一種改進的分數(shù)階雙線性數(shù)字預失真方法

王 恒，徐方雨

(重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065)

0 引 言

為了充分利用頻譜資源，目前現(xiàn)代通信系統(tǒng)廣泛采用非恒定包絡的調(diào)制方式[1]，而該調(diào)制方式對射頻功放的性能提出了更高的要求[2-3]。在實際應用中，一方面，為了提高功放的效率，往往會使其工作在臨近飽和區(qū)，此時功放的輸入輸出不是線性關系；另一方面，由于信號帶寬增大，功放將會表現(xiàn)出強記憶效應。因此，功放的非線性記憶效應會影響信息的正確傳輸，導致帶內(nèi)失真和帶外頻譜擴展[4]。

在現(xiàn)有線性化技術中，數(shù)字預失真技術使用最廣泛[5-6]。目前常用的數(shù)字預失真模型有：Volterra級數(shù)、記憶多項式(Memory Polynomial，MP)、廣義記憶多項式(Genneral Memory Polynomial，GMP)、分數(shù)階記憶多項式(Fractional Order Memory Polynomial，F(xiàn)MP)和傳統(tǒng)的雙線性多項式模型等。Volterra級數(shù)[7]有很好的建模能力，但運算量比較大；MP模型是Volterra級數(shù)的簡化形式[7]，只包含Volterra級數(shù)矩陣主對角線上的參數(shù)，簡化了模型復雜度，但建模誤差較大；GMP模型[8]雖然考慮了功放的記憶效應，但由于交叉的引入導致了運算量過大；FMP模型[9]雖說在建模能力上有了提高，但對于強動態(tài)非線性的建模能力仍然有限；傳統(tǒng)的雙線性多項式模型引入了反饋項，但不能表征高階非線性特性。針對現(xiàn)有研究中存在的問題，本文提出了一種改進的分數(shù)階雙線性多項式模型。

1 改進的分數(shù)階雙線性多項式模型描述

最常用的數(shù)字預失真模型大多數(shù)為MP模型，因為該類模型能夠很好地表征射頻功率放大器的非線性記憶效應，許多文獻提出的模型都是基于MP模型。其中，F(xiàn)MP模型也是在常用MP模型的基礎上進行改進的，由于功放偶數(shù)階次項帶來的非線性失真不明顯，所以可將偶數(shù)階次改為分數(shù)階次來提高對非線性失真的抑制能力，但對功放的強記憶效應并沒有很大的改善。傳統(tǒng)的雙線性多項式模型同樣也是在MP模型的基礎上進行的改進，與MP模型不同的是，它將過去時刻的輸出項和輸入—輸出交叉項引入一階線性輸入序列，是一種帶有反饋結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)模型，由于雙線性多項式模型只能通過交叉項來表征系統(tǒng)的非線性，所以對高階非線性特性的建模不夠精確。

1.1 FMP模型

FMP模型的表達式為

式中：x(n)和y(n)分別為該模型的輸入和輸出信號；k為該模型的非線性階數(shù)，k∈[0,K],K為k的最大整數(shù)值；q為該模型的記憶深度，q∈[0，Q]，Q為q的最大整數(shù)值；akq為該模型的系數(shù)；mod(k,2)為k對2的取模運算。

1.2 傳統(tǒng)的雙線性多項式模型

傳統(tǒng)的雙線性多項式[10]模型的表達式為

式中：cj為該模型輸出項的系數(shù)；ai為該模型輸入項的系數(shù)；bij為該模型反饋交叉項的系數(shù)；i為該模型輸入項的記憶深度，i∈[0，Q]；j為該模型輸出項的記憶深度，j∈[0，K]；N1和N2為該模型反饋交叉項的記憶深度。表達式中第1和第3部分均表示反饋項，第2部分表示輸入項。

1.3 改進的分數(shù)階雙線性多項式模型

FMP模型雖然在建模能力上有一定的提高，但對功放的強記憶效應不能很好的建模；傳統(tǒng)的雙線性多項式模型僅僅是一個一維模型，其只有純粹的輸入輸出數(shù)據(jù)，其非線性特點只能通過交叉項來進行表征，對系統(tǒng)的高階非線性建模精確度不高。本文采用傳統(tǒng)的雙線性多項式模型的反饋解決問題思路，結(jié)合FMP模型的優(yōu)點，提出一種改進的分數(shù)階雙線性多項式模型，該模型兼顧了以上兩種模型的優(yōu)點，顯著降低了模型系數(shù)數(shù)量，提高了建模的精確度，同時也能更好地表征功放的非線性特性和強記憶效應特性。

改進的分數(shù)階雙線性多項式模型的表達式為

式中：akxqx為該模型輸入項系數(shù)；akzqz為該模型輸出項系數(shù)；kz和qz分別為該模型輸出項的非線性階數(shù)和記憶深度，且kz∈[1，Kz]，qz∈[1，Qz]，Kx和Qz分別為kz和qz的最大整數(shù)值；kx和qx分別為該模型輸入項的非線性階數(shù)和記憶深度，且kx∈[0，Kx]，qx∈[0，Qx]，Kx和Qx分別為kx和qx的最大整數(shù)值。

2 系統(tǒng)辨識結(jié)構(gòu)及迭代算法

2.1 系統(tǒng)辨識結(jié)構(gòu)

圖1 系統(tǒng)辨識結(jié)構(gòu)示意圖

在實際的工程應用中，由于并不知道功放具體的行為模型，只是假設在結(jié)構(gòu)上存在一個與預失真器完全一樣的后預失真器，所以通過分析直接學習和間接學習結(jié)構(gòu)各自的特點，本文采用間接學習結(jié)構(gòu)進行系統(tǒng)模型參數(shù)辨識。

2.2 系統(tǒng)辨識算法

用于系統(tǒng)自適應辨識的算法有很多種，但是最常用的有最小二乘 (Least Square，LS)、最小均方 (Least Mean Square，LMS)和遞推最小二乘(Recursive Least Square，RLS)算法。

(1) LS算法

LS算法是一種實用算法，它是通過求實際值與模型計算值之差的平方和達到最小值作為最小二乘法的解[13]。

(2) LMS算法

LMS算法以計算復雜度較低、性能較穩(wěn)定和硬件實現(xiàn)相對較簡單等優(yōu)點而被廣泛應用于各種自適應辨識系統(tǒng)算法中[14]。LMS算法的思想主要是利用隨機梯度下降法來使代價函數(shù)最小化。

(3) RLS算法

通過與LS及LMS算法對比可知，LS算法系統(tǒng)辨識算法是最簡單的，但在算法求解的過程中需要進行矩陣求逆，而矩陣求逆過程比較復雜，需要消耗大量的時間且求解相當困難；LMS算法雖然計算量較小，但收斂速度較慢，且會受到收斂步長的限制導致收斂精度不高；而RLS算法雖然迭代時的計算量加大，但無論在收斂速度還是收斂精度上效果都比較好，所以綜合考慮，本文將RLS算法辨識用于改進的分數(shù)階雙線性模型的仿真驗證中，該算法具體的推導過程如下：

RLS算法是通過n-1時刻的數(shù)據(jù)去估計n時刻的數(shù)據(jù)并經(jīng)過多次迭代得到的，有關RLS算法詳細的推導過程見文獻[15]，最終的迭代過程和公式如下：

3 仿真分析與驗證

3.1 模型評價

評價模型精度的標準有很多種，本文使用歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error，NMSE)來衡量所建模型的精度。NMSE的表達式[16]為

式中：NMSE單位為dB，其能很好地反映模型與實際模塊的接近程度，其值越小越好；y(n)為實際測試得到的模型輸出信號；ymodel(n)為模型計算的輸出信號；N為樣本的數(shù)量。

3.2 仿真結(jié)果分析

為了驗證以上所提方案的合理性，本文通過Matlab 2018a軟件產(chǎn)生大量的正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)信號進行驗證分析。考慮到數(shù)據(jù)量過大，本文截取了其中4 096組數(shù)據(jù)進行仿真分析，將所截取的帶寬為1.85 MHz的信號作為系統(tǒng)輸入信號，采用間接學習結(jié)構(gòu)并結(jié)合RLS算法實現(xiàn)預失真參數(shù)提取。選取輸入輸出信號的幅度-幅度 (Amplitude Modulation to Amplitude Modulation Effects, AM-AM)曲線、幅度-相位(Amplitude Modulation to Phase Modulation Effects, AM-PM)曲線、NMSE、鄰道功率泄露比(Adjacent Channel Power Ratio，ACPR)等指標進行驗證分析。

(1) AM-AM、AM-PM曲線

AM-AM和AM-PM曲線是用來反映功放非線性記憶效應特性的表現(xiàn)形式，對于理想的線性系統(tǒng)來說，其AM-AM曲線發(fā)散程度比較小，近似為一條比較理想的直線，AM-PM曲線同樣也是一條近似為零的直線[17]。

系統(tǒng)在未進行預失真處理的情況下，功放輸出的AM-AM與AM-PM曲線如圖2所示。

圖2 預失真處理前的曲線圖

由圖2(a)可知，預失真處理前功放輸出的AM-AM曲線是一條較發(fā)散的曲線，且非線性關系，其輸出信號的幅度隨著輸入信號幅度的增加將會達到飽和狀態(tài)，即輸出信號幅度的增加速度越來越慢。在實際工程應用中，為了提高功放的效率，一般會使功放工作在臨近飽和區(qū)。

由圖2(b)可知，預失真處理前功放輸出的AM-PM曲線是一條近似為零的曲線，功放在小信號輸入的情況下，輸入信號受之前輸入信號的影響較大，所以曲線較發(fā)散，這也更進一步表明了功放的記憶效應較明顯；而在大信號輸入的情況下，輸入信號受之前輸入信號的影響較小，曲線的發(fā)散程度也較小。

經(jīng)過預失真處理之后功放輸出的AM-AM與AM-PM曲線如圖3所示。

圖3 預失真處理后的曲線圖

由圖可知，經(jīng)預失真處理后功放輸出的AM-AM和AM-PM曲線發(fā)散程度較小，近似為一條理想的直線。所以，經(jīng)預失真處理后，功放的非線性記憶效應得到了很好的校正，使得系統(tǒng)更接近于理想的線性系統(tǒng)。

(2) NMSE參數(shù)

使用本文提到的數(shù)據(jù)結(jié)合改進的分數(shù)階雙線性多項式模型，并使用間接學習系統(tǒng)辨識結(jié)構(gòu)，應用RLS自適應辨識算法進行建模分析。表1將本文提出的改進的分數(shù)階雙線性多項式模型分別與MP、GMP、FMP以及傳統(tǒng)的雙線性多項式模型在模型的參數(shù)設置、NMSE值和模型系數(shù)個數(shù)這3個方面進行比較，來驗證建模的效果。

表1 不同模型性能比較

由表可知，改進的分數(shù)階雙線性多項式模型和其他幾種多項式模型相比，NMSE值均有所提高，系數(shù)個數(shù)均比這幾種多項式模型少，和傳統(tǒng)的雙線性多項式模型相比NMSE提高了2.6 dB，系數(shù)減少了34.3%。可見，本文提出的模型無論是在建模的精確度上還是在計算復雜度方面均有一定的改善。

實現(xiàn)功放線性化效果的目的之一是減小信號的帶外頻譜擴展，如果帶外頻譜擴展比較嚴重則會使信道內(nèi)的信號功率泄漏到相鄰信道，影響信號的傳輸效果。而衡量頻譜擴展能力的指標為ACPR[18]，圖4和5展示了原始信號、功放輸出信號以及預失真處理后輸出信號的功率譜密度圖。

圖4 預失真處理前后功率譜密度圖

圖5 預失真處理前后功率譜密度局部放大圖

由圖可知，系統(tǒng)未經(jīng)預失真處理時對帶外頻譜擴展的抑制效果非常差，但在經(jīng)過預失真處理后，功率譜更接近于輸入信號的功率譜特性，明顯比未經(jīng)預失真處理時的效果好。所以，經(jīng)預失真處理后，對功放的帶外頻譜擴展的抑制效果有了顯著改善。

(3) ACPR

ACPR表征了系統(tǒng)的帶外頻譜擴展能力。表2列出了幾種不同模型在偏離載波上下2.35 MHz時的ACPR值。

表2 不同模型在偏離載波上下

由表可知，改進的分數(shù)階雙線性多項式模型和其他幾種多項式模型相比有較好的抑制帶外頻譜擴展的效果，其ACPR值均有一定的改善，與傳統(tǒng)的雙線性多項式模型相比，ACPR值改善了約5 dB。

4 結(jié)束語

本文介紹了幾種常用的基于MP的預失真器模型，在FMP和傳統(tǒng)的雙線性多項式模型的基礎上，提出了一種改進的分數(shù)階雙線性多項式模型，該模型采用了間接學習系統(tǒng)辨識結(jié)構(gòu)和RLS自適應辨識算法提取預失真器的模型系數(shù)。實驗結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的預失真模型相比，改進的分數(shù)階雙線性多項式模型減少了模型系數(shù)，降低了計算復雜度，能夠更有效地改善功放的非線性記憶效應，使功放輸出達到理想的線性化效果，具備良好的實際工程應用前景。