簡諧振動的物理教學及教育心理學探討*

金碩 舒小林 李林玉 王金良

(北京航空航天大學物理學院 北京 100191)

振動通常是指物體在其平衡位置附近來回往復的運動，而簡諧振動則是振動中滿足一定條件下的基本運動形式.它是機械運動中常見的重要運動形式之一，也是學習機械波、電磁波、波動光學等章節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ).對于簡諧振動及其相關(guān)問題的討論也成為教學研究的熱點，如利用MATLAB從理論、圖像等方式模擬機械振動的物理模型[1]，采取旋轉(zhuǎn)矢量法簡化簡諧振動的數(shù)學過程[2～4]，同方向、同頻率簡諧振動合成初相位問題不同方法之間的教學效果等[5].因此，簡諧振動成為質(zhì)點力學的重點教學內(nèi)容.現(xiàn)有的國內(nèi)大學物理教材中有兩種常見的編寫方式.同時，物理學作為自然科學的重要組成部分，其相關(guān)學習屬于教育心理學的認知學習范疇，對學習的具體認知過程和信息加工過程進行分析和探討，將有利于促進教學目標的實現(xiàn)和學生知識認知結(jié)構(gòu)的形成.本文將針對簡諧振動相關(guān)教材的編寫和教學方式，從知識結(jié)構(gòu)進行教學基礎(chǔ)和特點的分析，并結(jié)合教育心理學認知結(jié)構(gòu)的學習理論進行相關(guān)討論，以期更好地幫助學生建立清晰認知結(jié)構(gòu)，為克服物理學習的難點提供有效幫助，為簡諧振動等教學模塊的物理教學提供相應的參考.

1 物理教材中常見的編寫方式

國內(nèi)物理專業(yè)的力學教材和大學物理教材中，振動通常單獨作為一章內(nèi)容講授，以便學生深入地學習和掌握振動相關(guān)的知識點，對于振動章節(jié)的編寫和相應的教學方式主要有兩種情況.其一，部分大學物理教材先給出簡諧振動的運動學方程[6,7]，按照質(zhì)點運動學描述運動規(guī)律的方式，引入做簡諧振動物體的速度、加速度等運動學物理量，通過驗證的方式得到簡諧振動的動力學微分方程，再另成小節(jié)介紹簡諧振動的動力學性質(zhì).教材內(nèi)容編寫的次序是從簡諧振動運動學到動力學.其二，教材的編寫方式從研究振動物體的動力學出發(fā)[8～10]，分析做簡諧振動物體的受力情況，給出牛頓第二定律的動力學方程，求解得到簡諧振動的運動學方程，再分析其運動學特征和機械能等.教材內(nèi)容編寫的次序是從簡諧振動動力學到運動學.

簡諧振動對應的兩種教材編寫和教學方式各有特點.按照質(zhì)點運動學引入的教材編寫方式是從簡諧振動的運動學方程出發(fā).以如圖1所示的水平振動的彈簧振子為例來說明.

圖1 彈簧振子示意圖

彈簧左端固定，彈簧右端系有一質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點的物體，物體可在光滑的水平桌面上來回運動，這種結(jié)構(gòu)稱為彈簧振子.采用簡諧振動的運動學方程定義簡諧振動，即質(zhì)點偏離平衡位置的位移按余弦函數(shù)隨時間變化的運動為簡諧振動，其運動方程為

x=Acos(ωt+φ)

(1)

其中A為簡諧振動的振幅，ω為圓頻率，φ為初相位.通過式(1)介紹簡諧振動的振幅、圓頻率、周期、頻率等振動特征物理量，計算振動過程中系統(tǒng)的機械能等內(nèi)容.

進一步，根據(jù)速度和加速度的定義可得到做簡諧振動物體的速度和加速度分別為

(2)

(3)

基于式(3)簡諧振動物體的加速度和式(1)偏離平衡位置位移公式的定量關(guān)系，得到簡諧振動滿足的動力學微分方程

(4)

由牛頓第二定律及式(3)，可以得到

(5)

上式關(guān)系表明做簡諧振動的質(zhì)點所受的合外力與它偏離平衡位置的位移成正比，但方向相反，即受到線性回復力作用.

根據(jù)質(zhì)點動力學引入的教材編寫方式是基于質(zhì)點動力學問題的求解方法，即分析振動物體受力情況，列出牛頓運動方程，導出運動微分方程，求解得到運動學方程并討論其運動過程.如圖1中，當彈簧自然伸長時，物體處于平衡位置.以此平衡位置為坐標原點，水平向右為x軸正方向.當物體向右偏離平衡位置，發(fā)生位移x時，物體受到彈簧的回復力為-kx(負號表示回復力指向x軸負方向，圖示向左)；而當物體向左偏離平衡位置，發(fā)生位移-x時，物體受到回復力為kx(方向指向x軸正方向，圖示向右).根據(jù)質(zhì)點的受力情況，得到牛頓第二定律的動力學方程為

(6)

2 質(zhì)點動力學認知結(jié)構(gòu)的兩類基本問題

實際上，質(zhì)點做簡諧振動的運動是質(zhì)點力學中有代表特點的運動形式之一.在物理專業(yè)力學課程或大學物理課程的質(zhì)點力學部分，已經(jīng)建立了質(zhì)點力學的完整知識結(jié)構(gòu)，而質(zhì)點力學又可分為質(zhì)點運動學和質(zhì)點動力學兩個部分.

質(zhì)點運動學不涉及物體的質(zhì)量和受力情況，只研究質(zhì)點位置、位移、速度和加速度等運動參量間的關(guān)系，在不同坐標系中具體化為速度和加速度的定量表達式，進而研究質(zhì)點運動學中的兩類問題及兩類問題的求解方法，從而建立起系統(tǒng)的質(zhì)點運動學知識結(jié)構(gòu).質(zhì)點動力學研究物體所受力與物體運動的關(guān)系，既涉及物體運動又涉及其受力情況，與物體的質(zhì)量有關(guān)，通過以牛頓三大運動定律為基礎(chǔ)的一系列定理，如動能定理、功能原理、動量定理、角動量定理等，以及它們的守恒定律來研究質(zhì)點運動和其變化的原因.結(jié)合并類比質(zhì)點運動學中常見的兩類基本問題[6～10](對應數(shù)學中的微分法和積分法)，我們把質(zhì)點動力學中的問題分成如圖2所示的兩類基本問題，建立質(zhì)點動力學相應的知識框架結(jié)構(gòu).通過比較發(fā)現(xiàn)，簡諧振動作為一種機械運動形式，其相關(guān)教學內(nèi)容自然需要基于上述質(zhì)點動力學中的兩類基本問題展開，其教學目標是通過教學使學生掌握簡諧振動的動力學和運動學特征.第一種教材編寫方式基于質(zhì)點動力學中第一類問題的認知方法.采用運動學方程定義簡諧振動，通過求導的方法得到質(zhì)點的加速度，根據(jù)簡諧振動的位移和加速度關(guān)系，對比牛頓第二定律，尋求質(zhì)點做簡諧振動的原因，即受到線性回復力的作用.第二種教材編寫方式基于質(zhì)點動力學中第二類問題的認知方式.質(zhì)點做簡諧振動的成因即為本身受到的線性回復力，體現(xiàn)為來回往復的運動形態(tài).因此，先根據(jù)質(zhì)點的受力情況，再列出對應的牛頓方程，進而求解得到運動學方程.

圖2 質(zhì)點動力學兩類基本問題的知識結(jié)構(gòu)

3 物理教學的教育心理學分析

學生在學習過程中對知識的獲得和認知結(jié)構(gòu)的建立，從教育心理學的認知主義學習角度來看[11～15]，學生不只是在強化條件下簡單重復地接受刺激，形成反應連接，更重要的是積極主動地應用已建立的認知結(jié)構(gòu)，通過相關(guān)內(nèi)部信息加工活動方式，完善、充實原有認知結(jié)構(gòu)，或形成新的認知結(jié)構(gòu).物理學中的概念、原理、定律、理論和方法等都是屬于教學心理學中的認知學習范疇.

在教育心理學中，認知結(jié)構(gòu)可以看成是人們認識現(xiàn)實世界的內(nèi)在編碼系統(tǒng)[11,12].首先，它是由一系列相互關(guān)聯(lián)的類別構(gòu)成，這些類別可以是有相似屬性的對象或事物，并且依據(jù)確定的規(guī)則及規(guī)律將這些類別分類.其次，學生的學習過程就是類別化的活動過程，他們可以對學習材料所呈現(xiàn)的現(xiàn)象、遵循的規(guī)律進行概括，把這些知識點歸為某一類別，并依據(jù)這一類別對與它相關(guān)的類別做出分析，在具體知識的基礎(chǔ)上形成更具規(guī)律的一般編碼系統(tǒng).再次，這種一般編碼系統(tǒng)一旦形成，新的信息就可以納入到這種有組織、有層次的認知知識結(jié)構(gòu)中.學習知識就不再是簡單地學習具體的類別，而是怎么樣掌握和運用編碼系統(tǒng)，通過各類別之間的相互關(guān)聯(lián)來超越給定的信息，達到舉一反三、觸類旁通的目的.因此，從學習自然科學的角度來講，這種有組織的編碼系統(tǒng)更利于學生對知識的掌握和應用.學生在物理學習過程中用類別化活動來感知新的知識，并對新知識點進行加工，形成有組織、有層次的知識點結(jié)構(gòu)組織或自己的編碼系統(tǒng)，這些構(gòu)建的認知結(jié)構(gòu)就是進行推理、思考和研究的基礎(chǔ).

針對簡諧振動這部分的教學內(nèi)容，學生在學習之前已經(jīng)建立了質(zhì)點力學的一般編碼系統(tǒng)，掌握了質(zhì)點動力學的兩類基本問題.簡諧振動的教學從教育心理學角度來講，就是如何讓學生把新的信息知識納入到已經(jīng)掌握的編碼系統(tǒng)，強化和擴展原有編碼系統(tǒng)的過程.本文所述的看似兩種不同的教材編寫方式，分別從質(zhì)點運動學和動力學的先后次序入手，但實則都是解決簡諧振動的動力學問題，教學目標均為使學生掌握簡諧振動的動力學和運動學特征，只是從不同的出發(fā)點，通過其各自鮮明的特色，引導學生成功地建立對簡諧振動知識體系的認知結(jié)構(gòu)，完全符合教育心理學的認知學習理論.

實際上，教育心理學中的認知信息加工理論還會根據(jù)個體反應活動的形式不同將知識分成陳述性知識和程序性知識[11,12].陳述性知識是學生認識客觀環(huán)境及其相互關(guān)系的知識，它是可以用語言來表達或通過可視化方式來描述的知識，陳述性知識主要是回答事物是什么、為什么以及怎么樣的問題，對應于物理學中的一些基本概念等.程序性知識是關(guān)于認知的技能如何操作，即如何做事情的知識，它是學生應用已經(jīng)具有的，用于具體情境的算法、方法和一套執(zhí)行步驟，比如對應物理學中的一些原理和方法等.因此，對于物理中簡諧振動相關(guān)的學習，教學的最終目的是讓學生通過教學內(nèi)容安排，建立其運動學和動力學相應特征的認知結(jié)構(gòu)，因此，對于此部分的認知結(jié)構(gòu)形成，程序性知識的個體反應更為理想.

特別地，按照第一種教材編寫進行的教學方式是認為質(zhì)點的運動情況已知，探究質(zhì)點做簡諧振動的原因.其編寫方式的特點是按照質(zhì)點動力學第一類問題的認知結(jié)構(gòu)，具體應用到簡諧振動，即可以看成是質(zhì)點動力學第一類問題的陳述性知識向質(zhì)點動力學第一類基本問題的程序化知識轉(zhuǎn)變的例子.這種方式給出了簡諧振動的直觀運動形式，避開運動微分方程求解的難點，非常適合學生在高等數(shù)學知識學習與物理教學不同步時采用.按照第二種教材編寫進行的教學方式是認為質(zhì)點的受力情況已知，要研究其運動遵循的規(guī)律.這種方式的主要特點是當質(zhì)點受力情況發(fā)生變化，很自然地推廣到阻尼振動和受迫振動的情況.這種方式在編寫簡諧振動、阻尼振動和受迫振動時，內(nèi)容從易到難有很好的遞進關(guān)系.教學內(nèi)容由淺入深，從簡諧振動的理想模型逐漸深入到阻尼振動、受迫振動實際情形的物理學研究方法.可以看到，它是質(zhì)點動力學的第二類基本問題編碼系統(tǒng)的拓展和深入，也包括動力學第二類問題的陳述性知識向其程序化知識的轉(zhuǎn)化.

根據(jù)上述分析，就利用原有的動力學解決問題的方法去獲得簡諧振動相關(guān)認知結(jié)構(gòu)的過程角度來講，按照第二種教材編寫進行的教學方式更符合認知心理學的學習理論.這也是國內(nèi)教材中多采用此方式編寫的原因之一.當然，按照第一種教材編寫進行的教學方式也有其適用和合理之處，尤其是考慮認知理論中影響學習因素的主體——學生原有的認知結(jié)構(gòu)及體系，比如可以避開數(shù)學難點等.因此，在采用第一種教材對應的教學后，補充講解和說明第二種教材方式的教學要點，也能很好地幫助學生建立良好的質(zhì)點動力學知識的編碼系統(tǒng)，達到同樣的學習和教學效果.物理教學中，這種類似的程序化知識轉(zhuǎn)化方法也可以同樣應用到波動章節(jié)、剛體運動的分析中.

在物理教學中，有很多利用教育心理學方法促進實現(xiàn)教學目標的例子，如在剛體力學、電磁學等教學中結(jié)合教育心理學中的類比學習法、遷移學習法等的應用[16～18].物理學是研究物質(zhì)運動普遍規(guī)律的學科，教學目標的確立必須從所要構(gòu)建的知識認知結(jié)構(gòu)出發(fā)，培養(yǎng)學生用類別化活動來感知新的知識，促進完成陳述性知識向程序化知識的轉(zhuǎn)化，從而形成有組織、有層次的認知結(jié)構(gòu)或者編碼系統(tǒng)，這是整個教學過程的核心.學生的認知結(jié)構(gòu)是從教材的知識結(jié)構(gòu)和教學中轉(zhuǎn)化而來的，結(jié)合教育心理學的要點，將有利于更好地突出物理學科最具生命力、最有價值的知識體系，最大程度地保障教學過程的效果和教學目標的實現(xiàn).學習的過程不僅要讓學生掌握具體的知識與技能，更要讓學生掌握其中的心智技能，學會學習.