師范專業(yè)認(rèn)證視角下常微分方程課程教學(xué)改革探索

國(guó)忠金 孫 丹

（泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 山東·泰安 271000）

常微分方程作為師范類數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的核心課程，承接起了專業(yè)基礎(chǔ)課數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何與后續(xù)課程泛函分析、數(shù)學(xué)模型與實(shí)驗(yàn)、微分方程數(shù)值解等課程的橋梁。作為描述變化規(guī)律的法寶，常微分方程在師范類學(xué)生核心能力培養(yǎng)中具有極其重要的作用和價(jià)值。因此，諸多高校教師針對(duì)該課程的教學(xué)改革進(jìn)行了深入探索，諸如：唐玉萍[1]探索分析了常微分方程教學(xué)模式。王莉[2]基于課程教學(xué)改革的背景與意義，對(duì)常微分方程的教學(xué)進(jìn)行了相關(guān)研究。劉亞威等[3]基于MatLab數(shù)值實(shí)驗(yàn)，探索了常微分方程課程教學(xué)內(nèi)容與手段的改革研究。蒲武軍[4]結(jié)合常微分方程課程特點(diǎn)，提出了針對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法改革的設(shè)想和建議。劉倩[5]以常微分方程為研究對(duì)象，提出了推動(dòng)課程教學(xué)模式創(chuàng)新與實(shí)踐探索的策略。侯利平等[6]探索了“四個(gè)回歸”背景下常微分方程的教學(xué)改革，分析了課程教學(xué)中存在問題及改革建議。

在2009年國(guó)家開始的試點(diǎn)工程教育專業(yè)認(rèn)證基礎(chǔ)上，2017年10 月教育部師范類專業(yè)認(rèn)證開始啟動(dòng)，其目的在于推動(dòng)師范專業(yè)的內(nèi)涵式建設(shè)，聚焦師范學(xué)生的知識(shí)、素質(zhì)和能力培養(yǎng)。根據(jù)教育部頒布的師范專業(yè)認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)，認(rèn)證的基本理念是以學(xué)生為中心。這就要求師范類課程教學(xué)中應(yīng)以學(xué)生的學(xué)習(xí)效果、持續(xù)發(fā)展能力為中心組織課程教學(xué)活動(dòng)。因此，作為承接數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題的橋梁課程，常微分方程教學(xué)對(duì)于師范生知識(shí)、素質(zhì)、能力培養(yǎng)起到了很重要的作用。

1 常微分方程課程教學(xué)中存在的問題及痛點(diǎn)

（1）教學(xué)內(nèi)容忽視了知識(shí)實(shí)踐基礎(chǔ)，弱化了知識(shí)的內(nèi)化體驗(yàn)與應(yīng)用性。作為數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要觸角，常微分方程課程緊密聯(lián)系實(shí)際，其理論體系來(lái)源于對(duì)實(shí)際問題的建模分析。然而，多數(shù)高校教師在講授本課程過程中，將更多的精力用在了微分方程的基本概念、基本理論以及基本解法講解，忽視了各類型微分方程的來(lái)源及應(yīng)用分析。

（2）課程體系忽視了多學(xué)科專業(yè)知識(shí)的綜合銜接與交叉融合性。作為描述變化規(guī)律的法寶，常微分方程模型來(lái)源于物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)、機(jī)械、工程等領(lǐng)域?qū)嶋H問題，并在實(shí)際問題研究中得到了廣泛應(yīng)用，即：來(lái)源于實(shí)踐，應(yīng)用于實(shí)踐。然而，許多教師講解本課程時(shí)只是介紹常微分方程的概念、理論、解法等內(nèi)容，未能將課程知識(shí)點(diǎn)融入實(shí)際問題，融入多學(xué)科理論體系中，這樣會(huì)導(dǎo)致學(xué)生體會(huì)不到常微分方程課程的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值，肢解了知識(shí)創(chuàng)新的基礎(chǔ)。

（3）教學(xué)手段、方法單一，漠視了學(xué)生主動(dòng)探究、獲取知識(shí)的主體能動(dòng)性。傳統(tǒng)的課程教學(xué)主要以課堂講授為主，教師只是通過板書、課件將知識(shí)單向傳授給學(xué)生，學(xué)生業(yè)只是機(jī)械的、硬著頭皮去接受枯燥的課程知識(shí)。漠視了課堂教學(xué)以學(xué)生為中心的理念，學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力和獲取知識(shí)的主體能動(dòng)性不能被有效的激發(fā)。

（4）學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)單一，缺乏對(duì)創(chuàng)新能力的考核。傳統(tǒng)的課程考核主要以期末考試成績(jī)?yōu)橹?，一卷定成?jī)。學(xué)生為了提高成績(jī)往往對(duì)常微分方程課程概念、理論、求解方法死記硬背，比著葫蘆畫瓢，缺乏對(duì)課程知識(shí)體系的理解和應(yīng)用認(rèn)識(shí)。從而致使課程教學(xué)不能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力和專業(yè)志趣，不能滿足社會(huì)發(fā)展對(duì)課程教育的要求。

2 師范專業(yè)認(rèn)證理念下的常微分方程課程教學(xué)改革設(shè)想與建議

常微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程的延續(xù)和補(bǔ)充，又是其他數(shù)學(xué)專業(yè)課程和以后工作實(shí)踐的基礎(chǔ)。本課程的教學(xué)是培養(yǎng)符合新時(shí)代發(fā)展的科技人才的重要基礎(chǔ)，而傳統(tǒng)的課程教學(xué)模式使學(xué)生接收到的信息的范圍過于狹窄，教學(xué)方法、效果評(píng)價(jià)單一。 因此，在師范專業(yè)認(rèn)證理念下，本課程著重在課程內(nèi)容體系重構(gòu)、教學(xué)方法、教學(xué)考核評(píng)價(jià)等方面進(jìn)行改革。

（1）教學(xué)內(nèi)容突出解法理論基礎(chǔ)上，打造“模型+理論+方法+應(yīng)用”的知識(shí)教學(xué)主線，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。以文獻(xiàn)[7]為例，課程教學(xué)內(nèi)容章節(jié)理論第四章高階線性微分方程的基本理論與第五章線性微分方程組解理論相似，反復(fù)講解容易使學(xué)生產(chǎn)生厭煩和迷惑，而缺少了針對(duì)線性微分方程基本理論的綜合分析。在講解各類方程理論知識(shí)前后，缺少模型方程的來(lái)源及應(yīng)用。在師范專業(yè)認(rèn)證理念下，為增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。一方面，在課程教學(xué)中重視模型的建模和各類微分方程產(chǎn)生的實(shí)際背景。諸如：基于COVID-19 疫情，當(dāng)簡(jiǎn)單假設(shè)且未區(qū)分已感染者與未感染者的前提下，可進(jìn)行建模獲得傳染病指數(shù)增長(zhǎng)模型，繼而引出一階線性微分方程概念、理論及求解方法等。當(dāng)區(qū)分已感染者與未感染者，進(jìn)行建模獲得SI 模型，繼而引出一階非線性微分方程概念、理論與求解方法等。同樣，可以考慮多種因素，衍生出一階方程組SIR模型等，繼而針對(duì)微分方程組講解其理論結(jié)構(gòu)、解性質(zhì)與求解方法等。通過微分方程模型背景介紹和分析，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)于課程知識(shí)的理解和應(yīng)用聯(lián)系，有助于提升學(xué)生持續(xù)發(fā)展能力。另一方面，以“理論、方法、應(yīng)用”為主線，更新課程教學(xué)內(nèi)容。諸如：將線性微分方程基本理論綜合講解、分析，形成線性方程解結(jié)構(gòu)理論體系；將可求解的微分方程進(jìn)行分類，提煉各類初等積分求解方法，挖掘蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想；針對(duì)微分方程尤其是非線性微分方程求解，適當(dāng)引入MatLab 軟件進(jìn)行實(shí)踐分析，提升課程應(yīng)用價(jià)值；基于教材現(xiàn)有知識(shí)理論，適度觸及相關(guān)的前沿知識(shí)，豐富課程廣度，拓展學(xué)生學(xué)習(xí)視野。

（2）教學(xué)方法以“引疑思拓”為引領(lǐng)，重視師生互動(dòng)與小組活動(dòng)，倡導(dǎo)理論與實(shí)踐相結(jié)合。基于OBE 理念，堅(jiān)持“教為不教、學(xué)為學(xué)會(huì)”的教學(xué)思想，以“引疑思拓”為引領(lǐng)革新課程教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生挖掘本課程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與求解方法。其中“引”是指通過引例探索新知，通過已知引導(dǎo)思考?！耙伞笔侵冈O(shè)疑，根據(jù)問題可進(jìn)行聯(lián)系上設(shè)疑、銜接上設(shè)疑、疑難上設(shè)疑、深化上設(shè)疑等等?！八肌笔侵杆伎肌⒎此?，通過設(shè)疑引發(fā)思考、總結(jié)，可以小組形式進(jìn)行?！巴亍笔侵竿卣埂?chuàng)新，通過反思總結(jié)對(duì)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行拓展和深化，銜接新的知識(shí)。諸如，在講解齊次線性微分方程解疊加原理時(shí)，可引入案例進(jìn)行探索，即：設(shè)置引例

②“疑”，帶領(lǐng)學(xué)生針對(duì)上述方程解進(jìn)行“聯(lián)系上設(shè)疑”，分組考慮方程的解形式，諸如：

③“思”，由學(xué)生聯(lián)系上質(zhì)疑，進(jìn)行反思總結(jié)，引導(dǎo)考慮引例解的一般形式以及 與 與 的關(guān)系；

④“拓”，由思進(jìn)行拓展未知，引出新的知識(shí)點(diǎn)，齊次線性微分方程解的疊加原理以及函數(shù)的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)概念。

同樣，在講解齊次線性微分方程解疊加原理中，可進(jìn)行“疑難上設(shè)疑”拓展出解為通解的約束條件。

（3）豐富教學(xué)手段與教學(xué)評(píng)價(jià)形式，適當(dāng)增加反思總結(jié)、軟件實(shí)現(xiàn)、線上輔導(dǎo)測(cè)評(píng)等，真實(shí)反映學(xué)習(xí)效果。傳統(tǒng)教學(xué)手段主要采用板書和多媒體并用的方式。針對(duì)常微分方程基本理論、證明推導(dǎo)等以板書、多媒體交互形式進(jìn)行，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯推理過程，疑難部分可反復(fù)與學(xué)生進(jìn)行交流增強(qiáng)講解深度。針對(duì)微分方程穩(wěn)定性等幾何理論及解曲線等知識(shí)，抽象復(fù)雜，適當(dāng)借助MatLab 軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，清晰演示傳統(tǒng)教學(xué)手段未能呈現(xiàn)的直觀效果。為適度觸及前沿知識(shí)，設(shè)計(jì)知識(shí)模塊，借助線上資源與文獻(xiàn)成果，合理增負(fù)，發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性。課程考核方面，在傳統(tǒng)期末試卷成績(jī)測(cè)評(píng)基礎(chǔ)上，適當(dāng)增加反思總結(jié)、軟件實(shí)現(xiàn)、線上測(cè)評(píng)（如超星課程中心）等環(huán)節(jié)，通過線上平臺(tái)及時(shí)了解學(xué)生預(yù)習(xí)、學(xué)習(xí)過程數(shù)據(jù)，豐富教學(xué)手段和教學(xué)評(píng)價(jià)形式，做到更真實(shí)的反映學(xué)生掌握課程知識(shí)的情況和效果。

3 結(jié)語(yǔ)

常微分方程課程教學(xué)改革是一個(gè)系統(tǒng)工程，需要從教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段、教學(xué)評(píng)價(jià)等層面深入細(xì)致的展開。本文主要以師范專業(yè)認(rèn)證導(dǎo)向?yàn)橐暯?，以學(xué)生為中心，學(xué)習(xí)效果為目的合理設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段、教學(xué)方法、課程評(píng)價(jià)等，以適應(yīng)應(yīng)用創(chuàng)新型人才培養(yǎng)目標(biāo)的需要。