基于多項(xiàng)式分布滯后模型的上海市地面沉降驗(yàn)證與預(yù)測(cè)

曹偉偉, 李明廣, 史玉金, 夏小和

(1.上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院 土木工程系， 上海 200240； 2.上海市地質(zhì)調(diào)查研究院， 上海 200072)

上海市位于長(zhǎng)三角洲，地下水資源豐富，自20世紀(jì)60年代便開始地下水資源開采活動(dòng)[1]，引起了嚴(yán)重的地面沉降現(xiàn)象[2]。90年代左右城市建設(shè)加速，市政工程、房屋建筑增加的同時(shí)地面沉降由于地下水的大量開采也加速發(fā)展，這對(duì)城市安全造成了嚴(yán)重威脅。因此，對(duì)地面沉降的監(jiān)控與預(yù)測(cè)尤為重要，其不僅可作為地下工程建設(shè)的參照，也可為調(diào)整地下水開采格局提供參考。

目前有很多針對(duì)地面沉降預(yù)測(cè)模型的研究，主要包括確定性模型、隨機(jī)統(tǒng)計(jì)模型和人工智能模型等[3]。其中，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)模型依賴于長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，與滲流模型、土體變形模型等確定性模型相比雖然無(wú)法解釋水土作用機(jī)理，但模型簡(jiǎn)單、計(jì)算簡(jiǎn)便，適用于宏觀地面沉降預(yù)測(cè)。常見的隨機(jī)統(tǒng)計(jì)模型包括回歸模型、生命回旋模型、時(shí)間序列模型等。范珊珊[4]、王淼[5]、潘云[6]等運(yùn)用線性回歸法分別對(duì)北京和天津進(jìn)行了地面沉降預(yù)測(cè)，結(jié)果表明采用累計(jì)量進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)能夠達(dá)到較為精確的預(yù)測(cè)效果。劉毅[7]采用泊松回旋法從定性定量?jī)蓚€(gè)角度對(duì)上海市地面沉降進(jìn)行了預(yù)測(cè)并驗(yàn)證了方法的可行性。但由于含水層砂土蠕變[8]和弱透水層釋水緩慢[9]等原因，地面沉降與抽灌水量、地下水位等均存在一定的滯后關(guān)系，上述方法沒有考慮滯后效應(yīng)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。郇小龍[10]、吳蓉[11]、馮羽[12]等分別建立了自回歸分布滯后模型、Preisach滯后模型和阿爾蒙預(yù)測(cè)模型，驗(yàn)證了模型預(yù)測(cè)地面沉降的精度。凌勝任也采用了Logistics模型[13]和PDL模型[14]對(duì)某地區(qū)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果也較為理想。

上海市具有大量長(zhǎng)期地面沉降和水位監(jiān)測(cè)的數(shù)據(jù)，但目前考慮上海市地面沉降誘因及滯后效應(yīng)的隨機(jī)統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)模型應(yīng)用較少，因此本文在分析上海市地面沉降、地下水開采量和土體變形的基礎(chǔ)上，考慮滯后效應(yīng)建立了相應(yīng)的PDL模型并驗(yàn)證了模型的適用性，且對(duì)未來(lái)上海市地面沉降作出了相關(guān)預(yù)測(cè)。

1 地下水開采下上海市地面沉降滯后現(xiàn)象分析

20世紀(jì)70年代以后上海市進(jìn)行了開采格局的調(diào)整，目標(biāo)采水層由第2，3含水層向第4，5含水層轉(zhuǎn)移，一定程度上減輕了地面沉降。但由于90年代城市建設(shè)加速，大量地下水被開采導(dǎo)致地面沉降加速。如圖1所示，為地面沉降與地下水開采量之間的關(guān)系。

從圖1可以看出，年地面沉降值的波動(dòng)現(xiàn)象較明顯，且在1995年之前年地面沉降與年抽水量的變化趨勢(shì)一致。1994年年抽水量達(dá)到峰值，但地面沉降的峰值卻在1997年達(dá)到，且后一個(gè)地面沉降的極值點(diǎn)同樣比抽水量極值點(diǎn)滯后了5 a左右，此時(shí)第4，5含水層成為目標(biāo)開采層且總體開采量較大，由于相鄰隔水層釋水緩慢、砂土蠕變[15]等原因，地面沉降與開采量之間出現(xiàn)了明顯的滯后效應(yīng)。根據(jù)圖1累計(jì)量變化圖計(jì)算二者的Pearson相關(guān)系數(shù)為0.975，說(shuō)明累計(jì)地面沉降和累計(jì)地下水開采量之間存在著較高的正相關(guān)性，因此在建立隨機(jī)變量模型時(shí)地下水開采量可以作為地面沉降的解釋變量。

圖1 上海市地面沉降與地下水開采量關(guān)系

從土層分層變形角度來(lái)看，地下水在不同含水層的開采均造成相應(yīng)含水層的水位下降，進(jìn)而引起土層的壓縮變形。根據(jù)張?jiān)芠2]等人的研究，第4含水層的變形在整體地面沉降中所占比例達(dá)到了50%以上，部分地區(qū)甚至達(dá)到了70%左右，成為影響地面沉降的主要變形層。且自地下水開采格局調(diào)整后，第4含水層的變形對(duì)于地下水開采表現(xiàn)出明顯的滯后效應(yīng)，因此在預(yù)測(cè)地面沉降時(shí)考慮第4含水層的變形規(guī)律非常重要。圖2為第4含水層年變形量和年地面沉降量關(guān)系以及第4含水層累計(jì)變形量和累計(jì)地面沉降變形圖，計(jì)算累計(jì)量之間的Pearson系數(shù)為0.988，表明累計(jì)地面沉降和第4含水層累計(jì)變形量之間同樣存在著較高的正相關(guān)性，因此第4含水層變形量也可作為地面沉降的解釋變量。

圖2 上海市地面沉降與第4含水層變形關(guān)系

2 多項(xiàng)式分布滯后模型建立

鑒于以上分析，地面沉降量與抽水量及第4含水層變形量之間均存在一定的相關(guān)性和滯后性，因此可以考慮建立多項(xiàng)式分布滯后模型，對(duì)地面沉降趨勢(shì)進(jìn)行驗(yàn)證及預(yù)測(cè)。由于抽水量對(duì)于第4含水層變形具有影響，為了消除這種自變量之間的相互影響，在建模時(shí)從總抽水量中減去了第4含水層的抽水量。

2.1 模型簡(jiǎn)介

對(duì)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)而言，如果模型中包含的解釋變量滯后，則模型為分布滯后模型。對(duì)于上海市地面沉降而言，由于開采格局和土體性質(zhì)等因素影響，地面沉降與地下水抽灌量、土體變形之間均存在滯后效應(yīng)，因此本文重點(diǎn)考慮了累計(jì)地下水開采量和第4含水層累計(jì)變形對(duì)累計(jì)地面沉降的影響，建立相應(yīng)的PDL模型為：

(1)

式中：c為常數(shù)項(xiàng)；μt為滿足線性回歸模型古典假設(shè)的隨機(jī)誤差項(xiàng)；Yt為地面沉降當(dāng)期預(yù)測(cè)值；Ht-i為累計(jì)地下水開采量歷史值；St-i為第4含水層累計(jì)變形歷史值；βi累計(jì)地下水開采量影響因子參數(shù)；γi為第4含水層累計(jì)變形影響因子參數(shù)；M為地下水開采量滯后期數(shù)；N為第4含水層變形滯后期數(shù)。在實(shí)際建模過(guò)程中，為了減小隨機(jī)誤差異方差性的影響，可以考慮將自變量和因變量取對(duì)數(shù)處理。由于年地面沉降正負(fù)值均有出現(xiàn)無(wú)法取對(duì)數(shù)計(jì)算，因此本文在建模過(guò)程中自變量和因變量統(tǒng)一采用累計(jì)值進(jìn)行處理。

2.2 滯后期數(shù)確定

對(duì)于滯后期數(shù)，可以通過(guò)理論大致確定，但在很多復(fù)雜情況下無(wú)法直接通過(guò)理論得到，而需要通過(guò)對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分析及相應(yīng)的判定方法和準(zhǔn)則才能確定合理的滯后期數(shù)。本文采用修正的可決系數(shù)法和赤池信息準(zhǔn)則、施瓦茨準(zhǔn)則來(lái)進(jìn)行滯后期數(shù)的判定，其方法都是通過(guò)添加滯后變量使得可決系數(shù)及兩個(gè)判定值不再減小為止。

(2)

式中：T為樣本容量；k為自變量個(gè)數(shù)。

2.2.2 赤池信息準(zhǔn)則和施瓦茨準(zhǔn)則 在確定具體滯后期數(shù)時(shí)需通過(guò)遵循赤池信息準(zhǔn)則(AIC)和施瓦茨準(zhǔn)則(SC)來(lái)判定，其檢驗(yàn)過(guò)程同樣是在模型中逐期添加滯后變量，直到AIC和SC的值不再降低為止，即選擇使二值達(dá)到最小的滯后期數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，赤池信息準(zhǔn)則適用于小樣本數(shù)據(jù)分析，二者的表達(dá)式為：

(3)

(4)

式中：RSS表示殘差平方和；T為樣本容量；k為自變量的個(gè)數(shù)

2.3 影響因子確定

對(duì)于滯后期數(shù)已知的分布滯后模型，可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)加權(quán)法、阿爾蒙多項(xiàng)式法等進(jìn)行修正，以消除多重共線性的影響。本文采取阿爾蒙多項(xiàng)式確定影響因子，用一個(gè)關(guān)于滯后期i的次數(shù)較低的m多項(xiàng)式逼近，該多項(xiàng)式為：

βi=α0+α1i+α2i2+α3i3+…+αmim

(i=0,1,2,3,…,n)

(5)

將阿爾蒙多項(xiàng)式變換代入模型并整理，模型變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

Yt=c+α0Z0t+α1Z1t+α2Z2t+…+αmZmt+ut

(6)

式中：Z0t=Ht+Ht-1+Ht-2+…+Ht-i

Z1t=Ht-1+2Ht-2+3Ht-3+…+iHt-i

Z2t=Ht-1+4Ht-2+…+i2Ht-i

?

Zmt=Ht-1+2mHt-2+…+imHt-i

對(duì)于公式(5)，在滿足古典假定的條件下，可用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。將估計(jì)參數(shù)代入阿爾蒙多項(xiàng)式，就可以求出原模型參數(shù)估計(jì)值。但在實(shí)際的應(yīng)用過(guò)程中，多項(xiàng)式的次數(shù)m通常取得較低，且不超過(guò)滯后期數(shù)，一般可取2或者3進(jìn)行計(jì)算，很少情況會(huì)超過(guò)4，本文取m=2。

3 實(shí)例分析

現(xiàn)根據(jù)上述公式推導(dǎo)過(guò)程，考慮累計(jì)抽水量和第4含水層累計(jì)變形量建立多項(xiàng)式分布滯后模型。本文基于1989—2010年監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，通過(guò)2011—2018年的結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證該方法對(duì)于上海市地面沉降預(yù)測(cè)分析的合理性及適用性，在此基礎(chǔ)上對(duì)2019—2024年的地面沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)。

3.1 確定多項(xiàng)式分布滯后模型

根據(jù)上述研究及監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，首先確定各多項(xiàng)式的滯后期數(shù)，再根據(jù)阿爾蒙多項(xiàng)式變化求得累計(jì)地下水開采量和第4含水層累計(jì)變形的影響因子參數(shù)，最后根據(jù)時(shí)間序列運(yùn)用EViews軟件求得多項(xiàng)式分布滯后模型。在確定滯后期數(shù)時(shí)，根據(jù)EViews軟件可判定兩個(gè)自變量的最大滯后期為3，在此基礎(chǔ)上根據(jù)判定準(zhǔn)則對(duì)滯后期數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步確定，結(jié)果如表1所示。從表中可看出，當(dāng)選取抽水量滯后期數(shù)為3，第4含水層變形量滯后期數(shù)為2時(shí)可使調(diào)整后R2最大而AIC和SC值最小。

表1 抽水量及第4含水層沉降量滯后期數(shù)表

在確定滯后期數(shù)和相應(yīng)參數(shù)后即可求得上海市地面沉降多項(xiàng)式分布滯后模型，計(jì)算公式為：

lnYt=-2.515 7-0.684 4lnHt+0.42lnHt-1

+0.710 7lnHt-2+0.187 8lnHt-3+0.139 7lnSt

-0.224 5lnSt-1+0.193 3lnSt-2

(7)

3.2 結(jié)果分析

通過(guò)公式(7)可以計(jì)算出1993—2018年的地面沉降值，結(jié)果如圖3所示。由1993—2018年累計(jì)沉降量的計(jì)算值與實(shí)際值分析對(duì)比可知，計(jì)算值與實(shí)際值非常接近，其中1993—2018年的建模階段相對(duì)誤差為0.05%～2.18%，2011—2018年的預(yù)測(cè)階段相對(duì)誤差在1.9%～4.19%，擬合效果較為理想。由1993—2018年年地面沉降計(jì)算值與實(shí)際值對(duì)比分析可知，計(jì)算值與實(shí)際變化趨勢(shì)一致，可見PDL模型可以較為準(zhǔn)確地反映出沉降滯后的現(xiàn)象。

3.3 地面沉降預(yù)測(cè)

由上述分析可知，PDL模型充分考慮了上海地面沉降相對(duì)地下水抽取和第4含水層沉降的滯后性，且具有較好的擬合效果，因此可以采用該種方法對(duì)未來(lái)地面沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)?，F(xiàn)假設(shè)地下水開采格局與第4含水層變形量與當(dāng)前一致，由此建立表達(dá)式對(duì)地面沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在該種情況下，2019—2024年間地面將會(huì)發(fā)生持續(xù)穩(wěn)定的輕微回彈現(xiàn)象，可見近年來(lái)控制地下水開采量對(duì)減輕地面沉降具有較為明顯的效果。

圖3 地面沉降計(jì)算值與實(shí)際值對(duì)比

4 結(jié) 論

(1) 對(duì)上海市而言，累計(jì)地面沉降與累計(jì)抽水量和第4含水層累計(jì)變形之間都具有較高的正相關(guān)性，且抽水量和第4含水層變形量與地面沉降之間存在著滯后關(guān)系。

(2) 建立的PDL模型充分考慮了地下水開采量和第4含水層變形對(duì)于地面沉降的滯后影響，且通過(guò)建模分析發(fā)現(xiàn)，地面沉降的計(jì)算值與實(shí)際值之間的相對(duì)誤差很小，基本在3%以內(nèi)，計(jì)算結(jié)果也能夠較好地反映出地面沉降的變化規(guī)律，驗(yàn)證了PDL模型對(duì)于上海市地面沉降分析預(yù)測(cè)的適用性。

(3) 在考慮當(dāng)前開采量和第4含水層變形量不變的情況下對(duì)2019—2024年地面沉降進(jìn)行了預(yù)測(cè)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)2019—2024年間地面將會(huì)發(fā)生持續(xù)穩(wěn)定的輕微回彈，可見控制地下水開采對(duì)于減輕地面沉降具有較為顯著的作用。

(4) 本文基于上海市長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)合上海市地面沉降的特征，改進(jìn)了以往PDL沉降預(yù)測(cè)僅考慮單項(xiàng)影響因素的方法，同時(shí)考慮了地下水抽灌量和土層變形兩個(gè)重要因素對(duì)于上海市地面沉降的影響。但由于近年來(lái)工程建設(shè)等原因?qū)τ诘孛娉两档挠绊憴?quán)重逐步增大，在未來(lái)的工作中可以考慮加入工程建設(shè)等因素建立相應(yīng)表達(dá)式，對(duì)上海市地面沉降做出更為合理和精準(zhǔn)的預(yù)測(cè)。