基于累積前景理論的TOPSIS多屬性決策方法?

劉慶國 劉新學(xué) 洪大銀

（1.火箭軍工程大學(xué) 西安 710025）（2.78102部隊(duì) 成都 610036）

1 引言

多屬性決策是現(xiàn)代決策科學(xué)的重要組成部分［1］。TOPSIS法及其改進(jìn)型已經(jīng)在多屬性決策領(lǐng)域得到廣泛引用，文獻(xiàn)［2～3］分別運(yùn)用TOPSIS法和DEA-TOPSIS法在優(yōu)選聯(lián)合火力打擊中方案的優(yōu)選和打擊目標(biāo)的選擇。文獻(xiàn)［4］研究了基于加權(quán)TOPSISI的彈目匹配問題。累積前景理論（Cumulative Prospect Theory，CPT）是在前景理論（Prospect Theory，PT）基礎(chǔ)上提出的一種決策者有限理性條件下的有效決策方法［5］，該方法的思想是基于得失而不是最終結(jié)果，價值函數(shù)中的自變量是結(jié)果相對于參考點(diǎn)的變化量［6］。文獻(xiàn)［7］研究了基于PT的編隊(duì)作戰(zhàn)決心方案優(yōu)選方法。文獻(xiàn)［8］研究了基于PT構(gòu)建了配送方行為決策模型。文獻(xiàn)［9］研究了基于CPT論解決了煙草合作方的選擇問題。文獻(xiàn)［10～11］分別研究了基于PT的不確定TOPSIS法和猶豫模糊集TOPSIS法。本文采用CPT與TOPSIS法進(jìn)行結(jié)合（CPT-TOPSIS法），借助TOPSIS法的決策框架，利用CPT考慮決策者有限理性的因素，有效提高決策精度，相比現(xiàn)有基于PT或者CPT的研究，決策過程更具客觀性，實(shí)現(xiàn)更加簡單。

多屬性決策的研究內(nèi)容為屬性權(quán)重的確定和方案的排序優(yōu)選?；诖耍疚闹饕秩糠郑阂皇菍傩詸?quán)重的確定，由于決策者的有限理性，無法使用精確的數(shù)值給出屬性值的偏好信息，故屬性權(quán)重的確定具有模糊性，基于此，采用直覺梯形模糊數(shù)來表述屬性值的權(quán)重［12］；二是方案的排序優(yōu)選，以所有解決方案中的理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)作為CPT的參考點(diǎn)，采用前景價值的期望值代替TOPSIS法中的距離，最終選擇的決策方案的確定仍依據(jù)理想點(diǎn)的貼近程度；三是仿真驗(yàn)證，以作戰(zhàn)決策為背景，仿真驗(yàn)證本文方法的有效性。

2 基于直覺模糊數(shù)的權(quán)重確定

本文是在屬性值已知的前提下進(jìn)行決策，考慮到?jīng)Q策權(quán)重的模糊性，采用直覺梯形模糊數(shù)表述屬性值的權(quán)重。設(shè)?是實(shí)數(shù)集上權(quán)重p的直覺梯形模糊數(shù)，其隸屬度函數(shù)和非隸屬度函數(shù)分別如式（1）和式（2）所示：

式 中μp?∈[0，1] ，vp?∈[0，1] ，，和分別為隸屬度函數(shù)和非隸屬度函數(shù)的左、右側(cè)基準(zhǔn)函數(shù)?；谥庇X梯形模糊數(shù)的權(quán)重可以表 述 為，具體表達(dá)公式為

直覺梯形模糊數(shù)的主要計(jì)算規(guī)則為

通過梯形模糊數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)表述模糊性的屬性權(quán)重，為后續(xù)方案的排序優(yōu)選打下基礎(chǔ)。

3 CPT-TOPSIS法的計(jì)算流程

本文采用前景價值的期望值代替TOPSIS法中的距離，并以所有解決方案中的理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)作為CPT的參考點(diǎn)，參考點(diǎn)的選擇具有一般性，易于操作，規(guī)避了依據(jù)個人偏好選擇參考點(diǎn)的隨機(jī)性。本節(jié)首先介紹了CPT的有關(guān)內(nèi)容，其次給出了CPT-TOPSIS法的計(jì)算流程。

3.1 CPT

CPT是在PT的基礎(chǔ)上提出來的，能夠有效地克服前景理論違背隨機(jī)性占優(yōu)的現(xiàn)象［13］。前景是CPT的基本單元，數(shù)學(xué)表達(dá)為f=(x1，p1;x2，p2;…;xn，pn)，其中xi為第 i個結(jié)果相對于參考點(diǎn)第i個結(jié)果的收益值和損失值，pi為第i個結(jié)果的概率，升序排列x1≤…≤xk≤0≤xk+1≤…≤xn。CPT的前景價值VCPT(f)為

式中v(xi)為第i個結(jié)果的價值函數(shù)；πi-和πi+分別為第i個結(jié)果的損失決策權(quán)重和收益決策權(quán)重。

v(xi)的計(jì)算公式為

式中α和β分別表示收益和損失冪函數(shù)的凹凸程度，且均小于1；δ表示損失比收益更陡的特征，當(dāng)值大于1時表示拒絕損失。

πi-和πi+的相關(guān)計(jì)算公式為

式中形如ω+(p)和ω-(p)的計(jì)算公式為

式中γ和ζ為參數(shù)，p為概率。

3.2 計(jì)算流程

以TOPSIS法為框架，CPT-TOPSIS法的計(jì)算流程如下。

步驟1：依據(jù)決策方案信息，確定決策方案矩陣。

矩陣每一行為一個決策方案，每個方案有n個屬性值，總共m個決策方案。

步驟2：決策方案矩陣的歸一化。

式中 maxx·j為第j列的最大值。

步驟3：確定理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)，并確定所有解決方案前景價值中相對兩個參考點(diǎn)的收益值或損失值（式（8）所示）。

xpos=[maxx·1，maxx·2，…，maxx·n] 和xneg=[minx·1，minx·2，…，minx·n]分別為理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)。

步驟4：計(jì)算前景價值及其期望值。

步驟5：計(jì)算距離理想點(diǎn)的貼近程度。

式中Ci為第i個解決方案相對理想點(diǎn)的貼近程度，該值越大，方案越優(yōu)。

4 仿真計(jì)算及結(jié)果分析

4.1 仿真計(jì)算

仿真條件為假設(shè)給定作戰(zhàn)目標(biāo)后，參謀人員制定五個決策方案。決策方案的屬性值包含三個方面，一是投入成本，二是生存概率，三是毀傷概率。五個決策方案的屬性值如表1所示。給定三個決策方案每個屬性值權(quán)重的梯形模糊數(shù)如表2所示，表2中編號中數(shù)字為方案屬性值。v(xi)計(jì)算時α和β的值分別為0.89和0.92。ω+(p)和ω-(p)計(jì)算時γ和ζ的值分別為0.6和0.7［14］。本文提出的CPT-TOPSIS法與相近的同類算法（文獻(xiàn)［7］、［8］、［9］、［10］和［11］）進(jìn)行對比，三者依次為CPT-TOPSIS法，方法1、方法2、方法3、方法4和方法5。

表1 不同方案的屬性值

表2 不同方案屬性值權(quán)重的直覺梯形模糊數(shù)

4.2 結(jié)果分析

通過分析表1中數(shù)據(jù)可以得到理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)分別為［850 0.7 0.9］和［500 0.4 0.5］。通過計(jì)算可以得到CPT-TOPSIS法和文獻(xiàn)［7］、［8］、［9］、［10］和［11］中方法得到的結(jié)果如表3所示。

表3 不同方法前景價值的期望值

從表3中可以看出，CPT-TOPSIS法與方法1、方法2、方法3和方法5求解的決策結(jié)果一致，均為方案1為最優(yōu)結(jié)果，驗(yàn)證了方法的有效性。不同方法中五個方案的排序有所不同。CPT-TOPSIS法：a?b?c?d?e；方法 1：a?e?b?c?d；方法2：a?d?b?e?c；方案3：a?b?c?d?e；方法 4：b?a?c?e?d；方法5：a?b?c?d?e。各方法計(jì)算過程與CPT-TOPSIS法相似。方法1，方法2和方法3與CPT-TOPSIS法不同之處在于本文采用了理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)代替人為參考點(diǎn)的選擇；方法4和方法5與CPT-TOPSIS法的不同之處在于采用CPT代替PT。

仿真結(jié)果表明了CPT-TOPSIS法的有效性，實(shí)現(xiàn)了考慮人有限理性的特點(diǎn)，更加準(zhǔn)確地反映了需求，能夠?yàn)閷?shí)施正確的決策提供支撐。相比其他方法，CPT-TOPSIS法除已經(jīng)現(xiàn)有研究證實(shí)的CPT相比PT的優(yōu)勢，在參考點(diǎn)選擇上更加客觀理性，表現(xiàn)在以決策結(jié)果中準(zhǔn)確數(shù)據(jù)為依據(jù)選擇參考點(diǎn)，規(guī)避了決策者因偏好選擇參考點(diǎn)導(dǎo)致結(jié)果不理性的缺陷。

5 結(jié)語

考慮到?jīng)Q策過程中人的有限理性，本文采用直覺梯形模糊數(shù)來表述屬性值的權(quán)重，以所有解決方案中的理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)作為CPT的參考點(diǎn)，采用前景價值的期望值代替TOPSIS法中的距離，最終實(shí)現(xiàn)決策方案的確定，構(gòu)建了CPT-TOPSIS多屬性決策方法。相比現(xiàn)有的方法，本文提出的方法能夠進(jìn)一步克服決策過程中存在的隨機(jī)性，能夠更加客觀地給出決策結(jié)果。在未來研究中，屬性權(quán)重的直覺梯形模糊數(shù)如何更加客觀有效將是一項(xiàng)重要的研究方向。