區(qū)間猶豫模糊M-對(duì)稱平均及其群決策模型

馬慶功

常州大學(xué) 懷德學(xué)院，江蘇 靖江214500

1 引言

決策科學(xué)的發(fā)展，推動(dòng)著現(xiàn)代社會(huì)和經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，同時(shí)也帶來一些不可逆的問題，如決策環(huán)境越來越復(fù)雜，人類認(rèn)知的模糊不確定性等。鑒于此，在決策過程中無法用一個(gè)精確的值來描述屬性信息，自Zadeh[1]提出了模糊集（Fuzzy Set，F(xiàn)S）理論以來，吸引了眾多學(xué)者們對(duì)模糊決策問題關(guān)注和擴(kuò)展研究。然而，決策者在制定決策時(shí)不可避免地帶有主觀偏好，導(dǎo)致決策中出現(xiàn)猶豫不定的情況，從而決策結(jié)果存在一定程度的偏頗[2-4]。于是，Torra[5]提出了猶豫模糊集的概念。雖然猶豫模糊集在表達(dá)屬性信息方面優(yōu)勢(shì)顯著，但并不能精準(zhǔn)地刻畫原始決策信息，仍然存在一定的信息損失現(xiàn)象。對(duì)此，決策者們利用[0，1]間的區(qū)間值來進(jìn)行刻畫。進(jìn)而，Chen 等人[6]提出來區(qū)間猶豫模糊集（Interval-Valued Hesitant Fuzzy Sets，IVHFSs），允許給定集合中元素的隸屬度由幾個(gè)不同的區(qū)間值進(jìn)行描述。

屬性信息集成已經(jīng)成為多屬性群決策問題中的重要研究領(lǐng)域之一[7-9]。在區(qū)間猶豫模糊環(huán)境下，Jin等[8]引入了Einstein 的思想，構(gòu)建了一個(gè)基于區(qū)間值猶豫模糊優(yōu)先集成算子的決策模型。針對(duì)帶有不完全權(quán)重信息的決策問題，Zhang等[10]提出來一種新的解決方法，并成功應(yīng)用于MAGDM問題中。Liu等[11]基于改進(jìn)的Hamacher集成算子和連續(xù)熵，構(gòu)建了多屬性群決策方法。此外，文獻(xiàn)[12-14]研究了區(qū)間猶豫模糊集的距離公式和相似度測(cè)量公式，提出了一些有效且可行的度量方法用于決策問題中。

Maclaurin對(duì)稱平均（Maclaurin Symmetric Mean，MSM）由Maclaurin[15]提出，后來得到了擴(kuò)展和發(fā)展[16]，可以反映多個(gè)輸入?yún)?shù)之間的相互關(guān)系，較好地彌補(bǔ)了Heronian Mean（HM）算子[17]和Bonferroni Mean（BM）算子[18]只考慮集成參數(shù)間的相互關(guān)系而沒有考慮三個(gè)或更多個(gè)參數(shù)之間的相互關(guān)系的缺陷，更加具有可靠性和可行性。而后，一些學(xué)者將MSM 引入到不同的環(huán)境下進(jìn)行屬性信息的融合[7，19-21]，進(jìn)一步證明屬性信息集成的可行性和有效性。

通過以上分析發(fā)現(xiàn)，針對(duì)區(qū)間猶豫模糊信息集成方法的研究成果雖然不少，但與MSM 進(jìn)行集成的研究尚未提出。因此，本文基于Maclaurin 對(duì)稱平均定義了區(qū)間猶豫模糊Maclaurin 對(duì)稱平均（Inter-Valued Hesitant Fuzzy Maclaurin Symmetric Mean，IVHFMSM）算子，研究了其具有的優(yōu)良性質(zhì)、常見形式以及加權(quán)形式，最后基于IVHFMSM 算子構(gòu)建了區(qū)間猶豫模糊信息集成的多屬性群決策模型，并通過采購數(shù)據(jù)庫的實(shí)例論證了其有效性和可行性。

2 基本理論

本章主要回顧區(qū)間猶豫模糊集和Maclaurin對(duì)稱平均算子的基本概念及運(yùn)算法則。

2.1 區(qū)間猶豫模糊集

定義1[6]令X={x1,x2,…,xm}為一個(gè)給定的集合，則稱：

為區(qū)間猶豫模糊集。為方便起見，稱：

為一個(gè)區(qū)間猶豫模糊元（IVHFE）。γi表示X 中元素xi屬于集合H 的可能隸屬度。為一個(gè)區(qū)間猶豫模糊數(shù)，其中γ?L為區(qū)間數(shù)的下限，γ?U為區(qū)間數(shù)的上限值。

定義2[6]若α=[αL,αU] 和β=[βL,βU] 為兩個(gè)區(qū)間數(shù)，令lα=αU-αL,lβ=βU-βL，則α ≥β 的可能度為：

定義3[6]令I(lǐng)VHFE h={γ|γ ∈h( x )}，則IVHFE h 的

得分函數(shù)定義如下：

其中，#h 為集合h 中區(qū)間的個(gè)數(shù)，且s(h)是[0,1]上的區(qū)間。對(duì)于兩個(gè)IVHFE h1和h2，若s( h1)≥s( h2)，則h1≥h2，即h1大于h2；若s( h1)＜s( h2)，則有h1＜h2，即h1小于h2。

文獻(xiàn)[6]進(jìn)一步研究了一些區(qū)間猶豫模糊集成算子：令hj(j=1,2,…,n) 為一列IVHFEs，w=(w1,w2,…,wn)T為相關(guān)的權(quán)重向量，滿足wi∈[0 ,1] 且=1，則：

（1）區(qū)間猶豫模糊加權(quán)平均（IVHFWA）算子

（2）區(qū)間猶豫模糊加權(quán)幾何（IVHFWG）算子

2.2 Maclaurin對(duì)稱平均

定義4[15]令ai(i=1,2,…,n)是一組非空實(shí)數(shù)，并且r=1,2,…,n。如果：

則稱MSM(r)為麥克勞林對(duì)稱平均。其中，(i1,i2,…,ir)遍歷組合(1,2,…,n)中所有的r 元組，為二項(xiàng)式系數(shù)。

3 IVHFMSM算子及其性質(zhì)和常見形式

本章將會(huì)在區(qū)間猶豫模糊環(huán)境下引入Maclaurin對(duì)稱平均，得到區(qū)間猶豫模糊Maclaurin對(duì)稱平均（IVHFMSM）算子。此外，本章也對(duì)區(qū)間猶豫模糊Maclaurin 對(duì)稱平均算子所具備的優(yōu)良性質(zhì)和一些特例進(jìn)行研究。基于文獻(xiàn)[6]提出的關(guān)于區(qū)間猶豫模糊元的運(yùn)算法則和文獻(xiàn)[15]中提出的關(guān)于Maclaurin對(duì)稱平均的特殊性質(zhì)，有如下定義。

定義5 令hi(i=1,2,…,n)是一組區(qū)間猶豫模糊元，且r=1,2,…,n。如果：

稱為區(qū)間猶豫模糊麥克勞林對(duì)稱平均算子，簡記為IVHFMSM(r)算子。其中，(i1,i2,…,ir)遍歷組合(1,2,…,n)中所有的r 元組為二項(xiàng)式系數(shù)。

定理1 令hi(i=1,2,…,n) 為一列IVHFE，則運(yùn)用IVHFMSM(r)算子得到的集成結(jié)果仍為IVHFE，且有：

其中，γ1∈h1,γ2∈h2,…,γn∈hn。

證明（1）根據(jù)文獻(xiàn)[6]中的運(yùn)算法則，可得：

因此：所以公式（9）成立。

（2）若要證明IVHFMSM(r)算子得到的結(jié)果仍為IVHFE，即證：

所以，IVHFMSM(r)算子得到的結(jié)果仍為IVHFE。綜上，則定理1得證。

性質(zhì)1（冪等性）令hi(i=1,2,…,n)為一列IVHFE，如果對(duì)于所有的i=1,2,…,n，都有hi=h={ }γ ，則：

證明 當(dāng)hi(i=1,2,…,n)=h=[γL,γU] 時(shí)，所以：

綜上，易知性質(zhì)1成立。

推論 令hi(i=1,2,…,n) 為一列IVHFE，對(duì)于任意i，則有以下兩條推論：

（1）若hi=h=(0,0)，則：

（2）若hi=h=( 1,1) ，則：

性質(zhì)2（置換不變性）令hi(i=1,2,…,n) 為一列IVHFE，如果是hi=(h1,h2,…,hn) 的一個(gè)任意置換，則有：

根據(jù)定義5和定理1，可得性質(zhì)3成立。

結(jié)合性質(zhì)1和性質(zhì)3，可得以下性質(zhì)。

引理1[22]令ai(i=1,2,…,n)是一組非空實(shí)數(shù)，并且r=1,2,…,n，則有：

其中，當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，等式成立。

引理2[23]令ai＞0，bi＞0(i=1,2,…,n)，且=1，

則有：

其中，當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，等式成立。

令

（1）首先要證明f ( r)是隨著參數(shù)r 單調(diào)遞減函數(shù)。基于引理1和引理2，可得：

（2）反證法。假設(shè)隨著參數(shù)r 的增加，函數(shù)f( r)遞增，則：

（3）令L( r )=f( r+1) -g( r )，則：

因?yàn)楹瘮?shù)f( r ),g( r )都為單調(diào)減函數(shù)，可得f( r+2 )-f( r+1) ＜0，g( r+1) -g( r )＜0，因此L( r+1) -L( r )＜0。

接下來，將介紹IVHFMSM( )r在參數(shù)r 取不同值時(shí)的特殊形式。

情況1 當(dāng)r=1 時(shí)：

IVHFA(h1,h2,…,hn)

情況2 當(dāng)r=2 時(shí)：

情況3 當(dāng)r=n 時(shí)：

4 基于IVHFWMSM算子的群決策模型及其應(yīng)用

4.1 IVHFWMSM算子

稱IVHFWMSM(r)為區(qū)間猶豫模糊加權(quán)Maclaurin對(duì)稱平均算子。其中，(i1,i2,…,ir)遍歷組合(1,2,…,n)中所有的r 元組，為二項(xiàng)式系數(shù)。

4.2 算法模型

假設(shè)A={A1,A2,…,Am} 為一個(gè)給定的備選方案集合，C={C1,C2,…,Cn}為屬性集合，屬性權(quán)重向量為w=(w1,w2,…,wn)T，滿足wi≥0 且=1?，F(xiàn)邀請(qǐng)一組相關(guān)專家E={E1,E2,…,Em} ，η=(η1,η2,…,ηm)T為專家權(quán)重向量，滿足ηj≥0 且=1。對(duì)這些備選方案在屬性集下進(jìn)行綜合評(píng)估。為了使得專家們提供的決策信息表達(dá)得更為全面和精確，將運(yùn)用區(qū)間猶豫模糊元hij表示這些專家對(duì)每個(gè)方案Ai在每種屬性Cj下的評(píng)估信息，進(jìn)而構(gòu)建一個(gè)區(qū)間猶豫模糊決策矩陣H=(hij)m×n。接下來，將運(yùn)用提出的區(qū)間猶豫模糊信息集成算子處理上述多屬性群決策問題，具體步驟如下：

步驟1 群決策信息標(biāo)準(zhǔn)化。如果所有的屬性均為效益型，則不需將決策矩陣H=(hij)m×n進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理；否則，運(yùn)用如下方法對(duì)原始矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：

步驟4 各備選方案進(jìn)行優(yōu)劣排序，并選擇出綜合性能最高的方案。

4.3 算例分析

近年來，隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來和互聯(lián)網(wǎng)的不斷發(fā)展，數(shù)據(jù)科學(xué)日益成為這個(gè)時(shí)代最重要的技術(shù)之一，成為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)商業(yè)模式的價(jià)值核心[25]。某軟件開發(fā)公司為了適應(yīng)大數(shù)據(jù)環(huán)境下數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的海量需求，欲從市場(chǎng)上采購一套數(shù)據(jù)庫。該公司采購部門根據(jù)自身需求在市場(chǎng)中挑選出四套符合條件的數(shù)據(jù)庫Xi(i=1,2,3,4)以供選擇。為了客觀合理地選擇出綜合性能最優(yōu)的數(shù)據(jù)庫，采購招商部門現(xiàn)邀請(qǐng)三位相關(guān)領(lǐng)域的專家學(xué)者對(duì)這四套數(shù)據(jù)庫在如下四種指標(biāo)下進(jìn)行定性評(píng)估，即價(jià)格C1、存儲(chǔ)量C2、使用壽命C3和售后服務(wù)與技術(shù)C4，并且根據(jù)各指標(biāo)的重要程度進(jìn)行權(quán)重的分配，即指標(biāo)權(quán)重向量為w=(0.2,0.3,0.35,0.15)T，評(píng)價(jià)值如表1～3所示。根據(jù)專家的知識(shí)水平，使專家權(quán)重向量為η=( 0.3,0.5,0.2)T。

步驟1 由于四種屬性指標(biāo)Cj(j=1,2,3,4)為同一類型指標(biāo)，即均為效益型指標(biāo)，因此不需要對(duì)原始的專家決策信息矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。

步驟2 基于標(biāo)準(zhǔn)的三個(gè)專家決策信息矩陣，利用運(yùn)用IVHFWMSM算子（假設(shè)r=n）進(jìn)行集成，得到區(qū)間猶豫模糊決策矩陣H=(hij)4×4，如表4。

步驟3 計(jì)算得各數(shù)據(jù)庫的綜合屬性信息hi(i=1,2,3,4)的得分函數(shù)值，見表5。

表1 專家1給出的區(qū)間猶豫模糊決策矩陣

表2 專家2給出的區(qū)間猶豫模糊決策矩陣

表3 專家3給出的區(qū)間猶豫模糊決策矩陣

表5 IVHFWMSM算子得到的得分函數(shù)值和排序結(jié)果

步驟4 依據(jù)公式（3），對(duì)各屬性值的得分函數(shù)進(jìn)行大小排序，得出綜合性能最優(yōu)的數(shù)據(jù)庫，具體排序結(jié)果見表5。

從表5 中可以看出，由于參數(shù)r 取值的變化，屬性值的排序結(jié)果會(huì)有細(xì)微的不同，表明參數(shù)值能夠反映決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。表5 中，雖然排序結(jié)果隨著參數(shù)值r的變化有變化，但最優(yōu)值出現(xiàn)在A1和A3之間，說明本文提出的算子具有多選擇性，可以滿足決策者多種決策需求。在實(shí)際的決策中，決策者可以根據(jù)其風(fēng)險(xiǎn)偏好選擇合適的參數(shù)值進(jìn)行決策。

為了說明本文提出的算法具有可靠性和合理性，下面將與文獻(xiàn)[6]提出的IVHFWA和IVHFWG進(jìn)行對(duì)比分析。首先，從表5和表6可以看出，當(dāng)r =1、3、4和n 時(shí)，IVHFWMSM與文獻(xiàn)[6]中的兩個(gè)算子得出的結(jié)果相同，即綜合性能最優(yōu)的數(shù)據(jù)庫均為A3，這說明本文構(gòu)建的多屬性群決策方法具有合理性和有效性。其次，當(dāng)r=2時(shí)，決策結(jié)果為A1綜合性能最優(yōu)，說明本文構(gòu)建的多屬性群決策方法具有多樣性和較強(qiáng)的適應(yīng)性。再者，相比IVHFWA 算子和IVHFWG 算子，本文提出的方法能夠用于處理屬性值獨(dú)立的決策問題。此外，本文提出的信息融合算子具有可變參數(shù)，決策更加靈活，能夠滿足決策者不同的需要，更具有一般性，而文獻(xiàn)[6]提出的兩個(gè)算子不具有可變參數(shù)，無法滿足不同決策者的需求。

表6 不同集成算子間的對(duì)比

由上述對(duì)比分析可知，本文提出的決策方法在集成區(qū)間猶豫模糊集信息和處理屬性值獨(dú)立的多屬性群決策問題方面更加靈活可靠。

5 結(jié)束語

本文在區(qū)間猶豫模糊環(huán)境下引入了MSM 的思想，提出了區(qū)間猶豫模糊Maclaurin對(duì)稱平均(IVHFMSM(r))算子，并探討了其具有的優(yōu)良性質(zhì)，即冪等性、置換不變性、單調(diào)性和有界性。此外，本文根據(jù)參數(shù)r 的變化對(duì)該算子的幾種特殊情況進(jìn)行了研究?？紤]到屬性值的權(quán)重，本文進(jìn)一步介紹了區(qū)間猶豫模糊加權(quán)Maclaurin對(duì)稱平均(IVHFWMSM(r))算子?；诖?，構(gòu)建了一種區(qū)間猶豫模糊信息集成算法的多屬性群決策模型，并通過實(shí)際決策問題進(jìn)行可行性和有效性分析，決策結(jié)果也進(jìn)一步表明本文的決策算法更具合理性和多選擇性。

本文未考慮區(qū)間猶豫模糊Maclaurin 對(duì)稱平均(IVHFMSM(r))算子有關(guān)相似度和距離公式的研究，未來可加入研究范圍內(nèi)。此外，本文是在區(qū)間猶豫模糊環(huán)境下引入了Maclaurin 對(duì)稱平均的思想，而多屬性決策問題不僅限于某一種模糊環(huán)境中，因此在其他模糊環(huán)境下融入Maclaurin 對(duì)稱平均將是未來研究方向之一。