帶緩沖區(qū)且產品保修的設備預防性維護建模*

張丹丹

（上海理工大學管理學院 上海 200093）

1 引言

在每一個制造系統(tǒng)中，設備在運行過程中發(fā)生故障可能會使生產停滯，造成經濟損失。為了避免這種情況的發(fā)生，應在定期生產后注意預防性維護，以便制造系統(tǒng)能夠在下一個生產周期內不發(fā)生故障［1］。針對此問題，有許多學者提出了不同的模型［2～4］。比如，Douer and Yechiali［5］以設備長期運行的期望成本最小化為目標函數(shù)，確定了單臺設備的最佳預防維修周期。胡飛［6］以期望長期成本率最低為決策依據，權衡預防維修所節(jié)省的成本開支和同時增加的維修費用，提出了一個定期預防維修策略，并給出了求解最優(yōu)解的有效算法。但是根據系統(tǒng)中的機械情況，維護期可能需要不同的時間，而且維護時間過長會造成短缺，此時可在設備之間設置一個緩沖區(qū)，以實現(xiàn)生產系統(tǒng)高效運行。四十多年來，有許多的學者對帶緩沖區(qū)的生產系統(tǒng)維修優(yōu)化模型進行了深入而廣泛的研究。比如，Wijngaard［7］首次考慮設備的緩沖區(qū)庫存，將設備狀態(tài)分為m+1 個階段，第0階段表示設備為全新，第m階段表示設備發(fā)生故障需要進行維修，并運用隨機模型研究設備的可靠性，評估緩沖區(qū)對生產系統(tǒng)產量的影響。2013 年 Bouslah 等［8］研究設備故障率高、產品缺陷率高、并帶有中間緩沖庫存的生產系統(tǒng)，如何確定出生產批量，并制定出產品質量控制策略。呂文元等［9］主要解決當設備發(fā)生故障造成停機時間較長的情況下，應該如何修正基本檢查模型并優(yōu)化維修間隔期期間的決策問題。在當今激烈競爭的市場環(huán)境下，越來越多的制造企業(yè)以延長售后保修期限招攬更多顧客。保修期限策略能夠保證消費者在產品出現(xiàn)故障時得到經濟補償，廠商利用保修期限策略提高產品的銷售量，保修期限策略已經成為一種重要非價格的競爭手段［10］。Jack and Van der Duyn Schouten［11］從生產商的角度出發(fā)，研究了可維修產品在免費更換保修下的最優(yōu)維修更換策略。

目前大多數(shù)研究都考慮的是設備維修和庫存控制的聯(lián)合優(yōu)化，或者是就售后產品所進行的維修和更換方法。本文將會綜合考慮基于出售免費最小保修產品的生產系統(tǒng)的最優(yōu)的緩沖區(qū)庫存量和預防性維護周期，通過降低生產準備費用、設備預防維修費用、產品最小維修費用、材料費用、勞務費用、能源費用、庫存費用及缺貨費用來降低每單位產品的成本。

2 基本假設和符號

帶緩沖區(qū)的設備由如圖1 所示的基本單元組成。Si為連接兩個設備Mi和Mi+1的緩沖區(qū)，設備Mi為緩沖區(qū)Si的上游設備，設備Mi+1為緩沖區(qū)Si的下游設備。設備Mi以速率p生產零件，而設備Mi+1以需求率α從緩沖區(qū)Si獲得零件，假設p＞α，即每一個單位時間內，緩沖區(qū)Si內的在制品將多(p-α)個零件。

圖1 基本單元

為更有效地描述模型，做如下基本假設和符號定義：

符號：K為生產準備費用；α為需求率；p為生產率；Cm為單位數(shù)量的產品所需的材料、勞動和能源費用；Co為單位時間的預防維修費用；Ch為單位時間內單位數(shù)量的產品的庫存費用；Cs為單位數(shù)量的產品的缺貨費用；Cr為單位數(shù)量的產品最小維修費用；T為每個循環(huán)的生產運行時間；S為緩沖庫存；w為保修期；t為預防性維護時間，這是一個隨機變量；φ(t)為t的概率密度函數(shù)。

假設：

1）需求率隨著時間的推移是確定性的和恒定的；

2）對產品采用免費的最小維修保修政策；

3）經過時間T后，庫存達到S，此時立即停止生產并進行預防性維修；

4）定期進行預防性維護，保證在生產運行期間（T）制造系統(tǒng)的故障概率為0；

5）在任何預防性維護開始時，緩沖區(qū)庫存為S，該庫存不會劣化；

6）如果預防維修結束后，庫存大于0，則中止生產，直至庫存降為0才開始生產；

7）如果在庫存降為0 時，預防性維護還沒有結束，則會發(fā)生缺貨，等到預防性維護結束則繼續(xù)開始生產。

3 模型的建立

在本文中，生產單元運行一段時間T之后發(fā)生預防性維護中斷。在[0 ，t]期間，緩沖區(qū)S以速率(p-α)建立［11～12］。這里，緩沖區(qū)S在 [0 ，t]期間累積以滿足需求率α。因此，S=(p-α)T，即生產運行時間T=S/(P-α)。

在時間T結束時，定期預防性維護開始并持續(xù)到t時刻。這個時間，t是隨機概率密度函數(shù)φ(t)的隨機變量。在維護期間，缺貨時間為

因此，每個預防性維護周期的缺貨數(shù)量為

缺貨數(shù)量的期望為

缺貨的期望費用為

保修期[0 ，w] 內單位數(shù)量的產品小修的平均次數(shù)為

所以，產品小修的平均費用為

庫存的期望費用為

生產準備費用為

材料、勞務與能源費用為

設備預防性維修的費用為

因此，一個生產周期內總費用期望為

一個生產周期內生產的產品的總數(shù)量為

所以，單位數(shù)量的產品總成本的期望為

將T=[S/(p-α)] 代入上式，可得

4 算例分析

p=600 ，Cr=300，Ch=15 ，Co=600 ，Cm=600 ，K=3000 ，Cs=39 ，α=450 ，w=2 ，φ(t)=用Matlab 帶入計算可得EU(S)，用diff 函數(shù)計算其二階導數(shù)，然后用maple可以判斷出他的二階導數(shù)永遠大于0。由此可知EU(S)是凸函數(shù)。因此，使EU(S)的一階導數(shù)為0的S*是最優(yōu)庫存，EU(S*)是最小單位成本。最后求得的結果為：S*=588.43 ，T*=3.92 ，則EU(S*)=619.41。

5 靈敏度分析

可變因子的最優(yōu)值隨著關鍵參數(shù)的變化（-50%，-25%，+25%，+50%）顯著變化（見表1）。在關鍵參數(shù)的靈敏度分析的基礎上，可以發(fā)現(xiàn)以下特征。

當保修期（w）增加時，緩沖區(qū)庫存（S）和生產運行時間（T）不變。保修期內的保修費用（Cr）和每單位產品的成本將會增加。

緩沖區(qū)庫存（S）和生產運行時間（T）對每單位產品的材料、勞動和能源費用（Cm）變化不敏感。因此，保修費用（Cr），短缺費用（Cs）和預防維修費用（Co）對此也不敏感，但材料、勞動和能源費用（Cm）增加，導致每單位產品的成本高于預期。

緩沖區(qū)庫存（S），生產運行時間（T），庫存費用（Ch），短缺費用（Cs）以及材料、勞動和能源費用（Cm）對每單位產品的保修費用（Cr）變化相當不敏感，（Cr）只是改變了保修費用。

單位時間內單位數(shù)量的產品的庫存費用（Ch）的提高能夠降低緩沖區(qū)庫存（S）和生產運行時間（T）。短缺費用（Cs）隨著緩沖區(qū)庫存，材料、勞動和能源費用（Cm）的減少而增加，由于生產率較低，保修期內的維修費用（Cr）也會降低。然而，單位產品的預期成本隨著庫存費用（Ch）的增加而增加。

由于短缺費用（Cs）較高，緩沖區(qū)庫存（S）和生產運行時間（T）較長，導致庫存費用（Ch）和材料、勞動和能源費用（Cm）上升。隨著更多產品的生產，更多的在保修期內出現(xiàn)問題的產品的維修費用（Cr）也會增加。

緩沖區(qū)庫存（S）和生產運行時間（T）隨著單位時間的預防維修費用（Co）的增加而增加，從而降低了短缺費用（Cs），以此可以彌補庫存費用（Ch）、保修期內的維修費用（Cr）以及材料、勞動和能源費用（Cm）的增加。由于大多數(shù)費用較高，所以每單位產品的預期費用會自動增加。

由于生產準備費用（K）提高，緩沖區(qū)庫存（S）和生產運行時間（T）通常會增加。因此，除了短缺費用（Cs）之外，所有費用都隨著生產量的增加而增加。故，單位產品的預期費用隨著生產準備費用（K）的增加而增加。

顯而易見，較高的生產率增加了庫存，同時也減少了生產運行時間（T），使材料、勞動和能源費用（Cm）及保修期內的維修費用（Cr）減少。更大的生產量會導致更高的庫存費用（Ch），同時由于緩沖區(qū)庫存量（S）的增加而降低了短缺費用（Cs）。因為大部分費用較高，故每單位產品的預期費用隨著生產率的增加而增加。

表1 關鍵參數(shù)的靈敏度分析

6 結語

在如今競爭激烈的環(huán)境下許多企業(yè)為了吸引更多的客戶，很多產品售出后都會有一個保修，給購買者提供產品早期故障保護，同時能夠提升廠家的信譽，維護企業(yè)形象［14］。在產品生產期間，一般來說，預防性維修是一種常規(guī)檢查，可以提高生產系統(tǒng)的可靠性［15］。而在維護期間，緩沖區(qū)庫存對于最大限度地減少經濟損失至關重要。本文通過考慮一個完美的生產系統(tǒng)中，緩沖區(qū)庫存和預防性維護對生產帶來的影響，建立了包括生產準備費用、庫存費用、缺貨費用、材料勞務能源費用、預防性維修費用以及保修期內的產品維修費用，并進行求解。數(shù)值仿真結果表明，利用本文的維護決策模型能有效地對設置保修期的制造系統(tǒng)中的設備，確定最佳緩沖區(qū)庫存與最優(yōu)生產運行時間。