一種飛機大尺寸曲面測量點差異性規(guī)劃方法

毛喆，李瀧杲，*，徐巖，曾琪，主逵

（1.南京航空航天大學(xué) 機電學(xué)院，南京210016； 2.深圳市勁拓自動化設(shè)備股份有限公司，深圳518101）

現(xiàn)代飛機高機動、高氣動的產(chǎn)品需求對裝配質(zhì)量優(yōu)化提出了巨大挑戰(zhàn)，數(shù)字化測量作為飛機裝配中的重要環(huán)節(jié)，測量質(zhì)量的優(yōu)劣性嚴(yán)重影響飛機的實際裝配結(jié)果。目前高精度、高效率的數(shù)字化測量技術(shù)正逐步代替?zhèn)鹘y(tǒng)的檢測方式，但測量實施前需基于模型進行測量規(guī)劃：一是測量點規(guī)劃，二是測量設(shè)備站位規(guī)劃。前者是后者乃至測量實施的基礎(chǔ)，后者是前者優(yōu)化的依據(jù)。測量點規(guī)劃是將待測特征離散為一組點作為理論測量點（簡稱測量點），用于站位規(guī)劃、測量實施、模型重構(gòu)、質(zhì)量分析等環(huán)節(jié)，但當(dāng)前測量點規(guī)劃依賴于工藝人員經(jīng)驗，缺乏理論依據(jù)與評價機制，極易出現(xiàn)測量效率低、實測數(shù)據(jù)分析量大等問題。因此，合理規(guī)劃測量點對測量效率、測量精度的提升具有重要意義。

Cho等［1］根據(jù)待測曲面面積、測量精度等因素利用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)確定布點數(shù)量，為三坐標(biāo)測量機布點提供了依據(jù)，但在布設(shè)過程中未考慮到自由曲面的復(fù)雜性。Lee等［2］結(jié)合Hammersley序列提出了一種布點方法，有效地減少了布點數(shù)量。宋占杰等［3］將自由曲面的曲率函數(shù)作為生成質(zhì)心Voronoi結(jié)構(gòu)中的密度函數(shù)，以成本函數(shù)收斂性作為算法結(jié)束準(zhǔn)則，提出了一種全新的基于質(zhì)心Voronoi的檢測點采樣方法。劉紅軍等［4］提出了實時重構(gòu)布點策略，但需要在測量時對測量數(shù)據(jù)實時重構(gòu)，測量效率低下。此外，諸多學(xué)者對測量點布設(shè)展開了研究，但多以特征的曲率特性作為測量點布設(shè)依據(jù)，并未考慮實際的測量不確定度［5-6］。激光雷達(dá)等測量設(shè)備在測量距離較遠(yuǎn)時，測量不確定度會達(dá)到甚至超過0.1mm，此時的測量數(shù)據(jù)難以精準(zhǔn)反映零件的實際狀態(tài)，需要采用相關(guān)算法減小測量不確定度。

本文采用非均勻有理B樣條（Non-Uniform Rational B-Spline，NURBS）理論精確擬合自由曲線或曲面，并利用粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化控制點和權(quán)因子提高擬合精度。對待測特征進行區(qū)域劃分，包括曲率極值區(qū)和測量不確定度較大區(qū)，并針對不同的區(qū)域設(shè)計相應(yīng)的布點策略確保測量點能夠精確地表達(dá)待測特征。在有效保證測量效率的前提下，使測量點逆向重構(gòu)特征與理論特征偏差優(yōu)于10-3mm。

1 問題描述

對于復(fù)雜飛機零部件而言，曲面特征多以自由造型設(shè)計，測量點規(guī)劃主要取決于工藝人員的經(jīng)驗。過多的測量點會延長測量周期，過少的測量點無法精確測得零件的實際狀態(tài)。此外，當(dāng)前測量點布設(shè)大多以曲率特性作為依據(jù)，忽視了測量不確定度對測量結(jié)果的影響，測量不確定度較大位置測量數(shù)據(jù)有時難以反映零件的實際狀態(tài)。即使可以增加設(shè)備站位減小測量不確定度，但隨之產(chǎn)生的是測量效率降低、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換誤差累積等問題。

試驗件曲率極值區(qū)域及測量不確定度較大區(qū)域分布如圖1所示。圖中曲率極值區(qū)域并未完全覆蓋測量不確定度較大區(qū)域，在盡量避免轉(zhuǎn)站前提下，僅以曲率作為布點依據(jù)難以精準(zhǔn)測得零件的實際狀態(tài)。

圖1 試驗件測量不確定度及曲率分布Fig.1 Measurement uncertainty and curvature distribution of test piece

2 待測特征確定性表達(dá)構(gòu)建

飛機大尺寸零部件待測特征主要為曲線、曲面等基本特征，曲面特征一般是通過離散為一組曲線、采用NURBS精確擬合各條曲線進行分析。鑒于3次NURBS曲線具有C2連續(xù)性且能夠滿足工程中的造型需求［7］，本文的研究基于3次NURBS曲線展開。

2.1 曲線方程參數(shù)化

一條p次NURBS曲線可定義為［8］

式中：Ni，p為Bernstein基函數(shù)；u為自由變量。

自由曲線表征為NURBS初始需求解控制點Vi、權(quán)因子wi及節(jié)點矢量U，其中節(jié)點矢量通過弦長參數(shù)化確定。權(quán)因子和控制點的耦合求解過程復(fù)雜，極易出現(xiàn)奇異解或無解的情況，為簡化計算，令wi初始值為1，控制點可由式（2）解得：

式中：Pi為型值點。

控制點求解后曲線初始方程r0（u）為

式（3）確定的擬合曲線往往不能精確表達(dá)理論曲線，一般采用增加型值點的方式提高擬合曲線的精度，但型值點數(shù)量增加到一定程度后對曲線精度的提高效果不明顯，有時甚至?xí)a(chǎn)生扭曲和畸變［9］，需要對wi和Vi進行優(yōu)化提高曲線的擬合精度。

2.2 參數(shù)化方程優(yōu)化

2.2.1 局部優(yōu)化

NURBS曲線形狀可通過調(diào)節(jié)控制點和權(quán)因子進行修改，權(quán)因子wi負(fù)責(zé)曲線形狀的局部修改。針對擬合曲線中局部區(qū)域偏離理論曲線的情況，可通過調(diào)節(jié)wi提高曲線的擬合精度，如圖2所示。

設(shè)調(diào)整后權(quán)因子為w′i，wi與w′i的關(guān) 系可表示為［10］式中：d為擬合曲線與理論線間的最大偏差。

圖2 權(quán)因子對曲線形狀的影響Fig.2 Influence of weight factor on curve shape

對于僅有少數(shù)幾個部位誤差較大的情況，依據(jù)式（4）對曲線形狀微調(diào)，重復(fù)采用此方法快速提高參數(shù)方程正確性。但是對于整體偏離理論曲線的情況，修改的權(quán)因子數(shù)量多，優(yōu)化效率低。

2.2.2 整體優(yōu)化

曲線的整體優(yōu)化方法為對Vi及wi共同調(diào)整，但由于當(dāng)前控制點和權(quán)因子間未形成確定的關(guān)系式，調(diào)整過程中Vi和wi的設(shè)置直接影響優(yōu)化結(jié)果及速度。鑒于粒子群優(yōu)化算法［11］具有收斂速度快、參數(shù)少等優(yōu)點，本文采用粒子群優(yōu)化算法對Vi及wi進行優(yōu)化。

以一組控制點及其權(quán)因子作為一個優(yōu)化粒子Zj，優(yōu)化問題解的維度D＝4n（n為控制點個數(shù)，x，y，z為控制點坐標(biāo)），第j個粒子定義為

設(shè)第j個粒子的最優(yōu)位置為Pbestj，整個群體經(jīng)歷的最優(yōu)位置為Gbest，第j個粒子的速度及位置更新公式分別為

式中：w為慣性權(quán)重；c1、c2為學(xué)習(xí)因子；rand1、rand2為0～1之間的隨機數(shù)。設(shè)第j個粒子Zj構(gòu)成的NURBS曲線為rkj（u），將rkj（u）進行離散，計算每個離散點到理論線的最小距離，形成距離集Dj＝｛dj1，dj2，…，djm｝（m為離散點個數(shù)），構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)為

式中：F為粒子個數(shù)。結(jié)合局部優(yōu)化和整體優(yōu)化方法，待測特征精確參數(shù)化總體流程如下：

步驟1 采用等弦長法將理論線r離散為一組型值點P＝｛P0，P1，…，Pn｝，以P為初始條件計算初始曲線方程r0（u）并生成擬合曲線。

步驟2 計算擬合曲線與理論線的最大偏差δ，若δ大于給定閾值ε0，回到步驟1增加型值點數(shù)量以減小δ，否則執(zhí)行步驟3。

步驟3 判斷擬合曲線與理論線偏離狀態(tài)，若兩曲線偏離距離δ小于閾值ε1，執(zhí)行步驟7；若局部偏離執(zhí)行步驟4；若整體偏離執(zhí)行步驟5。

步驟4 計算r與擬合曲線最大偏差δ，按式（4）修改權(quán)因子形成新的曲線方程rk（u）。計算r與rk（u）的最大偏差δ，執(zhí)行步驟5。

步驟5 若δ大于閾值ε1，重復(fù)步驟4修改下一處權(quán)因子，直到δ變化不明顯或小于ε1，執(zhí)行步驟7。

步驟6 采用粒子群優(yōu)化算法對控制點及權(quán)因子整體優(yōu)化，若δ變化不明顯或小于ε1，執(zhí)行步驟7。

步驟7 輸出最終的控制點、權(quán)因子及參數(shù)化曲線方程r（u）。

3 待測特征測量點布設(shè)

飛機大型結(jié)構(gòu)件、薄壁等零件易產(chǎn)生裝配變形，曲率較大的位置變形較難控制［12］，且在測距較遠(yuǎn)時測量不確定度較大，測量結(jié)果不準(zhǔn)確。針對上述情況，綜合考慮曲率特性和測量不確定度等因素布設(shè)測量點。

3.1 曲線測量點布設(shè)

3.1.1 曲率極值點求解

曲率極值點是描述曲線形狀的關(guān)鍵點，為了獲取曲率極值處的變形情況，需要在曲率極值點處布設(shè)測量點。設(shè)曲線的參數(shù)方程為r（u）＝｛x（u），y（u），z（u）｝，空間曲線在某一處的曲率k（u）表示為［13］

式中：r′（u）與r″（u）分別為曲線r（u）的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)，將其代入式（9）可得

對k（u）求一階導(dǎo)數(shù)為

曲率極值點為?k／?u＝0的解，但此方程求解過于復(fù)雜，針對這種情況本文提出了一種基于曲率導(dǎo)數(shù)的曲率極值點快速定位方法，具體方法流程如下：

步驟1 將曲線方程r（u）離散，記錄每個離散點對應(yīng)的ui。

步驟2 計算每個離散點的曲率導(dǎo)數(shù)J（ui），J（ui）＝?k／?u｜u＝ui。

步驟3 計算相鄰兩點曲率導(dǎo)數(shù)積Di＝J（ui）·J（ui+1），執(zhí)行步驟4。

步驟4 遍歷所有的Di值，對Di≤0的兩點T0、Q0和ui、ui+1保存，對保存的點對逐一執(zhí)行步驟5和步驟6。

步驟5 取ui、ui+1的中間值um代入r（u），在T0、Q0中間生成點M0。分別計算J（um）·J（ui）與J（um）·J（ui+1）的值。若J（um）·J（ui）≤0，以中間點取代Q0，反之，以中間點取代T0。執(zhí)行步驟6。

步驟6 重復(fù)步驟5更新T0、Q0，直到T0、Q0距離小于給定閾值ε2，以兩點中間點作為曲率極值點。

圖3為曲線某一個曲率極值點求解，左邊界由T0更新至T4，右邊界點由Q0更新至Q4。

圖4為某零件邊界曲線的曲率極值求解，圓“·”為采用本文方法求解出的曲率極值點，“”為CATIA（Computer Aided Three-dimensional Interactive Application）中曲率變化曲線上的極值點。從圖中可以看出，采用本文方法求解的曲率極值與CATIA中的曲率極值基本一致。

圖3 曲率極值點搜索Fig.3 Search of curvature extreme points

圖4 曲線曲率極值點求解結(jié)果Fig.4 Solving result of curve curvature extreme points

3.1.2 測量不確定度評估

為降低測量不確定度對測量結(jié)果的影響，在測量不確定度較大區(qū)域加密布設(shè)測量點，通過間接平差的方式減小此影響。本文以球坐標(biāo)測量系統(tǒng)為研究對象對測量不確定度評估。任一測量點M（x，y，z）在測量坐標(biāo)系的坐標(biāo)可由距離l、方位角α及天頂角β解得。

由于設(shè)備、環(huán)境因素，l、α、β采集的過程中均存在著一定的誤差，為評價測量點在空間的不確定度，建立不確定度橢球模型［14-15］如圖5所示。

不確定橢球的半軸長Ux′、Uy′、Uz′分別為［16-17］

式中：σα、σβ與測量系統(tǒng)的角度編碼器分辨率有關(guān)，為儀器制造商提供的固定值；σl由最小測距不確定分量和測距不確定度距離放大系數(shù)組成。

圖6為曲線輪廓度及測量不確定度允許偏差示意圖，測量不確定度允許偏差范圍一般為輪廓度的十分之一。圖中兩端及曲率較大處測量不確定度橢球較大，有的甚至超出不確定度允許偏差范圍。為了減小測量不確定度，提出一種以測量不確定度為依據(jù)的測量點布設(shè)方法。具體流程如下：

步驟1 選取合適位置作為測量設(shè)備站位E（x，y，z）。

步驟2 根據(jù)曲線方程r（u），對曲線進行離散，生成離散點集G＝｛G0，G1，…，Gn｝。

圖5 不確定度橢球模型Fig.5 Uncertainty ellipsoid model

圖6 曲線輪廓度公差帶及測量不確定度允差Fig.6 Tolerance zone and measurement uncertainty tolerance of curve

步驟3 計算每個離散點Gi到E的距離li，根據(jù)式（13）計算出每個橢球的半軸長。

步驟4 以Gi為原點，Gi與E連線為u軸，在x′-y′-z′坐標(biāo)系構(gòu)建單側(cè)不確定度橢球并生成橢球離散點。

步驟5 通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換將不確定度橢球離散點由x′-y′-z′坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到x-y-z坐標(biāo)系中。

步驟6 計算每個橢球離散點距離理論線的最遠(yuǎn)點，將最遠(yuǎn)點擬合成為一條曲線，對其進行光順后作為不確定度曲線。

步驟7 在不確定度曲線超出不確定度允許范圍的區(qū)域布設(shè)若干測量點。

3.2 曲面測量點布設(shè)

曲面測量點布設(shè)是將曲面離散成為一組截交線［18］，按照3.1節(jié)方法對每條截交線布設(shè)測量點。大尺寸曲面測量過程中，測量數(shù)據(jù)同樣存在測量不確定度，圖7為曲面輪廓度公差帶和測量不確定度允差的分布情況。為了減小測量不確定度的影響，構(gòu)建每個測量點的單側(cè)不確定度橢球并生成橢球離散點，找出離散點中距離理論面最遠(yuǎn)點。將最遠(yuǎn)點擬合成為不確定度曲面，計算出不確定度曲面超出不確定度允許偏差范圍的區(qū)域，并在這些區(qū)域加密布設(shè)測量點。最后將截交線離散點及根據(jù)測量不確定度增加的測量點進行篩選，對于距離過小甚至重合的兩點取中間點代替。

采用上述布點策略布設(shè)的測量點有時無法精確描述理論特征，需要對測量點補充。測量點補充方法是將依據(jù)曲率及測量不確定度布設(shè)的測量點進行重構(gòu)，找出重構(gòu)特征與理論特征偏差較大位置，并在該位置補充測量點。以測量點重構(gòu)曲面與理論曲面的最大距離偏差作為測量點能否精確描述待測特征的指標(biāo)，待測特征測量點布設(shè)整體流程如圖8所示，圖中ε3為重構(gòu)特征與理論特征的閾值。

圖7 曲面輪廓度公差帶及測量不確定度允差Fig.7 Tolerance zone and measurement uncertainty tolerance of surface

圖8 測量點布設(shè)流程Fig.8 Process ofmeasurement points distribution

4 實驗驗證

為實現(xiàn)曲線曲面的自動布點，在CATIA［19］環(huán)境下利用CAA［20］（Components Application Architecture）技術(shù)開發(fā)測量點布設(shè)模塊。軟件實現(xiàn)包含特征預(yù)處理、特征分析及測量點規(guī)劃、測量點輸出3部分，如圖9所示。

以圖1中的試驗件作為驗證對象，首先提取如圖10（a）所示的待測特征；隨后進行特征分析和測量點布設(shè)，將曲面離散為一組截交線，對截交線按照3.1節(jié)方法規(guī)劃測量點，求解出測量不確定度較大區(qū)域，并在該區(qū)域采用3.2節(jié)布點方法加密布設(shè)測量點，測量點布設(shè)結(jié)果如圖10（b）所示；最后輸出測量點，如圖10（c）所示。為使參數(shù)方程和測量點精確擬合待測特征，閾值ε1、ε1優(yōu)于10-3mm。為達(dá)到測量不確定度較大區(qū)域加密布點的目的，此區(qū)域測量點重構(gòu)閾值取普通區(qū)域閾值ε3的一半。

圖9 自動布點模塊架構(gòu)Fig.9 Architecture of automatic points distribution module

圖10 試驗件局部曲面片布點過程Fig.10 Points distribution process of partial surface of test piece

表1為粒子群優(yōu)化算法所采用的參數(shù)，vmax、vmin分別為最大、最小更新速度，Np為迭代次數(shù)。

為驗證布點合理性，采用傳統(tǒng)布點方法在試驗件上布點密度為20×20和10×10的測量點，如圖11（a）和圖11（b）所示，圖11（c）為采用本文方法布設(shè)的測量點。利用激光雷達(dá)MV260作為測量工具（其角度精度6.8μm／m，距離精度10μm+2.5μm／m），對3種情況進行現(xiàn)場測量。

分別構(gòu)建3種布點方法中的理論點的單側(cè)不確定度橢球，將不確定度橢球離散，計算每個橢球離散點集中距離理論面的最遠(yuǎn)點，將最遠(yuǎn)點擬合為不確定度曲面，以不確定度曲面距離理論面的最大距離作為擬合精度，3種布點方法的測量效率及擬合精度如表2所示。試驗件測量點分布情況如圖12所示。

表1 粒子群優(yōu)化算法參數(shù)Tab le 1 Param eters of par ticle swarm optim ization algorithm

圖11 不同布點密度布點結(jié)果對比Fig.11 Comparison of points distribution under differentmeasurement points density

表2 不同布點密度下測量結(jié)果對比Table 2 Com parison of m easurem ent result under different m easurem ent points density

圖12 試驗件測量點分布Fig.12 Measurement points distribution of test piece

從表2中可以看出，采用本文方法布點測量效率介于布點密度為10×10和20×20之間，重構(gòu)的孔洞數(shù)量、擬合精度與布點密度為10×10的結(jié)果相當(dāng)，但明顯優(yōu)于布點密度為20×20的測量點重構(gòu)的孔洞數(shù)量及擬合精度，充分體現(xiàn)了本文布點策略的合理性及可行性。

5 結(jié) 論

針對航空大尺寸零部件測量點規(guī)劃的基礎(chǔ)問題，本文分別從待測特征曲率特性、測量不確定度角度出發(fā)對測量點進行規(guī)劃，研究了測量點布設(shè)的理論依據(jù)及布設(shè)方法。主要結(jié)論如下：

1）將待測特征精確參數(shù)化，并對參數(shù)方程優(yōu)化實現(xiàn)擬合精度優(yōu)于10-3mm，為復(fù)雜特征的曲率及測量不確定度分析提供依據(jù)。

2）為復(fù)雜曲線曲面測量點規(guī)劃提供了理論依據(jù)，在保證測量點精確表征待測特征的條件下控制測量點數(shù)量，使測量點逆向特征與理論特征的最大偏差優(yōu)于10-3mm。

3）開發(fā)了測量點自動布設(shè)模塊，提高測量點布設(shè)效率及規(guī)范性。