一種靜定單跨梁彎曲內(nèi)力的編程計(jì)算方法

聞?chuàng)P琎 陳小亮 蔣利成

（重慶科技學(xué)院建筑工程學(xué)院，重慶401331）

陳俊旗等人[1]以梁的彎曲內(nèi)力和彎曲應(yīng)力的教學(xué)為例,介紹了有限單元法輔助教學(xué)的過程, 幫助學(xué)生可以更好地理解梁彎曲時的內(nèi)力和應(yīng)力, 尤其對彎曲時橫截面上的正應(yīng)力有一個更為直觀的認(rèn)識。馮麗[2]基于彎曲內(nèi)力方程與數(shù)學(xué)函數(shù)存在一致性,在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入內(nèi)力函數(shù),而在力學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化數(shù)學(xué)分析,達(dá)到了知識整合的目的。熱依汗·依不拉依木和陳國新[3]在有關(guān)教材規(guī)定符號方法的基礎(chǔ)上總結(jié)出一套通俗易懂的方法, 方便學(xué)生掌握彎曲內(nèi)力正負(fù)規(guī)定和計(jì)算方法。史雙喜和丁少玲[4]引入MATLAB 語言編程計(jì)算彎曲內(nèi)力和作圖, 可使內(nèi)力的分析更直觀,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,大大提高教學(xué)效率。王曄和楊姝[5]將MATLAB 和具體的材料力學(xué)課程相結(jié)合, 對培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用科學(xué)計(jì)算工具解決工程實(shí)際問題進(jìn)行了探索。劉永豐[6]給出了彎曲內(nèi)力計(jì)算除截面法以外的幾種計(jì)算方法，這幾種方法的特點(diǎn)是不需要先計(jì)算支座約束反力，而是由荷載直接計(jì)算出梁的內(nèi)力。周蔚宇[7]探討了用奇異函數(shù)求梁的彎曲內(nèi)力和變形。王泉祥[8]提出一個應(yīng)用奇異函數(shù)解決梁的彎曲內(nèi)力、變形及靜不定問題的簡便方法，用該方法可將作用在梁上的各種載荷用一個載荷集度函數(shù)表示，通過積分,全梁的剪力、彎矩、轉(zhuǎn)角和撓度可分別用一個方程表示。吉蔚[9]建立了等直梁彎曲內(nèi)力和變形的普遍方程式。

1 左端固定的懸臂梁彎曲內(nèi)力計(jì)算

首先定義一個奇異函數(shù) δ（x）：

圖1 左端固定的懸臂梁

圖1（a）所示左端固定的懸臂梁在任意集中力F 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

圖1（b）所示左端固定的懸臂梁在任意集中力偶Me 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

圖1（c）所示左端固定的懸臂梁在任意分布力q 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

注意，本文外力當(dāng)中的集中力和均勻分布載荷均假定向上為正、集中力偶假定逆時針為正，內(nèi)力（剪力和彎矩）的正負(fù)號遵循工程力學(xué)教材的規(guī)定。

2 右端固定的懸臂梁彎曲內(nèi)力計(jì)算

圖2 右端固定的懸臂梁

圖2（a）所示右端固定的懸臂梁在任意集中力F 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

圖2（b）所示右端固定的懸臂梁在任意集中力偶Me 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

圖2（c）所示右端固定的懸臂梁在任意分布力q 作用下的彎曲剪力和彎矩可表示為：

3 簡支梁和外伸梁的支座反力計(jì)算

圖3 簡支梁和外伸梁的支座反力

如圖3 所示，簡支梁或外伸梁的兩個支座距離梁左端的距離分別為b 和c，所受集中力F 或集中力偶Me 的位置距離梁左端的距離為b。則圖3（a）所示簡支梁或外伸梁在任意集中力F作用下的支座反力可表示為（外力假定向上為正）：

圖3（b）所示簡支梁或外伸梁在任意集中力偶Me 作用下的支座反力可表示為：

對于簡支梁或外伸梁在任意分布力q 作用下的支座反力，可先把分布力等效為一個集中力，然后就可以按照公式（14）-（15）計(jì)算兩個支座反力。

4 討論

對于左端固定的懸臂梁受任意集中力、集中力偶、均勻分布載荷作用，可基于疊加原理利用公式（2）-（7）計(jì)算梁的剪力和彎矩；對于右端固定的懸臂梁受任意集中力、集中力偶、均勻分布載荷作用，可基于疊加原理利用公式（8）-（13）計(jì)算梁的剪力和彎矩；對于簡支梁或外伸梁受任意集中力、集中力偶、均勻分布載荷作用，首先基于疊加原理利用公式（14）-（17）計(jì)算梁的兩個支座反力，然后把支座反力也看成集中荷載，就可以基于疊加原理利用公式（8）-（13）計(jì)算梁的剪力和彎矩。本文探討的靜定梁彎曲內(nèi)力計(jì)算方法對于彎曲內(nèi)力的編程計(jì)算是非常便利的。