回歸教材例題 掌握真題方向

文 孫 靚

對于空間思維能力較弱的同學(xué)來說，吃透教材，深究教材例習(xí)題，是考前復(fù)習(xí)中較為有效的手段。

1.蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級下冊第68頁有如下例題：

【原題】已知，如圖1，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且AE=CF。求證：四邊形BEDF是平行四邊形。

證明見教材。

此例題稍做變式，便與中考題基本相同：

（2019·江蘇淮安）如圖2，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)。求證：BE=DF。

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC。

∵點(diǎn)E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，

∴DE∥BF，DE=BF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

∴BE=DF。

2.蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級下冊第85頁有如下習(xí)題：

【原題】已知：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F在BD上，且BF=DE。

求證：四邊形AECF是菱形。

證明：如圖4，連接AC交BD于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC。

∵BF=DE，∴OB-BF=OD-DE，

即OF=OE，

∴四邊形AECF為平行四邊形，且BD⊥AC，

∴四邊形AECF為菱形。

在掌握這道習(xí)題的基礎(chǔ)上，完成下面這道中考題就十拿九穩(wěn)了。

（2019·山東菏澤）如圖5，E、F是正方形ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn)，AC=8，AE=CF=2，則四邊形BEDF的周長是 。

解：通過對習(xí)題的解析，我們可知四邊形BEDF為菱形，此處略過，正式考試中不可省略。

∴DE=DF=BE=BF。

由勾股定理得：

3.蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級下冊第93頁復(fù)習(xí)題中有如下習(xí)題：

【原題】如圖6，由兩個等寬的矩形疊合而得到的四邊形是菱形嗎？證明你的結(jié)論。

解：疊合而得的四邊形ABCD是菱形。證明如下：

作CE⊥AB，CF⊥AD，垂足分別為E、F。由題意得，CE=CF。

∵AB∥DC，AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形。

∴?ABCD的面積=AB·CE=AD·CF。

又∵CE=CF，∴AB=AD。

∴?ABCD是菱形。

下面這道中考題在上述習(xí)題的基礎(chǔ)上進(jìn)行了延伸，習(xí)題的證明可作為這道題的一個突破口。

（2019·浙江臺州）如圖8，有兩張矩形紙片ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm。把紙片ABCD交叉疊放在紙片EFGH上，使重疊部分為平行四邊形，且點(diǎn)D與點(diǎn)G重合，當(dāng)兩張紙片交叉所成的角α最小時，tanα等于（ ）。

解：當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時，重疊部分為平行四邊形且α最小。

∵兩張矩形紙片全等，

∴重疊部分為菱形，設(shè)FM=x，

∴EM=MD=8-x，EF=2。

在 Rt△EFM 中，EF2+FM2=EM2，