基于塑性應(yīng)變能理論的邊坡動(dòng)力穩(wěn)定性研究

崔 笑，張 燎 軍，翟 亞 飛，馬 天 驍，何 鎏

(河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210098)

自鄭穎人提出動(dòng)力強(qiáng)度折減法[1]以來，該方法在邊坡動(dòng)力穩(wěn)定分析中得到了諸多應(yīng)用[2-5]。邊坡安全系數(shù)的獲得依賴于所選取的失穩(wěn)判別準(zhǔn)則，但目前學(xué)術(shù)界和工程界并沒有形成統(tǒng)一且為大家所公認(rèn)的邊坡動(dòng)力失穩(wěn)判別準(zhǔn)則。塑性區(qū)貫通、迭代不收斂和關(guān)鍵點(diǎn)位移突變是目前常用的動(dòng)力失穩(wěn)判據(jù)，但計(jì)算結(jié)果也常常不一致[6]，因此，部分學(xué)者嘗試探索新的方法來判斷邊坡動(dòng)力穩(wěn)定狀態(tài)[7]。考慮到結(jié)構(gòu)失穩(wěn)是塑性區(qū)不斷開展直至貫通失穩(wěn)的過程，其間結(jié)構(gòu)整體塑性應(yīng)變能不斷增大直至突變，可以用塑性應(yīng)變能表征結(jié)構(gòu)穩(wěn)定狀態(tài)。鄭東健[8]基于塑性應(yīng)變能判據(jù)研究了拱壩穩(wěn)定問題；陳倩倩[9]基于塑性應(yīng)變能判據(jù)研究了材料參數(shù)對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響；李志平[10]基于塑性應(yīng)變能判據(jù)研究了多階邊坡穩(wěn)定狀態(tài)，并與理論解進(jìn)行對(duì)比，證明了該判據(jù)的可靠性；華成亞[11]將塑性應(yīng)變能判據(jù)應(yīng)用在三維邊坡穩(wěn)定分析中。但現(xiàn)有關(guān)于塑性應(yīng)變能判據(jù)的研究大多集中在靜力穩(wěn)定分析，很少涉及到動(dòng)力穩(wěn)定分析。

本文將塑性應(yīng)變能理論和突變理論應(yīng)用到邊坡動(dòng)力穩(wěn)定分析中，通過有限元軟件ABAQUS對(duì)某邊坡進(jìn)行動(dòng)力穩(wěn)定分析，提取邊坡震后總塑性應(yīng)變能并建立與動(dòng)力折減系數(shù)的關(guān)系曲線，結(jié)合突變理論精準(zhǔn)找出震后總塑性應(yīng)變能突變時(shí)對(duì)應(yīng)的動(dòng)力折減系數(shù)，從而確定邊坡安全系數(shù)。通過對(duì)比研究動(dòng)力工況下塑性應(yīng)變能判據(jù)、塑性區(qū)貫通判據(jù)和關(guān)鍵點(diǎn)位移突變判據(jù)判別機(jī)理和計(jì)算結(jié)果，證明了塑性應(yīng)變能判據(jù)可用于邊坡動(dòng)力穩(wěn)定分析，且具有一定優(yōu)勢(shì)。

1 計(jì)算理論與方法

1.1 動(dòng)力強(qiáng)度折減法

動(dòng)力強(qiáng)度折減法[1]固定地震荷載不變，把邊坡現(xiàn)狀抗剪強(qiáng)度參數(shù)(c、φ)等比例折減k倍，然后用折減之后的邊坡抗剪強(qiáng)度參數(shù)(c1、φ1)進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析，計(jì)算公式如下：

(1)

定義使邊坡達(dá)到臨界動(dòng)力失穩(wěn)狀態(tài)時(shí)對(duì)邊坡抗剪強(qiáng)度參數(shù)的折減程度為安全系數(shù)。

1.2 塑性應(yīng)變能理論

在地震荷載作用下，邊坡為維持自身穩(wěn)定會(huì)通過應(yīng)力和應(yīng)變的方式對(duì)自身進(jìn)行調(diào)節(jié)。當(dāng)荷載破壞性超過邊坡自身調(diào)節(jié)能力時(shí)，邊坡便會(huì)失穩(wěn)破壞。在此過程中，伴隨著塑性應(yīng)變能不斷增大直至突變失穩(wěn)的過程。邊坡有限元模型劃分為N個(gè)單元結(jié)構(gòu)，其中第I個(gè)單元所擁有的塑性應(yīng)變能計(jì)算公式[8]為

(2)

對(duì)整個(gè)模型所有單元的塑性應(yīng)變能進(jìn)行累計(jì)得到震后總塑性應(yīng)變能E，計(jì)算公式[8]如下

(3)

1.3 基于塑性應(yīng)變能的尖點(diǎn)突變模型

人為判斷突變位置會(huì)不可避免地產(chǎn)生誤差，通過構(gòu)造邊坡震后總塑性應(yīng)變能與動(dòng)力折減系數(shù)的尖點(diǎn)突變模型[12]，將邊坡動(dòng)力穩(wěn)定狀態(tài)量化為一數(shù)學(xué)判別式，分析各級(jí)動(dòng)力折減系數(shù)下數(shù)學(xué)判別式與0的大小，從而判定邊坡穩(wěn)定狀態(tài)，可精確判定邊坡動(dòng)力安全系數(shù)。假設(shè)邊坡震后總塑性應(yīng)變能E是隨動(dòng)力折減系數(shù)k變化的連續(xù)函數(shù)，將其進(jìn)行4次泰勒級(jí)數(shù)展開：

E=f(k)=a4k4+a3k3+a2k2+a1k+a0

(4)

E=b4c4+b2c2+b1c+b0

(5)

式中：

(6)

對(duì)式(6)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，即得平衡曲面方程為

x3+ux+v=0

(7)

其分差集方程為

4u3+27v2=0

(8)

令

Δ=4u3+27v2

(9)

Δ>0時(shí)，坡體處于穩(wěn)定狀態(tài)；Δ=0時(shí)，坡體處于臨界狀態(tài)；Δ<0時(shí)，坡體失穩(wěn)破壞。

2 算例分析

2.1 工程實(shí)例

邊坡如圖1所示，基于ABAQUS建立其有限元模型，共有節(jié)點(diǎn)1 023個(gè)和單元947個(gè)，單元類型選用CPE4。選用Mohr-Coulomb本構(gòu)關(guān)系，坡腳β=60°。分別在坡頂、坡中和坡腳處選取三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)A、B、C。邊坡具體材料參數(shù)如表1所示。

圖1 邊坡模型(尺寸單位：m)

表1 邊坡材料物理力學(xué)參數(shù)表

本文以阻尼比5%，動(dòng)力放大系數(shù)βmax=2.5的反應(yīng)譜合成一組水平向峰值加速度為0.2g和豎向峰值加速度為0.133g的人造地震波。人造波持時(shí)20 s，計(jì)算步數(shù)為2 000，步長0.01 s，如圖2所示。

圖2 地震加速度時(shí)程曲線

本文采用自編程序?qū)Φ撞考八闹苁┘羽椥赃吔鏪13]，以真實(shí)反映遠(yuǎn)域地基輻射阻尼對(duì)地震波的影響，并將地震波轉(zhuǎn)換成等效節(jié)點(diǎn)力[14]施加在邊界上。

2.2 塑性應(yīng)變能判據(jù)

在動(dòng)力工況下，對(duì)邊坡巖土材料不斷進(jìn)行軟化，將折減k倍后得到的凝聚力c1和內(nèi)摩擦角φ1輸入有限元模型中進(jìn)行計(jì)算。獲得多級(jí)強(qiáng)度參數(shù)下的塑性應(yīng)變能時(shí)程曲線，如圖3所示。其中01 s為靜力工況，塑性應(yīng)變能隨時(shí)間增長沿直線上升；121 s為動(dòng)力工況，其中15 s和1620 s時(shí)地震動(dòng)較弱，對(duì)邊坡造成的破壞不大，塑性應(yīng)變能變化較小，516 s時(shí)地震動(dòng)較強(qiáng)，對(duì)邊坡造成的破壞程度大，塑性應(yīng)變能增幅明顯。

圖3 總塑性應(yīng)變能時(shí)程曲線

提取多級(jí)動(dòng)力折減系數(shù)下地震結(jié)束時(shí)的總塑性應(yīng)變能，繪制E-k關(guān)系曲線，如圖4所示。從圖中可以看出突變點(diǎn)產(chǎn)生在k=1.31.4之間，為了消除人為判斷的誤差，結(jié)合尖點(diǎn)突變理論來定量判斷。

圖4 震后總塑性應(yīng)變能與動(dòng)力折減系數(shù)關(guān)系曲線

當(dāng)動(dòng)力折減系數(shù)k=1.392時(shí)，根據(jù)式(2)(9)對(duì)前12個(gè)包括k=1.392共13個(gè)動(dòng)力折減系數(shù)進(jìn)行4次多項(xiàng)式擬合，得到式E=1000.9k4-4617.9k3+7968.1k2-6091.9k+1741簡化后代入式(6)得突變模型標(biāo)準(zhǔn)式：

Δ=4u3+27v2=4×(-0.68233)+27×0.25632=0.5

當(dāng)動(dòng)力折減系數(shù)k=1.393時(shí)，同上對(duì)前13個(gè)包括k=1.393共14個(gè)動(dòng)力折減系數(shù)進(jìn)行四次多項(xiàng)式擬合，得到式：

E=1071.8k4-4951.2k3+8553k2-6546.2k+1872.7

簡化后代入式(6)得突變模型標(biāo)準(zhǔn)式：

Δ=4u3+27v2=4×(-0.7353)+27×0.2322=-0.135

結(jié)果顯示：k=1.392時(shí)，Δ=0.5>0，此時(shí)邊坡結(jié)構(gòu)穩(wěn)定；k=1.393時(shí)，Δ=-0.135<0，此時(shí)邊坡失穩(wěn)破壞。所以邊坡動(dòng)力安全系數(shù)處于1.3921.393，為了安全考慮，動(dòng)力安全系數(shù)定為1.392。

2.3 塑性區(qū)貫通判據(jù)

隨著巖土材料的不斷軟化，塑性區(qū)從邊坡最薄弱的地方慢慢開展直至貫通。如圖5所示，當(dāng)k=1時(shí)，塑性區(qū)只產(chǎn)生于坡腳一小塊區(qū)域內(nèi)，隨著k的不斷增大，塑性區(qū)在慢慢向坡頂擴(kuò)展；當(dāng)k=1.32時(shí)，塑性區(qū)延伸到坡頂，邊坡產(chǎn)生了貫通坡頂和坡腳的滑裂帶。塑性區(qū)貫通判據(jù)可直觀給出邊坡滑裂帶所在位置，但邊坡是否失穩(wěn)尚無明確客觀判別指標(biāo)。

圖5 邊坡塑性應(yīng)變?cè)茍D

2.4 關(guān)鍵點(diǎn)位移突變判據(jù)

地震荷載不同于靜力荷載，在地震動(dòng)持續(xù)時(shí)間內(nèi)荷載處于往復(fù)變化狀態(tài)，因此，邊坡位移隨時(shí)間也會(huì)發(fā)生往復(fù)變化，僅以地震持續(xù)時(shí)間內(nèi)某一時(shí)刻的關(guān)鍵點(diǎn)位移發(fā)生突變不足以判定邊坡失穩(wěn)，但震后殘余位移發(fā)生突變?nèi)钥梢暈檫吰率Х€(wěn)的依據(jù)[15]。提取關(guān)鍵點(diǎn)A、B、C的豎向殘余位移和水平向殘余位移并分別繪制與動(dòng)力折減系數(shù)的關(guān)系曲線，如圖6所示。

圖6 關(guān)鍵點(diǎn)殘余位移與動(dòng)力折減系數(shù)關(guān)系曲線

從圖6可以看出:關(guān)鍵點(diǎn)A和B的豎向殘余位移和水平向殘余位移均有突變現(xiàn)象產(chǎn)生，關(guān)鍵點(diǎn)C的殘余位移并沒有突變。根據(jù)式(2)(9)以關(guān)鍵點(diǎn)A豎向殘余位移或水平向殘余位移定量判斷突變點(diǎn)位置在1.381.39間；以關(guān)鍵點(diǎn)B豎向殘余位移或水平向殘余位移定量判斷突變點(diǎn)位置在動(dòng)力折減系數(shù)1.371.38間?？梢钥闯?，動(dòng)力工況下關(guān)鍵點(diǎn)位移突變判據(jù)判定結(jié)果與關(guān)鍵點(diǎn)所選位置密切相關(guān)，而與所選位移方向關(guān)系不大。

2.5 材料參數(shù)對(duì)邊坡動(dòng)力安全系數(shù)的影響

以上分析說明了塑性應(yīng)變能判據(jù)結(jié)果比傳統(tǒng)判據(jù)更具客觀性，但判據(jù)結(jié)果的準(zhǔn)確性還需進(jìn)一步證明。由文獻(xiàn)[16]可知，邊坡判據(jù)結(jié)果會(huì)受材料參數(shù)影響，為了能有效證明地震荷載下塑性應(yīng)變能判據(jù)結(jié)果的準(zhǔn)確性。本節(jié)改變邊坡凝聚力c和內(nèi)摩擦角φ的大小，以c=100 kPa，φ=20°為基本參數(shù)，設(shè)置c在80～120 kPa內(nèi)變化，φ在10°～40°內(nèi)變化，對(duì)比多種材料參數(shù)下的塑性應(yīng)變能判據(jù)、塑性區(qū)貫通判據(jù)和坡頂關(guān)鍵點(diǎn)位移突變判據(jù)結(jié)果大小，并分別繪制如圖7,8所示的關(guān)系曲線。

圖7 不同內(nèi)摩擦角下邊坡動(dòng)力安全系數(shù)

圖8 不同凝聚力下邊坡動(dòng)力安全系數(shù)

隨著邊坡抗剪強(qiáng)度的增加，塑性應(yīng)變能判據(jù)曲線與關(guān)鍵位移突變曲線幾乎一致，稍高于塑性區(qū)貫通判據(jù)曲線，但差距不大，說明塑性應(yīng)變能判據(jù)判定結(jié)果與傳統(tǒng)判據(jù)結(jié)果數(shù)值上相差不大，以塑性應(yīng)變能突變?yōu)閯?dòng)力失穩(wěn)判別標(biāo)準(zhǔn)得到的邊坡安全系數(shù)準(zhǔn)確性有保證。

3 結(jié) 論

(1)邊坡震后總塑性應(yīng)變能隨著折減程度增大而增大，當(dāng)邊坡強(qiáng)度折減到失穩(wěn)臨界值時(shí)，塑性應(yīng)變能便會(huì)發(fā)生突變，以邊坡震后總塑性應(yīng)變能突變?yōu)槭Х€(wěn)判別標(biāo)準(zhǔn)，再結(jié)合尖點(diǎn)突變理論可以定量給出邊坡動(dòng)力安全系數(shù)。

(2)相比于塑性區(qū)貫通判據(jù)缺乏定量判斷指標(biāo)的缺陷，關(guān)鍵點(diǎn)位移突變判據(jù)又受關(guān)鍵點(diǎn)選取位置影響較大，塑性應(yīng)變能判據(jù)以邊坡震后整體塑性應(yīng)變能這一單值標(biāo)量為動(dòng)力失穩(wěn)考察量，不會(huì)受過多人為因素影響，判定結(jié)果唯一。

(3)在地震荷載作用下，塑性應(yīng)變能判據(jù)結(jié)果與關(guān)鍵點(diǎn)位移突變判據(jù)給出的結(jié)果數(shù)值上基本一致，稍大于塑性區(qū)貫通判據(jù)結(jié)果，動(dòng)力工況下塑性應(yīng)變能判據(jù)結(jié)果準(zhǔn)確性具有可靠保證。