像可以表示成低秩矩陣，提出了去除條帶噪聲的圖像的低秩稀疏模型(Low-rank single-image decomposition，LRSID)，有效地實現(xiàn)了遙感圖像的復(fù)原。Dou等人[8]根據(jù)圖像相鄰像素值的相關(guān)性與條帶噪聲的特性，構(gòu)建非凸的L0范數(shù)稀疏模型，并通過實驗證明該模型具有較好的去噪性能。稀疏表示可以有效地重構(gòu)圖像，但未考慮條帶噪聲的特性，其去除條帶噪聲的性能存在一定的局限。鑒于此，Bouali等人[9]依據(jù)條帶噪聲的特點，將變分理論(Total variational，TV)應(yīng)用到條帶噪聲去除中，構(gòu)造了去除條帶噪聲的L1范數(shù)單向變分模型(Unidirectional total variational，UTV)。該模型在消除條帶噪聲的同時能較好地保護(hù)圖像的細(xì)節(jié)信息，但該模型過度對圖像梯度約束，不可避免地產(chǎn)生階梯效應(yīng)。隨后，一些學(xué)者對UTV模型進(jìn)行改變，提出了一些改進(jìn)模型。如，Chang等[10]將圖像的framelet變換系數(shù)的L1范數(shù)加入UTV模型的限制項，實現(xiàn)了條帶噪聲區(qū)域與非噪聲區(qū)域不同平滑。Ayoub等[11]針對UTV模型過度平滑圖像的邊緣問題，將邊緣感知權(quán)值引入到UTV模型，更好地保護(hù)了圖像的邊緣信息。然而，這些變分模型著重變分技術(shù)對圖像梯度的約束[12-13]，未充分考慮圖像空域的相似性與條帶噪聲的幾何特性，去噪性能有待進(jìn)一步提高。

鑒于此，本文針對條帶噪聲的特性，在單向變分模型的基礎(chǔ)上，采用群稀疏技術(shù)對條帶噪聲加以限制，提出充分考慮圖像結(jié)構(gòu)相似性與條帶噪聲幾何特性的群稀疏技術(shù)約束的單向變分模型(Unidirectional total variation model with group sparsity constraint，UTVGSC)，并給出該模型的優(yōu)化求解過程。

2 群稀疏約束的單向變分模型

2.1 單向變分模型的不足

假設(shè)圖像u受條帶噪聲s的干擾，獲得退化圖像f可以表示為：

f=u+s，

(1)

與常見的隨機(jī)噪聲不同，條帶噪聲s是一種結(jié)構(gòu)性強(qiáng)的噪聲，具有單一方向的結(jié)構(gòu)特性，在該方向的梯度近似不變, 如圖1(b)所示。受條帶噪聲干擾的圖像，通常只有一個方向的梯度受條帶噪聲的影響，另外一個與之正交方向的圖像梯度幾乎不受干擾，條帶噪聲干擾圖像如圖1(c)所示。

圖1 條帶噪聲與含噪圖像Fig.1 Stripe noise and noisy images

經(jīng)典的去除條帶噪聲的單向變分模型就是基于上述特性構(gòu)建的，通過極小化圖像x方向(水平方向)的梯度與條帶噪聲y方向(垂直方向)的梯度的L1范數(shù)，建立的模型如下：

(2)

由于條帶噪聲在y方向梯度幾乎為0，對‖ys‖1極小化可以減少條帶噪聲；圖像在x方向的梯度連續(xù)，極小化‖xu‖1項可以有效地消除高頻噪聲對圖像的影響。該單向變分模型在去除圖像條帶噪聲中取得了一定的效果，但該模型過度強(qiáng)調(diào)變分模型對圖像的描述，不可避免地在圖像的平滑區(qū)域產(chǎn)生階梯效應(yīng)。同時，該模型忽略條帶噪聲結(jié)構(gòu)上的相似性，未充分利用條帶噪聲之間存在的稀疏性，去除條帶噪聲的能力有待進(jìn)一步提高。

2.2 群稀疏約束的單向變分模型

圖像的群稀疏表示在實現(xiàn)圖像整體稀疏表示前提下，更好地考慮圖像中的結(jié)構(gòu)相似信息。圖像群稀疏表示通過極小化圖像的L1,2范數(shù)來實現(xiàn)。令A(yù)=[α1,…,αl]∈Rk×l，αi為矩陣A的一列，采用L1,2范數(shù)對矩陣A加以限制：

(3)

通過極小化‖A‖1,2便可以實現(xiàn)矩陣A的群稀疏表示。相對于稀疏表示，群稀疏表示不僅使矩陣每一列不為0的系數(shù)盡量少，且各列不為0的系數(shù)出現(xiàn)的位置相同(圖2(b))，從而在實現(xiàn)圖像稀疏表示的前提下，有效地表達(dá)圖像中相似結(jié)構(gòu)信息。

圖2 稀疏表示與群稀疏的系數(shù)比較(圖中黑色方塊表示非0系數(shù))Fig.2 Comparison between sparsity and group sparsity(the black squares are nonzero coefficients)

考慮到條帶噪聲之間存在極強(qiáng)的結(jié)構(gòu)相似性，采用群稀疏技術(shù)能有效實現(xiàn)對條帶噪聲的描述。為有效利用條帶噪聲之間存在的結(jié)構(gòu)相似性，本文將對條帶噪聲加以群稀疏限制引入到單向變分模型中，以減弱單向變分模型產(chǎn)生的階梯效應(yīng)，更好地消除條帶噪聲，建立群稀疏技術(shù)約束的單向變分模型(Unidirectional total variation model with group sparsity constraint, UTVGSC)：

(4)

式(4)中:‖s‖2，1對條帶噪聲采用群稀疏表示，使優(yōu)化求得的圖像u更接近原始真實圖像。

2.3 群稀疏約束的單向變分模型的優(yōu)化求解

式(4)建立的UTVGSC模型是一個凸函數(shù)，可采用經(jīng)典的交替方向乘法(Alternating direction method of multipliers，ADMM)對其優(yōu)化求解[14]。引入輔助變量v、z與w，模型(4)非限制性問題可以轉(zhuǎn)化為帶限制項的極小化問題：

(5)

式(5)表示成拉格朗日函數(shù)為：

(6)

其中Λ為拉格朗日乘子。采用交替方向最小化的思想，式(6)可以分解成v,z,w,s,Λ幾個子問題。

v子問題可以表示為：

(7)

令v=[v1,...,vl]，vi為矩陣v的第i列，式(7)可以轉(zhuǎn)化為[15]：

(8)

v的求解可以通過閾值收縮迭代求得：

(9)

z、w子問題可表示為：

(10)

(11)

z、w的值可以通過軟閾值迭代更新求得：

(12)

(13)

s子問題可以表示為：

(14)

式(14)極小化求解問題，可令其導(dǎo)數(shù)為0，得：

(15)

s可以通過以下閉式解求得：

(16)

式(16)中F與F-1分別為傅里葉正反變化，其中，

為確保迭代過程的收斂性，迭代中產(chǎn)生的s(t)如果小于0，將其變成0；如果s(t)大于圖像像素值的最大值，則將其變成像素最大值。

另外，拉格朗日乘子Λ=[Λ1,Λ2,Λ3]的更新公式為

(17)

綜上所述，群稀疏約束的單向變分模型的ADMM優(yōu)化求解可以簡化如下：

群稀疏約束的單向變分模型的ADMM優(yōu)化求解步驟Input: 含條帶噪聲圖像fInitialize:u0=f,s0=f-u0While “Not converged” do:按式(9)更新v按式(12)、(13)更新z,w按式(16)更新s按式(17)更新拉格朗日乘子Λend whileOutput: 條帶噪聲s,從而得到u=f-s.

3 試驗結(jié)果及分析

為證明本文群稀疏約束的單向變分模型去除條帶噪聲的性能，將本文UTVGSC模型與LRSID、TV、DTV、SD去噪模型進(jìn)行對比分析。實驗中分別選取紅外圖像與高光譜遙感圖像兩組圖像加入不同強(qiáng)度的條帶噪聲進(jìn)行對比分析，采用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)[16]和結(jié)構(gòu)相似性(Structral Similarity Index，SSIM)[17-18]作為客觀評價指標(biāo)。

3.1 紅外圖像條帶噪聲的消除實驗

紅外圖像選取具有代表性的“Elephant”、“Warcraft”、“Tank”、“Man” 4幅圖像加入條帶噪聲進(jìn)行實驗，原始圖像如圖3所示。表1給出不同模型去除條帶噪聲前后的PSNR與SSIM的值，從表1可以看出本文的UTVGSC模型的PSNR與SSIM均高于其余4種模型。

圖3 原始紅外圖像Fig.3 Original infrared images

表1 不同紅外圖片不同模型去除條帶噪聲結(jié)果Tab.1 Denoising results of different models for different infrared images

續(xù) 表

圖4給出4幅紅外圖像采用不同模型去噪后的結(jié)果。從圖中可以看出，稀疏分解的結(jié)果殘留大量的條帶噪聲，這是由于條帶噪聲和圖像一樣具有稀疏性，單一的稀疏變換無法將二者分離。TV去噪的結(jié)果仍然存在較強(qiáng)的條帶干擾，這是由于TV模型未考慮條帶噪聲的方向性，從而不能有效去除條帶噪聲。與TV模型相比，DTV更好地考慮到條帶噪聲的方向性，去除圖像條帶噪聲的性能有一定幅度的提高，條帶噪聲在一定程度上得到減弱，如圖4(d)所示。LRSID較好地實現(xiàn)了圖像與條帶噪聲的分離，但去噪后圖像仍然存在少許條帶噪聲陰影。在所有的模型中，本文提出的UTVGSC模型獲得圖像是最清晰的，幾乎未發(fā)現(xiàn)殘留的條帶噪聲，圖像的輪廓與細(xì)節(jié)都得到了較好的保留，去除條帶噪聲的性能最優(yōu)。

(a)噪聲圖(a) Noise images

(b)SD結(jié)果(b) SD results

(c)TV結(jié)果(c) TV results

(d)DTV結(jié)果(d) DTV results

(e)LRSID結(jié)果(e) LRSID results

(f)本文UTVGSC結(jié)果(f) UTVGSC results圖4 紅外圖像不同模型處理結(jié)果Fig.4 Infrared images before and after restoration

3.2 高光譜圖像條帶噪聲的消除

圖5 原始高光譜圖像Fig.5 Original hyperspectral images

高光譜遙感圖像同樣選取具有代表性的4幅圖像加入條帶噪聲進(jìn)行實驗，原始高光譜遙感圖像如圖5所示。表2給出不同模型的PSNR與SSIM的值。表2數(shù)據(jù)再次證明，本文UTVGSC模型去除條帶噪聲的峰值信噪比與結(jié)構(gòu)相似性都明顯高于其他模型。通過對比圖6中各圖，再一次證明UTVGSC模型去除條帶噪聲獲得的圖像清晰度最高，去噪性能最優(yōu)。

表2 不同高光譜遙感圖片不同模型去除條帶噪聲結(jié)果Tab.2 Denoising results with different models use different hyperspectral images

(a)噪聲圖(a) Noise images

(b)SD結(jié)果(b) SD results

(c)TV結(jié)果(c) TV results

(d)DTV結(jié)果(d) DTV results

(e)LRSID結(jié)果(e) LRSID results

(f)本文UTVGSC結(jié)果(f) UTVGSC results圖6 高光譜遙感不同模型處理結(jié)果Fig.6 Hyperspectral images before and after restoration

4 結(jié) 論

針對現(xiàn)有的變分模型未充分考慮條帶噪聲結(jié)構(gòu)之間存在相似性的缺點，本文將群稀疏技術(shù)引入到單向變分模型中，建立群稀疏限制的單向變分模型，并推導(dǎo)出該模型的交替迭代優(yōu)化求解過程。由于本文提出的群稀疏技術(shù)限制的單向變分模型在極小化圖像變分項的前提下，利用群稀疏技術(shù)能充分考慮條帶噪聲的結(jié)構(gòu)相似特性，因此較好地實現(xiàn)了條帶噪聲的估計，在有效去除圖像條帶噪聲的同時能更好地保留圖像的結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)信息。在對比實驗中，從主客觀兩個方面證明本文提出的群稀疏限制的單向變分模型具有更好的去除條帶噪聲性能。因此，本文提出的群稀疏限制的單向變分模型能有效去除紅外、高光譜圖像中的條帶噪聲，具有極大的學(xué)術(shù)價值與廣泛的應(yīng)用前景。