關(guān)于牛頓環(huán)教學(xué)探討

郭有能 田清龍 曾可

摘要：從牛頓環(huán)干涉原理及其干涉圖像出發(fā)，探討了半波損失現(xiàn)象對附加光程差的影響，分析牛頓環(huán)中心亮斑或暗斑的條件取決于附加的光程差。計(jì)算出牛頓環(huán)半徑理論值與近似值，分析牛頓環(huán)半徑理論值與近似值對測量凸透鏡的曲率半徑影響。

關(guān)鍵詞：牛頓環(huán);等厚干涉;光程差;折射率

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-9324（2020）22-0301-02

一、引言

牛頓在1675年首次實(shí)驗(yàn)觀測到一些明暗相間的同心圓環(huán)，故稱為牛頓環(huán)。牛頓環(huán)是一種典型的等厚薄膜干涉現(xiàn)象的結(jié)果，充分驗(yàn)證了光具有波的波動(dòng)性一面。在生產(chǎn)實(shí)踐中，牛頓環(huán)具有廣泛的應(yīng)用，如通過牛頓環(huán)可以精密測量微小量的長度。本文從牛頓環(huán)干涉原理及其干涉圖像教學(xué)出發(fā)，分析出現(xiàn)半波損失現(xiàn)象情況，以及半波損失引起附加光程差，討論了牛頓環(huán)中心處于亮斑或暗斑的條件;給出了有無半波損失情況下，牛頓環(huán)半徑理論值與近似值的表達(dá)式;最后分析了牛頓環(huán)半徑理論值與近似值對測量凸透鏡的曲率半徑影響。

二、牛頓環(huán)裝置及其干涉圖樣

牛頓環(huán)的實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，是將一塊曲率半徑為R，介質(zhì)折射率為n1的平凸透鏡放在一個(gè)光學(xué)介質(zhì)折射率為n2的平板玻璃上，二者之間形成厚度不均勻的空氣薄膜（如果將整個(gè)裝置放在折射率為n3的介質(zhì)中，形成厚度不均勻的介質(zhì)薄膜）。下面分析干涉圖樣牛頓環(huán)半徑、入射光波長、凸透鏡的曲率半徑之間的關(guān)系。

（一）牛頓環(huán)中心處是亮斑還是暗斑

假設(shè)入射光波長為λ，垂直入射在薄膜厚度為d，光程差δ跟平凸透鏡與平板玻璃之間的薄膜上下表面反射光是否存在半波損失有關(guān)：

1.當(dāng)n1>n3>n2時(shí)，薄膜的上下表面的反射光都不出現(xiàn)半波損失，那么光程差δ=2dn3;

2.當(dāng)n1>n3

3.當(dāng)n1n2時(shí)，薄膜的上表面的反射光發(fā)生相位躍變，出現(xiàn)半波損失現(xiàn)象，下表面反射光沒有半波損失，因此光程差δ=2dn3;

4.當(dāng)n1

根據(jù)光波疊加原理，當(dāng)光程差滿足：，

k=0，1，2，…（1）即干涉相長，形成亮紋。δ=±（2k+1），

k=0，1，2，… （2）即干涉相消，形成暗紋。

綜上所述，牛頓環(huán)中心處（d=0）出現(xiàn)是亮斑還是暗斑，取決于在介質(zhì)薄膜中有無半波損失引起附加光程差。當(dāng)光程差，牛頓環(huán)中心為暗斑;當(dāng)δ=0，牛頓環(huán)中心為亮斑。

（二）牛頓環(huán)半徑

根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系，牛頓環(huán)半徑大小滿足：r2=R2-（R-d）2=2Rd-d2（3），可得：（4）。

1.考慮沒有出現(xiàn)半波損失引起附加的光程差δ=2dn3，則，分別帶入上式（1）和（4），可得出亮

紋半徑滿足：，k=0，1，2，…（5）;

帶入上式（2）和（4）暗紋的半徑滿足：，k=0，1，2，… （6）。然而，當(dāng)考慮，（3）中的第二項(xiàng)可以忽略，則牛頓環(huán)半徑，聯(lián)立（1）和（2），亮紋半徑：，

k=0，1，2，… （7）;暗紋半徑：，k=0，1，2，… （8）。

2.出現(xiàn)半波損失引起附加的光程差時(shí)δ=2dn3，則。

亮紋半徑滿足：，k=1，2，… （9），暗紋的半徑滿足：，k=0，1，2，… （10）。

同理，考慮，牛頓環(huán)半徑近似如下：

亮紋半徑：，k=1，2，… （11），暗紋半徑：，k=0，1，2，… （12）。

（三）討論分析

圖2為我們給出的在發(fā)生半波損失前提下，光程差δ=2dn3，牛頓暗環(huán)半徑理論值（10）式與近似值（12）式的比較圖，其中設(shè)n3=1，R=10m，λ=1m。從圖2中發(fā)現(xiàn)，干涉級數(shù)k較低時(shí)，牛頓環(huán)理論值與近似值吻合較好，但是隨著干涉級數(shù)k增加，明顯出現(xiàn)誤差增大。這意味著我們采用牛頓環(huán)半徑測量凸透鏡曲率半徑R時(shí)，會出現(xiàn)相應(yīng)誤差。例如，我們通過暗環(huán)（10）和（12）分別給出凸透鏡的曲率半徑的表達(dá)式：（13），（14），其中rk+m表示為k+m級的暗環(huán)半徑，rk表示為k級的暗環(huán)半徑。比較（13）和（14）式子，發(fā)現(xiàn)在波長λ很小的情況下，（13）和（14）近似相等，即在短波范圍內(nèi)，測量凸透鏡的曲率半徑誤差較小，然而在波長較大時(shí)，測量凸透鏡曲率半徑誤差較大。

三、結(jié)束語

牛頓環(huán)是一種典型的等厚薄膜干涉現(xiàn)象。本文從牛頓環(huán)干涉原理及其干涉圖像出發(fā)，討論了牛頓環(huán)中心處于亮斑或暗斑的條件取決于附加的光程差。接著給出了存在半波損失和沒有半波損失情況下，牛頓環(huán)半徑理論值與近似值的具體表達(dá)式，最后分析牛頓環(huán)半徑理論值與近似值對測量凸透鏡的曲率半徑影響。

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Discussion on Newton Rings Teaching

GUO You-neng1， TIAN Qing-long2， ZENG Ke1

（1. School of Electronic Information and Electrical Engineering， Changsha University， Changsha， Hunan 410022， China;

2. School of Mathematics and Computing Science， Changsha University， Changsha， Hunan 410022， China）

Abstract： Based on the interference principle of Newton rings and its interference image， the influence of half-wave loss on the additional optical path difference is discussed. We find that the condition of bright or dark spots in the center of Newton rings depends on the additional optical path difference. Besides， theoretical and approximate values of the radius of Newton rings are calculated， and the influence of the theoretical and approximate values on the curvature radius of the convex lens is also analyzed.

Key words： Newton rings; equal thickness interference; optical path difference; refractive index

收稿日期：2019-09-09

基金項(xiàng)目：2019年湖南教育廳優(yōu)秀青年立項(xiàng)項(xiàng)目“非厄米系統(tǒng)中熵不確定關(guān)系及其相干調(diào)控”（編號：19B060）;2015長沙學(xué)院人才引進(jìn)項(xiàng)目“經(jīng)典噪聲環(huán)境下量子系統(tǒng)的量子費(fèi)舍信息”（編號：SF1504）;2015年長沙學(xué)院教改項(xiàng)目“大學(xué)物理課程教學(xué)的改革與實(shí)踐”

作者簡介：郭有能（1987-），男，廣東南雄人，博士，副教授，研究方向：大學(xué)物理教學(xué)、量子信息。

通信作者：田清龍（1988-），男，湖南湘西人，碩士，實(shí)驗(yàn)師，研究方向：計(jì)算機(jī)教學(xué)。