設(shè)計模型 換個角度學(xué)科學(xué)

陳染

計算機剛剛出現(xiàn)的時候，人們就嘗試用計算機解決科學(xué)問題。在傳統(tǒng)的科學(xué)研究中，科學(xué)家會對問題提出相應(yīng)的假設(shè)，再通過設(shè)計實驗驗證假設(shè)。而計算機更注重于模型的構(gòu)建，通過模型對科學(xué)問題進行預(yù)測和假設(shè)。計算思維與科學(xué)思維并不是非此即彼的，它們互相補充，共同促進科學(xué)的進步。

一個著名的例子是阿蘭·圖靈（AlanTuring）運用計算思維對生物學(xué)的研究。眾所周知，圖靈為計算機的發(fā)明提供了理論基礎(chǔ)，被稱為“計算機之父”?？甚r為人知的是，在圖靈晚年，他將研究精力放在生物學(xué)上，但他并不是只沉浸在實驗室中，作為一名計算機科學(xué)家，圖靈試圖通過構(gòu)建計算機模型解釋生物學(xué)現(xiàn)象。1952年，也就是圖靈生命的最后一年，他完成了論文《形態(tài)發(fā)生的化學(xué)基礎(chǔ)》，這篇論文運用計算機模型的方法探討了動物身上花紋的形成規(guī)律。在模型中，圖靈假想了2種作用相反的物質(zhì)：激活劑和抑制劑，通過這2種物質(zhì)的互相對抗形成不一樣的圖案。通過構(gòu)建這個模型，圖靈發(fā)現(xiàn)只需要改變激活劑和抑制劑的參數(shù)，就能夠構(gòu)建出斑馬、豹子、斑點狗等動物的圖案。為了紀念圖靈的貢獻，人們把能夠通過圖靈提出的模型形成的圖案稱之為“圖靈斑圖”（圖1）。圖靈的這篇文章促成了一個全新的交叉學(xué)科領(lǐng)域“計算生物學(xué)”的產(chǎn)生。

這篇論文不僅在生物學(xué)研究上產(chǎn)生了重大影響，其所運用的新思路在物理、化學(xué)乃至社會科學(xué)領(lǐng)域也產(chǎn)生了深遠的影響。換一種思路，一些以前看上去棘手的問題突然變得簡單。作為教師，我們也可以將這種思路運用于科學(xué)課程的學(xué)習中，通過構(gòu)建模型，更清楚地解釋科學(xué)課程中的現(xiàn)象，換一個角度也許學(xué)生的困惑便會迎刃而解。

探究物種的演化

自然選擇是中學(xué)生物課中的一個重要知識點。物競天擇，適者生存，為了生存，有的生物演化出令人驚嘆的保護色，保護它們不被天敵發(fā)現(xiàn)。生物課本中所講的樺尺蠖便是一個典型的例子。

樺尺蠖是一種生活在樺樹上的蛾子，它有深色和淺色2種色型。19世紀中，科學(xué)家在曼徹斯特作了一個調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這里的樺尺蠖大多數(shù)是淺色型，只有少數(shù)深色型。100年后，曼徹斯特已經(jīng)成為一座工業(yè)城市，工廠的濃煙熏黑了白色的樺樹皮。當科學(xué)家來到同一個地方再次進行樺尺蠖調(diào)查時，發(fā)現(xiàn)這里的樺尺蠖大多數(shù)是深色型的，淺色型反而成了少數(shù)?？茖W(xué)家認為在自然的選擇之下，樺尺蠖發(fā)生了基因頻率的變化，相對于淺色型的SS基因，攜帶深色型的ss基因的樺尺蠖更容易生存下來。

在這個案例中，我們通過科學(xué)家的角度探究自然選擇對基因頻率變化的影響。我們還可以換一個角度，從捕獵者的角度探究自然選擇對基因型的影響。NetLogo的模型Bug HuntCamouflage（捕獵蟲子，圖2）為我們提供了這樣的思路。

與其說這是個模型，不如說這是一個代入式的游戲。點擊go運行模型時，我們會看到右側(cè)的花田中會長出一只只顏色各不相同的蟲子，你的鼠標也變成了鳥的形狀，你所要做的任務(wù)就是盡可能多地吃掉蟲子。

這個模型模擬的是自然環(huán)境下蟲子被天敵捕食時產(chǎn)生的自然選擇。每隔一段時間，蟲子就會繁殖，生下來的大多數(shù)后代與前一代的顏色相同，少數(shù)情況會發(fā)生基因突變變成其他顏色。一開始我們會很容易地找到蟲子，過了一段時間后，捕食蟲子變得越來越難，我們可以通過模型左側(cè)的捕蟲數(shù)與時間的關(guān)系圖直觀地看到這種變化（圖3）。

當我們覺得已經(jīng)難以找到蟲子的時候，暫停模型的運行，看看在這場捕蟲游戲中你收獲了什么吧。

點擊模型的flash按鈕，未被捕捉的蟲子會閃爍。我們會發(fā)現(xiàn)并不是所有的蟲子都被捕捉，有些蟲子在我們的捕捉下幸存下來，并演化出保護色，不容易被我們發(fā)現(xiàn)。模型左側(cè)下部有6個直方圖，上面的3個直方圖表示的是當前蟲子的色彩、明暗和飽和度分布圖，而下面的3個圖表示的是游戲開始時的蟲子色彩、明暗和對比度的分布情況。通過2組圖的比較，我們可以直觀地看出蟲子顏色是如何變化的（圖4）。

那么，自然選擇下蟲子的基因型如何變化呢？這個模型巧妙地利用計算機顏色數(shù)值表示了蟲子的基因型。我們知道，在計算機中，1個顏色由紅綠藍（RGB）三原色的不同配比組成，每個顏色的取值范圍從0-255，黑色的RGB值是0，0，0，意味著紅、綠、藍的取值都是0;白色的RGB值是255，255，255，通過這樣的表示方法，計算機總共可以顯示16 777216種顏色。這3種原色的數(shù)值組成了一個三維向量，在模型中我們用它代表蟲子的基因型。我們通過計算每一個向量的標準差，就可以得知基因型的變化。模型右側(cè)花田圖片下方的圖便是向量標準差隨時間的變化圖，標準差越高，意味著蟲子的基因型越相似，也意味著蟲子的顏色越接近。看看在我們捕獵期間，蟲子的基因型發(fā)生了怎樣的變化（圖5）。

我們看到，隨著獵食者的捕食，蟲子基因型的標準差越來越高，說明蟲子的基因型越來越相似。過了一段時間，我們發(fā)現(xiàn)標準差變小了，意味著蟲子之間的基因型差異變大了，這發(fā)生了什么呢？仔細觀察生存下來蟲子的顏色，我們會發(fā)現(xiàn)一個有意思的現(xiàn)象，分布在花上的蟲子顏色更接近花的顏色，分布在葉子上的蟲子更接近葉子的顏色。這個現(xiàn)象意味著經(jīng)過自然選擇之后，蟲子分化為居住在花上的和居住在葉子上的2個生態(tài)位。

這個模型還可以幫助我們探究更多的問題，例如，動物的體型會對保護色產(chǎn)生什么影響，動物的基因突變頻率是否有利于它的生存，動物的后代遷徙距離對保護色有什么影響等。

我們看到，在捕獵蟲子模型中，我們并沒有告訴蟲子如何生成保護色，而是使蟲子根據(jù)幾個簡單的規(guī)則活動，或者說這是模型的3個算法。

·鳥（玩家）會捕食蟲子，被捕食的蟲子從模型中消失;

·每過一段時間，蟲子會生出新的蟲子，新的蟲子離原有蟲子有一定距離;

·生出來的蟲子大概率會延續(xù)上一代的顏色，小概率會突變成隨機顏色。

這個模型可以設(shè)置不同的環(huán)境，我們發(fā)現(xiàn)，只需要構(gòu)建出這幾條規(guī)則，無論環(huán)境如何變化，蟲子都可以很好地融入環(huán)境中。當然，現(xiàn)實中的自然選擇比我們看到的復(fù)雜得多，模型是對現(xiàn)實的簡化，我們不關(guān)注現(xiàn)實中復(fù)雜的變量，而是抽絲剝繭，關(guān)注最核心的問題，這也就是計算思維研究問題的方法。

探究植物的生長

自然選擇不僅發(fā)生在動物中，植物同樣也發(fā)生著自然選擇。例如，很多人喜歡養(yǎng)多肉植物，多肉植物吸引我們除了質(zhì)感厚實可愛之外，我們還發(fā)現(xiàn)它的葉片分布非常均勻，排列得很有規(guī)律，呈現(xiàn)出某種迷人的秩序之美。不只是多肉植物，很多植物，例如向日葵的花盤，也會呈現(xiàn)出同樣的迷人的排列。在課本中我們常常把它們當成自然界的數(shù)學(xué)之美的案例。

我們可以進一步地探究這些迷人的秩序是如何形成的。科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，圖案的形成與葉子的生長角度有關(guān)。科學(xué)家對很多輪生葉序植物進行研究，發(fā)現(xiàn)很多輪生葉序植物長出的第1片葉子和第2片葉子的夾角度數(shù)是137.51°。137.51°是一個神奇的角度，如果2片葉子的夾角是137.51°，那么它的補角就是222.49°，這2個角度的比值接近黃金分割比例0.618，因此，137.51°也被稱為黃金角。為什么那么多的植物會選擇黃金角呢？我們可以通過模型進行探究。

NetLogo模型庫中的Sunflower模型（圖6）很好地模擬了不同角度下葉子生長的情況。在這個模型中，我們將植物的整體形狀的形成分解為每一片葉子的生長模式，并用“海龜”來代表葉子。

在這個模型中，葉子的生長行為遵守以下幾個規(guī)則。

·葉子從畫面原點開始生長，生長方向與上一片長出的葉子保持一定的夾角;

·葉子會逐漸遠離原點;

·葉子會逐漸長大。

在模型中，我們可以調(diào)整葉片夾角的比例，探究不同比例會形成怎樣的圖案，將比例設(shè)置成0.617、0.618 034和0.619，運行模型，我們看到模型會生成3種不一樣的花（圖7）。

我們看到，盡管比例上只有0.001的微小差別，轉(zhuǎn)換成角度只有0.36°，但花的形狀卻非常不一樣。比例為0.617和0.619的花都會產(chǎn)生空隙，有些葉子還會互相堆疊，導(dǎo)致空間的利用率不高。而只有遵循黃金角度的花會充分填滿花盤的空間，同時又不會發(fā)生葉子的堆疊。在現(xiàn)實中，這樣的葉子排列能夠更充分地利用空間，更具有競爭優(yōu)勢。因此，在自然選擇中，很多植物的葉片都采用了黃金角的生長角度。

用模型探究概率問題

概率論是中學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的一部分，也是比較適合用于開發(fā)計算機模型的主題。其中， “三門問題”是中學(xué)概率論中一個很有趣同時又很令學(xué)生困惑的問題，理解三門問題將有助于學(xué)生更好地學(xué)習條件概率。三門問題的表述如下。

三門問題又叫蒙提霍爾問題。它源自20世紀60年代的美國電視節(jié)目“Let's Make ADeal”。參賽者經(jīng)過重重闖關(guān)后，會看見三扇關(guān)閉的門。其中一扇的后面藏著1輛汽車，而另外兩扇門后面則各藏著1只山羊，參賽者想要獲得汽車而不是山羊。此時，參賽者指定了一扇門，但未去開啟它的時候，知道門后情形的節(jié)目主持人會開啟剩下兩扇門中背后是山羊的一扇門，并詢問參賽者： “是否轉(zhuǎn)換選擇指定另一扇門？”

這時候參賽者就產(chǎn)生分歧，有人選擇轉(zhuǎn)換指定，有人選擇不轉(zhuǎn)換，他們的思維方式是怎樣的呢？

選擇轉(zhuǎn)換指定的人：無論選擇哪一扇門，主持人都會打開另外兩扇門中沒有汽車的一扇，在剩下兩個答案中排除了一個選項，那意味著剩下的一扇門有中獎的概率更高，所以選擇轉(zhuǎn)換指定的門。

選擇不轉(zhuǎn)換指定的人：無論選擇哪一扇門，主持人都會打開一扇有山羊的門。沒有打開的兩扇門中，其中一扇門是汽車，另一扇門是山羊，所以每扇門的中獎概率是1/2，因此轉(zhuǎn)換與否不影響中獎概率，因此選擇不轉(zhuǎn)換。

這兩種思維看上去都很有道理，哪一種是正確的呢？試一試就知道了。概率實驗需要重復(fù)多次才能得出正確的結(jié)論，在現(xiàn)實中反復(fù)進行這個實驗費時費力、效率低下，而運用計算機構(gòu)建模型，可以在極短的時間內(nèi)進行成百上千次實驗，在現(xiàn)實中可能需要數(shù)十個小時完成的實驗，在計算機里只需要幾秒鐘就完成了。NetLogo模型庫中的Three Doors便是讓“海龜”自動進行重復(fù)實驗的模型。

這個模型讓數(shù)百只“海龜”不停地進行三門游戲。實驗開始時，每只“海龜”按照以下幾條規(guī)則活動：

·每只海龜有3個選項，其中1個選項是獲獎選項;

·海龜在3個選項中隨機選擇1個;

·去掉剩余2個選項中不是獲獎選項的1個;

·海龜選擇是否轉(zhuǎn)換選擇（黑色海龜表示永遠選擇轉(zhuǎn)換，白色海龜表示永遠選擇不轉(zhuǎn)換）;

·如果海龜選擇的是獲獎選項，則獎勵向前前進一步，如果不是獲獎選項，則不進行任何操作。

設(shè)計了海龜?shù)男袨橐?guī)則之后，我們就可以將它轉(zhuǎn)換成計算機能夠理解的程序，教師可以引導(dǎo)學(xué)生設(shè)計模型程序的流程圖（圖9），清晰地順理模型設(shè)計思路，這種方法有助于我們設(shè)計自己的模型。

這個模型有2種運行模式，點擊gradation即可切換。當gradation開關(guān)關(guān)閉的時候，點擊運行，我們看到黑色的海龜跑得比白色的海龜更快;當gradation開關(guān)開啟時，點擊運行，海龜作出隨機選擇而不是固定選擇，顏色越深的海龜更傾向于選擇轉(zhuǎn)換，顏色越淺的海龜更傾向于選擇不轉(zhuǎn)換。我們同樣發(fā)現(xiàn)越深色的海龜跑得越快。通過這個實驗，我們看到選擇轉(zhuǎn)換的海龜更容易獲得獎品，也說明了第1種思維方式的正確性。

通過這個模型，我們在計算機里做了成千上萬次實驗，并通過“海龜賽跑”的形式直觀地展現(xiàn)實驗結(jié)果。如果有條件，我們可以引導(dǎo)學(xué)生自己通過Pwthon或Scratch建立三門問題模擬，相信對學(xué)生理解背后的條件概率有更大的幫助。

用蒙特卡洛法計算圓周率

我們看到計算機可以在很短時間內(nèi)將一個程序重復(fù)執(zhí)行成千上萬次。這種優(yōu)勢不僅可以讓我們認識概率問題，科學(xué)家還通過它解決了許多難以解決的問題，圍棋AI程序便是其中的一個例子。圍棋有19×19總共361個交叉點，每個交叉點可以有黑棋、白棋、沒有棋子3種情況，除去圍棋規(guī)則不允許和對稱的情況外，總共約為2×10170種情況，比整個宇宙的原子還多，復(fù)雜度之高計算機顯然無法計算所有情況。那么，著名的人工智能圍棋程序AlphaGo是如何在如此復(fù)雜的選擇中簡化局面作出最佳選擇的呢？

Alpha Go戰(zhàn)勝人類的秘密是依靠蒙特卡洛樹搜索和深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。其中，蒙特卡洛法的作用就是簡化局面，使計算機無須遍歷所有情況，即可在有限的時間內(nèi)找出最佳一著。

蒙特卡洛法又叫模擬法，它源于20世紀40年代美國開啟研制原子彈的“曼哈頓計劃”。在研制原子彈的過程中，馮·諾依曼提出了一種新的算法，它最大的特點就是“蒙”。面對一個高度復(fù)雜的系統(tǒng)，蒙特卡洛法通過大量隨機模擬，估算系統(tǒng)的最優(yōu)解。蒙特卡洛算法就像盲人摸象，盲人無法看到大象的全貌，只能靠摸猜測大象的樣子，有人摸到象鼻子，有人摸到象尾巴，有人摸到象腿，怎樣了解大象的全貌呢？我們可以找來盡可能多的盲人，讓盲人隨機摸大象，然后將所有盲人的答案集合起來，我們就能估計出大象的全貌。

在計算機發(fā)明之前，人們已經(jīng)產(chǎn)生了“布豐投針”實驗等用隨機現(xiàn)象認識復(fù)雜系統(tǒng)的思想，但囿于無法產(chǎn)生大量樣本，布豐投針實驗更像是數(shù)學(xué)家閑暇之余的游戲。計算機的發(fā)明，使得快速生成大量隨機樣本成為可能，也讓它從數(shù)學(xué)游戲變成了真正實用的工具。為了更好地了解蒙特卡洛法，我們可以用NetLogo設(shè)計一個蒙特卡洛法計算圓周率的程序。

設(shè)計蒙特卡洛法計算圓周率的思路核心是我們需要構(gòu)造一個辦法讓圓周率丌與某個概率聯(lián)系起來。計算圓周率，我們首先要聯(lián)想圓，圓的面積公式是S=丌，，我們可以利用圓面積構(gòu)造概率，而剩下要做的就是想辦法消掉，。

我們可以這樣構(gòu)造模型：作圓及外切正方形。設(shè)圓的半徑為r，則外接正方形邊長為2r。然后我們在正方形內(nèi)隨機投點，設(shè)投點總數(shù)為a，落入圓內(nèi)的點數(shù)為b，那么，投點落入圓內(nèi)的概率b：a為S圓：S方，即πr2/4r2=π/4。這樣，我們就可以將概率與圓周率丌聯(lián)系起來。

有了思路，我們就可以通過NetLogo程序設(shè)計模型。我們在模型的“瓦片”上作圓，并將“海龜”投點到模型中，通過判斷海龜?shù)奈恢檬窃趫A內(nèi)還是在圓外，計算出圓周率丌的數(shù)值。我們可以設(shè)立“初始化”和“運行”2個按鈕，分別對它們進行編程，模型的程序流程圖分別如圖10。

我們用變量total統(tǒng)計總共的海龜數(shù)，用變量turtlein_green統(tǒng)計落在綠色圓內(nèi)的海龜個數(shù)。我們通過監(jiān)視窗估算圓周率丌的值，計算方法為（turtlesin_green/total）*4。在左下方的圖表計算的是估算值與真實值的誤差率。我們看到，一開始投點比較少的時候，誤差率非常高，但經(jīng)過了10萬多次投點采樣后，我們將能夠?qū)⒄`差率降低到0. 02%（圖11）。

通過這個模型，我們可以歸納出蒙特卡洛法的特點。蒙特卡洛法需要多次重復(fù)實驗：需要多次隨機采樣才能了解一個系統(tǒng)，與之相對的，蒙特卡洛法精確度較低，我們需要進行數(shù)萬次乃至數(shù)十萬次投點，才能達到比較滿意的結(jié)果。但蒙特卡洛法的計算較為簡便，對于復(fù)雜度比較高的計算，蒙特卡洛法可以簡化計算量，也是這個特點，蒙特卡洛法的泛用性比較高，對于不規(guī)則的圖形，普通的數(shù)學(xué)方法可能難以通過積分等方法計算其面積，而蒙特卡洛法能夠快速估計不規(guī)則圖形的面積。這種利用計算機生成大量隨機樣本的思維模式，正是計算思維在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。