X射線(xiàn)聚焦望遠(yuǎn)鏡鏡片裝配一體化建模和仿真

郝朝洋，邱樹(shù)涵，潘文婷，李 芬，顏 遠(yuǎn)，關(guān)曉飛

（1.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，上海200092；3.同濟(jì)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200092）

近20年來(lái)，隨著高能天文觀(guān)測(cè)的蓬勃發(fā)展，國(guó)際上先后發(fā)射了多顆X射線(xiàn)天文衛(wèi)星。這些衛(wèi)星多采用嵌套式Wolter-I型［1］或圓錐近似的類(lèi)Wolter-I型［2］望遠(yuǎn)鏡結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了高角分辨率和大集光面積的觀(guān)測(cè)，并取得了豐碩的成果。而中國(guó)在X射線(xiàn)天文領(lǐng)域的起步較晚，時(shí)間投入和資金投資相對(duì)有限，成果相對(duì)較少，目前為止僅自主研制了一顆X射線(xiàn)天文衛(wèi)星，并在硬X射線(xiàn)調(diào)制望遠(yuǎn)鏡（HXMT）［3］領(lǐng)域初步獲得一些成果。此外，中國(guó)計(jì)劃于2025年發(fā)射X射線(xiàn)時(shí)變與偏振探測(cè)衛(wèi)星（XTP衛(wèi)星）［4］，采用類(lèi)似NuSTAR望遠(yuǎn)鏡的圓錐嵌套Wolter-Ⅰ型結(jié)構(gòu)［5］，并且用圓柱玻璃鏡片進(jìn)行壓制，設(shè)計(jì)的角分辨率在1'左右，這將會(huì)是世界上首個(gè)搭載大面積X射線(xiàn)偏振望遠(yuǎn)鏡的天文觀(guān)測(cè)臺(tái)，擁有超5 000 cm2的總探測(cè)面積。XTP衛(wèi)星的發(fā)射將極大有利地推動(dòng)極端條件下基本物理規(guī)律的研究進(jìn)展。但是現(xiàn)今對(duì)光學(xué)元件的加工精度以及裝配檢測(cè)手段達(dá)不到XTP衛(wèi)星的X射線(xiàn)聚焦能力的要求，導(dǎo)致X射線(xiàn)成像和探測(cè)技術(shù)發(fā)展困難重重。

圓錐嵌套Wolter-I型結(jié)構(gòu)既相對(duì)Wolter-I型結(jié)構(gòu)有著性能的提升，又沒(méi)有嵌套Wolter-I型結(jié)構(gòu)那樣高的制作成本和難度，目前被廣泛采用?？紤]在裝配初期進(jìn)行柱面玻璃熱彎效果的檢查和控制，可以利用目前的計(jì)算機(jī)全息檢測(cè)技術(shù)［6］，來(lái)減少每層鏡片的幾何誤差。而影響裝配質(zhì)量的另一個(gè)關(guān)鍵因素是裝配過(guò)程產(chǎn)生的偏差，對(duì)此則很難找到合適途徑在裝配過(guò)程中進(jìn)行實(shí)時(shí)的檢測(cè)和控制，并且實(shí)驗(yàn)時(shí)間長(zhǎng)、材料成本高，人工、設(shè)施等成本高，故計(jì)算機(jī)仿真模擬是一個(gè)很好的解決手段。

目前利用有限元軟件模擬望遠(yuǎn)鏡鏡片裝配過(guò)程研究的建模方式主要為手動(dòng)建模，所建模型較為簡(jiǎn)單，分析方式不夠精細(xì)，不能快速、自動(dòng)、精確地得到裝配過(guò)程中所需的關(guān)鍵值以用于指導(dǎo)實(shí)際生產(chǎn)和制作。本文針對(duì)X射線(xiàn)聚焦望遠(yuǎn)鏡鏡片裝配過(guò)程，采用有限元軟件Abaqus結(jié)合Python語(yǔ)言進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)一體化地建立貼近實(shí)際的裝配模型，研究芯軸前后端半徑、石墨條間隔角度、鏡片厚度、鏡片半徑和裝配載荷對(duì)結(jié)構(gòu)面形偏差的影響，節(jié)省建模及數(shù)據(jù)處理時(shí)間，方便進(jìn)行大量模擬試驗(yàn)并得到系列對(duì)比結(jié)果，以此指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)室的裝配實(shí)際流程。

1 鏡片裝配過(guò)程分析

圓錐嵌套Wolter-I型結(jié)構(gòu)性能較好，又沒(méi)有嵌套Wolter-I型結(jié)構(gòu)那樣高的制作成本和難度，是較為廣泛采用的結(jié)構(gòu)。它的光路結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中，Lp和Lh分別為主、次軸的軸向長(zhǎng)度，g為主次軸間的間隙，Z為光軸方向，N為第N個(gè)主鏡入射X射線(xiàn)方向，d為相鄰兩個(gè)主鏡光路之間的距離，θN為主鏡與軸線(xiàn)之間的傾斜角，RN、rN分別為次鏡在中心和端點(diǎn)到光軸的距離，其大小與主鏡傾斜角相配合，使得射線(xiàn)經(jīng)過(guò)每一層主次鏡都聚焦到O點(diǎn)，f為焦距。

若實(shí)際主次鏡面與理想錐面在入射位置和反射角度上有出入，則將出現(xiàn)成像誤差。成像誤差的具體機(jī)理如圖2所示。圖中，Δd為主鏡面在徑向上的面形誤差，θ1N、θ2N分別為主、次鏡面與軸線(xiàn)之間的傾斜角。令一束與軸平行的X射線(xiàn)射入，ΔL1為從主鏡發(fā)生一次反射之后的軸向誤差，ΔL2為再?gòu)拇午R發(fā)生一次反射之后的軸向誤差。本文選取的最大面型誤差范圍為3μm［7］。

該結(jié)構(gòu)主、次鏡都疊合有多層鏡片，每層6片鏡片，每片角度約有60°，每個(gè)玻璃鏡片都撐有5根石墨條。裝配時(shí)把熱彎而成的柱面玻璃放在涂有超薄環(huán)氧樹(shù)脂膠的石墨條上，垂直于玻璃表面對(duì)橡膠壓條施加位移進(jìn)行加壓，在石墨條與玻璃充分接觸之后，等待環(huán)氧樹(shù)脂膠凝固，最后按一定次序卸載壓條。表1為鏡片裝配時(shí)其中一組常用的幾何參數(shù)。

把柱面的玻璃壓制到圓錐面的安裝面上，玻璃會(huì)變形產(chǎn)生偏差。會(huì)影響到玻璃鏡片安裝的面形偏差因素有：玻璃自身熱彎質(zhì)量、玻璃半徑（假設(shè)芯軸尺寸已固定）和裝配工藝等。本文默認(rèn)玻璃質(zhì)量達(dá)標(biāo)，僅考慮玻璃半徑和裝配工藝等的影響。由于要進(jìn)行大量的實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析，通過(guò)有限元軟件多次手工建模的成本很高，本文將通過(guò)有限元軟件Abaqus結(jié)合Python語(yǔ)言進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，建立一體化建模流程，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并嘗試為裝配優(yōu)化工藝提供技術(shù)支持和建議。

2 一體化建模和仿真流程

2.1 模型設(shè)置

不同于賀鵬飛等［7］的相關(guān)研究，本文采用三維模型進(jìn)行仿真和分析，考慮到芯軸剛度較高，在建模中不考慮其形變，并將石墨條與芯軸的接觸面簡(jiǎn)化為固定約束?？紤]到6個(gè)鏡片在結(jié)構(gòu)上具有對(duì)稱(chēng)性，但單個(gè)鏡片在裝配過(guò)程中并不具有對(duì)稱(chēng)性，本文將模型簡(jiǎn)化為研究一個(gè)鏡片。如圖3所示，1號(hào)壓條為中間壓條，2、3號(hào)壓條為二級(jí)壓條，4、5號(hào)壓條為三級(jí)壓條，壓條對(duì)應(yīng)的石墨命名順序也相同，這里壓條加載順序?yàn)?—2—3—4—5。

圖3 三維黏接分析有限元模型Fig.3 3-D finite element model

建模和仿真采用Abaqus有限元分析軟件，為避免剪切閉鎖問(wèn)題使用C3D8R單元，也可使用C3D8或C3D8I單元。局部有限元網(wǎng)格演示見(jiàn)圖3，各材料的性能參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 主要材料參數(shù)Tab.2 Parameters of materials

2.2 荷載加載和邊界條件

本文研究不同半徑鏡面的加載黏合過(guò)程，其與芯軸前后端的半徑有以下3種關(guān)系：鏡面半徑大于芯軸前后端半徑、鏡面半徑小于芯軸前后端半徑和鏡面半徑介于芯軸前后端半徑之間。這3種情況下力荷載的作用有所不同，第一種情況下中間壓條1上的力荷載是為了使鏡片接觸石墨1（自然狀態(tài)下分離），之后在2～5號(hào)壓條上施加的力荷載與壓條1的作用相同，這時(shí)壓條1所需的力荷載會(huì)略??；對(duì)于第二種情況，壓條1開(kāi)始不需要荷載（自然狀態(tài)下鏡片接觸石墨1），隨著2～5壓條上荷載的施加，壓條1需要一定荷載來(lái)防止鏡片與石墨分離；情況三則是前端為第一種情況，后端為第二種情況。對(duì)于不同參數(shù)下所需荷載的最優(yōu)數(shù)值，以前的研究均采用的是反復(fù)試算的方法，這無(wú)疑會(huì)大大增加工作量，并且實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確性不夠高。

本文將建立自適應(yīng)的位移荷載求反力法減少計(jì)算量并提高計(jì)算精度。位移荷載求反力法的目的是使鏡片與石墨條接觸，使用位移荷載配合自由度約束可以取代力荷載。首先在建模過(guò)程中旋轉(zhuǎn)鏡面與壓條，使得鏡面中線(xiàn)、1號(hào)壓條與1號(hào)石墨條平行，再將2～5號(hào)壓條繞芯軸旋轉(zhuǎn)到1號(hào)壓條兩側(cè)，最后抬升鏡面與壓條使它們與石墨條分離；接著依次為1～5號(hào)壓條施加位移荷載，位移大小用幾何方法計(jì)算，并在每步對(duì)鏡面、壓條和石墨條施加相應(yīng)的自由度約束。同時(shí)設(shè)置場(chǎng)輸出和歷程輸出時(shí)對(duì)壓條選擇反作用力（RF），這樣仿真結(jié)束后可以逐幀提取反作用力，其結(jié)果即為所需荷載，并可提取節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算面形誤差。位移荷載求反力法有其局限性，仿真實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)多數(shù)情況下（實(shí)際實(shí)驗(yàn)也證明）并非在剛好接觸的狀態(tài)下其面形偏差最小，而是在接觸的基礎(chǔ)上增加一點(diǎn)荷載（合力或均布?jí)簭?qiáng)）可以使得面形偏差更小，于是對(duì)算法進(jìn)一步改進(jìn)建立自適應(yīng)的位移荷載求反力法。

自適應(yīng)的位移荷載求反力法的算法分為兩步：第一步為搜索階段——首先新設(shè)4個(gè)荷載參數(shù)，分別為1號(hào)壓條荷載、2、3號(hào)壓條荷載，4、5號(hào)壓條荷載（利用對(duì)稱(chēng)性）和步長(zhǎng)，接著對(duì)荷載參數(shù)在一定范圍內(nèi)進(jìn)行遍歷（此時(shí)選取的搜索步長(zhǎng)是關(guān)鍵），按照之前的幾何參數(shù)進(jìn)行幾何建模，施加位移，接觸后施加荷載，并取消位移約束，如果滿(mǎn)足接觸且計(jì)算得到的面形誤差小于位移荷載法計(jì)算得到的面形誤差，則記錄當(dāng)前參數(shù)；第二步為優(yōu)化階段——在搜索階段已經(jīng)獲得了較優(yōu)參數(shù)的大致值，接著再縮小步長(zhǎng)，對(duì)參數(shù)附近的值進(jìn)行遍歷，直到滿(mǎn)足需要。

以上面形誤差的計(jì)算根據(jù)鏡面幾何參數(shù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)錐面方程，提取有限單元節(jié)點(diǎn)的三維坐標(biāo)（x，y，z），根據(jù)y和錐面方程計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)半徑R，再用計(jì)算徑向誤差（見(jiàn)圖1和圖2）。本文取所有節(jié)點(diǎn)最大誤差的絕對(duì)值作為整個(gè)鏡片的面形誤差。

2.3 Abaqus-GUI一體化開(kāi)發(fā)

基于模型設(shè)置和載荷加載方法利用Python對(duì)Abaqus進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)。Abaqus腳本接口可以基于Python語(yǔ)言的定制開(kāi)發(fā)。這個(gè)接口與圖形界面無(wú)關(guān)，可與內(nèi)核直接通信，可以執(zhí)行重復(fù)性計(jì)算、創(chuàng)建模型、做優(yōu)化分析、訪(fǎng)問(wèn)輸出數(shù)據(jù)庫(kù)、創(chuàng)建Abaqus的插件等。使用Python對(duì)Abaqus進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)的好處有：語(yǔ)言簡(jiǎn)潔，易于理解，簡(jiǎn)化手動(dòng)繁瑣的操作；自動(dòng)化，如進(jìn)行后處理可以自己編寫(xiě)專(zhuān)門(mén)的模塊；能夠?qū)崿F(xiàn)參數(shù)化分析；可編寫(xiě)?yīng)毩⒛K，具有獨(dú)立性和可移植性；具有優(yōu)秀的異常處理機(jī)制［8］。

Abaqus腳本與Abaqus的計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算（CAE）模塊的通信關(guān)系如圖4所示。這里Python解釋器有3種輸入接口分別為GUI，命令行接口（CLI）和腳本，并保存為rpy文件。經(jīng)過(guò)有限元分析計(jì)算以后結(jié)果保存并輸出數(shù)據(jù)庫(kù)中（ODB文件），其由模型數(shù)據(jù)和結(jié)果數(shù)據(jù)組成。輸出數(shù)據(jù)庫(kù)ODB文件的層次結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖5。

圖4 Abaqus腳本與Abaqus/CAE的關(guān)系Fig.4 Abaqus script versus Abaqus/CAE

圖5 輸出數(shù)據(jù)庫(kù)ODB的層級(jí)結(jié)構(gòu)Fig.5 Hierarchy of the output database ODB

自適應(yīng)建模分析算法利用Python編寫(xiě)腳本實(shí)現(xiàn)，仿真生成ODB輸出數(shù)據(jù)庫(kù)文件后，則用Python腳本對(duì)仿真過(guò)程和結(jié)果中的關(guān)鍵數(shù)據(jù)進(jìn)行提取，然后用數(shù)據(jù)分析工具（如Python、Matlab）進(jìn)行分析。此外，對(duì)于傳統(tǒng)的手動(dòng)建模過(guò)程中需要反復(fù)切換模塊、點(diǎn)擊按鈕、輸入數(shù)據(jù)等，而且難以撤銷(xiāo)，若使用純代碼進(jìn)行建模，則每次都要修改部分代碼，并且用戶(hù)體驗(yàn)不佳，操作比較復(fù)雜。本文同時(shí)設(shè)計(jì)了GUI界面進(jìn)行仿真分析，有效地提高前后處理效率，節(jié)省建模及數(shù)據(jù)處理時(shí)間，利于用戶(hù)操作且還可以規(guī)避一些人為的錯(cuò)誤。

界面的設(shè)計(jì)如圖6所示，有常規(guī)計(jì)算和確定最佳荷載組合計(jì)算兩種窗口。在常規(guī)計(jì)算窗口中，有幾何參數(shù)欄（前后端半徑、鏡筒高、石墨條厚度與旋轉(zhuǎn)角度、鏡面半徑與厚度、壓條厚度等）、材料參數(shù)欄、仿真參數(shù)欄（石墨條、鏡面、壓條網(wǎng)格大小）以及位移荷載求反力法和自定義荷載兩種模式，勾選自定義荷載后可輸入想要的壓條荷載；在確定最佳荷載組合計(jì)算窗口中，有幾何參數(shù)欄、仿真參數(shù)欄以及自定義搜索區(qū)間和在求反力法結(jié)果附近搜索兩種模式，勾選求反力法結(jié)果附近搜索后將先進(jìn)行求反力法計(jì)算再搜索包含改計(jì)算結(jié)果的區(qū)間，此外加入?yún)?shù)輸入約束如各數(shù)值為正數(shù)、前端半徑需大于后端半徑等。計(jì)算的過(guò)程輸出將放在Abaqus安裝路徑下的Temp文件夾中。

圖6 GUI界面Fig.6 GUI interface

2.4 收斂性及精度的影響因素

在仿真過(guò)程中，有限元分析比較困難的是計(jì)算達(dá)到收斂，大多數(shù)情況下不收斂的原因難以找到，需要進(jìn)行大量的試算。不收斂原因主要有：①網(wǎng)格劃分不合理。如網(wǎng)格劃分過(guò)粗或者接觸時(shí)主從面的網(wǎng)格粗細(xì)沒(méi)有掌握好，有時(shí)候主面和從面的網(wǎng)格大小為倍數(shù)關(guān)系會(huì)造成穿透現(xiàn)象而不準(zhǔn)確且無(wú)法收斂。點(diǎn)對(duì)面離散時(shí)，若從面網(wǎng)格比主面網(wǎng)格細(xì)，則不會(huì)發(fā)生穿透，從面和主面都發(fā)生了正常的變形；若從面網(wǎng)格比主面網(wǎng)格粗，則會(huì)出現(xiàn)穿透。面對(duì)面離散時(shí)，情況類(lèi)似。②針對(duì)接觸分析問(wèn)題?？梢栽O(shè)置微小的過(guò)盈量，以保證在分析一開(kāi)始就已經(jīng)建立起接觸關(guān)系。另外不能在接觸面上使用C3D20、C3D20和C3D10等單元類(lèi)型，避免過(guò)約束。此外，對(duì)本問(wèn)題使用減縮積分單元收斂效果會(huì)比完全積分單元和非協(xié)調(diào)單元要好。③分析步設(shè)置不合理，兩個(gè)復(fù)雜步驟應(yīng)該放在不同的分析步里，分析步的初始步長(zhǎng)、最小步長(zhǎng)、步長(zhǎng)縮減系數(shù)、最大嘗試次數(shù)都關(guān)系到能否收斂。在接觸分析步中，位移主要有兩個(gè)階段，一個(gè)是鏡面的兩邊還沒(méi)有接觸到最外側(cè)的石墨條，這時(shí)的運(yùn)算很簡(jiǎn)單，分析步長(zhǎng)也很大，但一旦鏡面的兩邊接觸到了最外側(cè)的石墨條，也就是進(jìn)入了第二階段，這時(shí)候運(yùn)算開(kāi)始變得復(fù)雜，分析步步長(zhǎng)將急劇減小，若減小的嘗試次數(shù)超過(guò)5，則Abaqus會(huì)以為算不出來(lái)而報(bào)錯(cuò)，這時(shí)候需要在分析步編輯器和通用求解控制編輯器中調(diào)整初始步長(zhǎng)、最小步長(zhǎng)和最大嘗試次數(shù)。④邊界條件約束不當(dāng)，缺乏約束會(huì)產(chǎn)生數(shù)值奇異或零主元。⑤使用不恰當(dāng)?shù)奈灰坪奢d，由于精度問(wèn)題，位移荷載可能會(huì)造成較大的局部應(yīng)力，產(chǎn)生不合理的形變，使得準(zhǔn)確度較低、收斂很困難。⑥使用不恰當(dāng)?shù)牧奢d，如靜力分析模塊中在沒(méi)有其他約束的時(shí)候?qū)ξ矬w施加純力，會(huì)導(dǎo)致分析步長(zhǎng)越來(lái)越小直至不能收斂。

針對(duì)計(jì)算的精度，考慮到Abaqus軟件默認(rèn)精度及計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)精度的限制，可以利用Abaqus仿真計(jì)算的無(wú)單位性，對(duì)仿真參數(shù)進(jìn)行放大或縮小以提高計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字，使得仿真計(jì)算能最大程度保留有效數(shù)字，提高計(jì)算精度。此外，還需要對(duì)X射線(xiàn)聚焦望遠(yuǎn)鏡鏡面壓彎有關(guān)材料的彈性形變特性與塑性形變特性、鏡面與環(huán)氧樹(shù)脂、石墨間隔條的接觸摩擦進(jìn)行細(xì)節(jié)上的處理，另外也可使用Fortran語(yǔ)言用戶(hù)子程序的開(kāi)發(fā)，以上改進(jìn)會(huì)使得數(shù)值仿真結(jié)果更為準(zhǔn)確。

3 仿真結(jié)果分析

根據(jù)上述一體化建模和仿真流程，本文將依次研究前后端半徑、鏡片半徑、石墨條間隔角度等對(duì)裝配結(jié)果的影響，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步的分析。下文中所有演示圖默認(rèn)為前端在下，1號(hào)石墨條指向1號(hào)壓條為x軸正向，鏡片軸線(xiàn)向上為y軸正向，4號(hào)石墨條指向5號(hào)石墨條為z軸正向（圖3）。

3.1 前后端半徑、鏡片半徑對(duì)裝配結(jié)果的影響

根據(jù)鏡片半徑與芯軸前后端半徑的3種大小關(guān)系，本文用多組數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得出這3種關(guān)系應(yīng)力分布、面型殘余的分布等基本特征。這里芯軸參數(shù)見(jiàn)表1和表2，鏡片內(nèi)表面半徑見(jiàn)表3，鏡面厚度為0.2 mm，鏡筒高為100.0 mm，石墨條之間間隔角度為14.1°，石墨條與壓條厚度為1.0 mm，石墨條、鏡片、壓條網(wǎng)格大小分別為2、3、6 mm，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3（僅展示其中3組）。

不同尺寸鏡面應(yīng)力分布、面形誤差分布見(jiàn)圖7到圖9。總體來(lái)看，壓條附近區(qū)域面形誤差都較小，這是因?yàn)閴簵l本身與石墨條的貼近對(duì)鏡面的約束強(qiáng)度較大，而其他區(qū)域則缺乏直接約束；而壓條附近區(qū)域鏡面應(yīng)力都比較大，但計(jì)算而得的最大應(yīng)力均低于玻璃的強(qiáng)度極限。對(duì)于前兩種情況的鏡片，前端應(yīng)力普遍大于后端，而第三種情況前端與后端應(yīng)力分布較為均勻。從應(yīng)力的最大值看，最大應(yīng)力與最大誤差隨鏡片內(nèi)表面半徑增加而減少。第一種情況下徑向?qū)嶋H值往往偏大，而第二種情況則偏小，第三種情況則較為對(duì)稱(chēng)。

表3 基于三種鏡片內(nèi)表面半徑的計(jì)算結(jié)果Tab.3 Computational results based on three inner surface radius of mirror

圖7 鏡面內(nèi)表面半徑為83.5 mm時(shí)的應(yīng)力和面形誤差分布Fig.7 Distribution of stress and surface error when inner surface radius of mirror is 83.5 mm

注意到雖然在最大誤差上三維模型與二維模型類(lèi)似，但面形誤差分布上兩者還是有所不同。尤其是當(dāng)鏡片半徑介于前后端半徑之間時(shí)，其分布情況較為特殊，且綜合來(lái)看鏡片半徑略大于前后端半徑的時(shí)候，最大應(yīng)力與最大誤差以及誤差分布的情況都較好，而過(guò)大的鏡面半徑也會(huì)造成較大誤差。

從所需荷載的角度看，可以觀(guān)察到當(dāng)鏡片內(nèi)表面半徑小于前后端半徑時(shí)，壓條1最終所需荷載幾乎為0；介于兩者之間時(shí)，所需的荷載較大（要把其中一端壓緊）；大于兩者時(shí)，需要一點(diǎn)力來(lái)抵消其他4根壓條的影響，與預(yù)想的結(jié)果相符。

圖8 鏡面內(nèi)表面半徑為84.5 mm時(shí)的應(yīng)力和面形誤差分布Fig.8 Distribution of stress and surface error when inner surface radius of mirror is 84.5 mm

圖9 鏡面內(nèi)表面半徑為85.5 mm時(shí)的應(yīng)力和面形誤差分布Fig.9 Distribution of stress and surface error when inner surface radius of mirror is 85.5 mm

3.2 鏡片厚度對(duì)裝配結(jié)果的影響

當(dāng)前的鏡片厚度主要有0.2、0.3、0.4 mm 3種，由上一小節(jié)知，鏡片半徑略大于前后端半徑時(shí)效果較好，故本小節(jié)所使用的鏡片半徑為85.5 mm，其余參數(shù)相同，以此分別分析 0.20、0.25、0.30、0.35、0.40、0.45、0.50 mm這7種規(guī)格鏡片厚度對(duì)裝配結(jié)果的影響，計(jì)算結(jié)果如表4所示。圖10展示其中一種情況下整體應(yīng)力和面形誤差分布。

表4 7種鏡片厚度下計(jì)算結(jié)果Tab.4 Computational results of 7 different thicknesses of mirror

由圖11可知，鏡片厚度改變，應(yīng)力與面形誤差分布規(guī)律相同。可以發(fā)現(xiàn)，隨著鏡面厚度的增加，最大應(yīng)力增加（但仍遠(yuǎn)低于玻璃的強(qiáng)度極限），所需荷載無(wú)規(guī)律變化，而最大面形誤差減少，因?yàn)楦鶕?jù)材料力學(xué)，厚度大的板殼結(jié)構(gòu)不容易發(fā)生較大的形變；但當(dāng)鏡面厚度增加到一定程度后，應(yīng)力增加較快，使得鏡面出現(xiàn)更大的形變，最大面形誤差會(huì)突增到比原來(lái)還大。經(jīng)過(guò)多組數(shù)據(jù)分析后鏡片厚度在0.3～0.4 mm之間為佳，厚度過(guò)大或過(guò)小均會(huì)使面形誤差增加。

3.3 石墨條間隔角度對(duì)裝配結(jié)果的影響

由上一小節(jié)知鏡面厚度為0.4 mm時(shí)面型最大誤差小，故本小節(jié)所使用的鏡片厚度為0.4 mm，其余參數(shù)與上一小節(jié)相同，以此分析石墨條間隔角度對(duì)裝配結(jié)果的影響。表5給出了石墨條間隔角度不同時(shí)的計(jì)算結(jié)果。石墨條間隔角度改變，應(yīng)力與面形誤差分布規(guī)律相同，此處不再贅述?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著石墨條間隔角度的增加，最大應(yīng)力先減后增，而最大誤差的改變則沒(méi)有明顯規(guī)律（總體上先減后增），故石墨條最佳間隔角度只能通過(guò)自適應(yīng)算法求得。需要注意的是，石墨條間隔角度的影響要綜合考慮每一層鏡片的情況，要找到對(duì)每一層鏡片來(lái)說(shuō)最大面形誤差最小的石墨條最佳間隔角度，而不能只針對(duì)某一層最小。這些都體現(xiàn)出了一體化建模和仿真的優(yōu)勢(shì)。

圖10 鏡片厚度為0.35 mm時(shí)的應(yīng)力和面形誤差分布Fig.10 Distribution of stress and surface error when thickness of mirror is 0.35 mm

圖11 鏡片厚度與最大應(yīng)力、最大面形誤差的近似關(guān)系Fig.11Mirror thickness versus maximum stress and surface error

3.4 最佳荷載組合研究

本文利用自適應(yīng)算法在一定區(qū)間內(nèi)對(duì)各鏡片半徑下的最佳荷載組合進(jìn)行探究，裝配相關(guān)參數(shù)與鏡片厚度為0.3 mm的算例相同，得到結(jié)果見(jiàn)表6。從計(jì)算結(jié)果可看出，最佳荷載組合與施加位移求反力的結(jié)果是相近的，且由于所需荷載的數(shù)值較小，算法的遍歷搜索步驟可能要執(zhí)行很長(zhǎng)時(shí)間，故在施加位移求反力的結(jié)果附近搜索效率更高。

表5 不同石墨條間隔角度的計(jì)算結(jié)果Tab.5 Computational results of different angles of graphite strips

4.5 面形誤差的進(jìn)一步表示

以前的研究較為重視徑向誤差對(duì)像差的影響［7］。由光路圖可知，影響鏡面成像的質(zhì)量不只是徑向誤差Δd，鏡面傾斜角度的誤差Δθ對(duì)鏡面成像的質(zhì)量也有一定影響，故面形誤差實(shí)際上應(yīng)當(dāng)用如下關(guān)系式來(lái)表示（此處以主鏡的誤差為例）：

對(duì)于Δθ的求算，本文考慮用曲面擬合仿真后鏡面得到的散點(diǎn)，裝配相關(guān)參數(shù)與鏡片厚度為0.4 mm的算例相同。具體算法如下：找到所求節(jié)點(diǎn)周?chē)狞c(diǎn)（邊界點(diǎn)處理稍微特殊），對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行二次曲面擬合，獲得曲面方程，求曲面在此處的法向量，并與理想錐面的法向量作比較。所得的傾斜角誤差分布圖如圖12所示。

表6 半徑82～86 mm鏡片最優(yōu)荷載組合及最大應(yīng)力Tab.6 Optimal loads and maximum stress of mirrors with a radius from 82 to 86 mm

從傾斜角誤差分布的情況來(lái)看，越往中間鏡面的角度誤差就越大，其計(jì)算精度與曲面擬合的程度有關(guān)。

圖12 傾斜角誤差分布圖Fig.12 Error of tilt angle

4 結(jié)論與展望

本文針對(duì)圓錐嵌套式Wolter-I型X射線(xiàn)聚焦望遠(yuǎn)鏡鏡片裝配過(guò)程利用Abaqus建立了三維一體化建模和仿真算法流程，同時(shí)使用Python對(duì)Abaqus進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，提出了自適應(yīng)建模計(jì)算方法，本方法可以有效提取各參數(shù)下的應(yīng)力分布、面形偏差分布等結(jié)果。利用此算法流程對(duì)3種不同半徑鏡片進(jìn)行加載，分析了前后端半徑、鏡片厚度、鏡片曲率和裝配載荷對(duì)結(jié)構(gòu)面形偏差的影響，得到其面形誤差與二維模型有著較大的不同，在鏡片厚度偏小和偏大都會(huì)使得面形誤差偏大，理想的厚度應(yīng)在0.3～0.4 mm之間，石墨條間隔角度增加往往會(huì)減小面形誤差，但要綜合考慮各層鏡面的情況等結(jié)論，并利用自適應(yīng)算法自動(dòng)地為不同半徑鏡片計(jì)算最佳裝配載荷。在面形偏差的評(píng)估方面，本文提出了需要綜合考慮面形徑向偏差與面形傾斜角度變化的思想，并用曲面擬合的方法來(lái)估算鏡面在某點(diǎn)處的法線(xiàn)方程，以此來(lái)對(duì)光路進(jìn)行進(jìn)一步的分析。此外，本文相應(yīng)二次開(kāi)發(fā)的算法和軟件能夠一體化地建模和仿真，可用于多層鏡片計(jì)算，節(jié)約可觀(guān)的實(shí)驗(yàn)成本和人工，具有良好的可拓展性和廣泛的適用性。最后得到的最優(yōu)鏡片半徑、最佳裝配載荷和考慮多種面型偏差影響因素等研究結(jié)果，為提高裝配工藝減少面形偏差提供了理論分析方法和裝配指導(dǎo)方向。